高中数学教学论文：归本溯源难题解答的捷径

1、高中数学论文归本溯源，难题解答的捷径摘要：反思题目的解题过程，对问题进行细致的分析、比较，挖掘出问题的本质，可以达到一题多解或多题一解的目的，找到解答难题的捷径，也可以培养学生的思维能力，探索能力和创新精神。关键词：一题多解，分析本质，归纳总结，熟练应用随着教学的逐步深入，教材进一步优化组合，数学题目的更新速度是越来越快，面对一张张崭新的“面孔”，许多学生都出现了“畏难”的情绪。于是教师常对同一个题目从不同的角度来审视，探求不同的解决方案，以求开阔学生的视野，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新意识。然而在教学中往往出现这样的情形，教师讲了“七个法八个法”，而学生却“一法不发”。这

2、是由重视了方法的展示，而忽视了对题目本质的探索引起的。对于数学解题来说，最重要的是问题的本质，解题时若坚持从问题的本质出发，不仅能训练学生的数学解题能力，也在无形之中培养了学生的数学素养。如果在平时注意研究、收集与探讨，很多东西可以纳入高考的视野，既有利于学生从繁重的“题海战术”中解脱出来，以更高的“姿态”看“难题”，又有利于学生树立学习数学的信心，感受数学的魅力，提高学习数学的兴趣。在平时教学中，我们可以利用教材中典型的例题进行深入的探讨，或者抓住学生易错，易混淆的，多层面分析，以找出问题的本质，达到深化知识的目的。以下是本人针对一道高三模拟卷中的题目所作的探讨，与大家分享探求问题本质的过程

3、和乐趣。1一个引例，几种解法引例：设实数满足约束条件，则的取值范围是（ ）。a、 b、 c、 d、解法一：约束条件表示的区域如图（1）所示表示图（1）又由得在直线的右上方，则在直线的右下方，则故解法二：令， 则， 图（2）由题设可知由约束条件可得平面区域，如图（2）所示，又因为，作直线与交于，两点在区域中，则的取值范围为，在区域中，则的取值范围为，综上可得的取值范围为。解法三：在空间直角坐标系中，约束条件表示的一个柱形区间如图（3），同时在同一坐标系中作出平面，即平面，平面，即平面。所以表示两者中的最大者，如图中阴影所示。所以点是最低点，坐标为，点是最高点，坐标为，所以的取值范围为。解法四：设

4、，则图（3）所以2归本溯源，分析实质我们不应该轻易地满足于我们所导出的结果，而是希望能改进它改变它，因此我们再研究这个结果，尝试更好的理解它，尝试看出它的新侧面，尝试透过现象找出本质，进而更好的掌握它，利用它。引例函数的值域问题，是函数的值域问题的推广。解法一的本质是分段函数的基本意义，而其他有关线性规划知识都是其“枝枝叶叶”，而学生往往会被这些“枝枝叶叶”所迷惑，不知从何入手。解法二与解法一具有异曲同工之妙，只是增加了换元技巧而已。分段函数的基本意义运用对（单变量型）和（双变量型）都是很重要的。比较适合能求出或范围类型的。解法三是图象法，其想法来源是研究函数的性质，我们常在同一坐标系内作出图

5、象，从而可以探究其最大最小值，周期性，单调性等性质。本质是类比推广函数的解法。这种方法比较适合能作出图象类型的。作图法的优势是可以研究函数除最值外的其他性质，也可避开解一些烦琐的不等式。 解法四的本质是，的意义。即由，可得，成立，再利用基本不等式的知识可求出。但此种方法有一定的局限性。3归纳总结，形成思想总结，应该从哪里开始呢？波利亚1告诉我们：考虑解的细节，并尝试使它尽可能的简单；研究解答中的冗长部分，使它更短些；试着一眼就看出这个解，试着去改进这个解，使它更直观，使它尽量自然地适合于你已有的知识。总结你的解题的方法，尝试看出它的本质特点，并且尝试把它应用于其他问题。整理解题的各种途径，总结

6、形成一般的思考方法：（1）分段函数的基本意义在波利亚看来，解题过程就是不断变更问题，诱发灵感的过程。能否想出一个有相同或相似的熟悉问题?是否见过形式稍微有不同样的题目?能否想出一个更容易着手的有关问题，一个更普遍的题，一个更特殊的题，一个类似的题?能否解决这道题的一部分?这些都是我们在解题时要考虑的问题，带着这样的思路，很自然地可以联想到函数等价于函数；再可以联想到分段函数值域的求法，即先在区域中求出的取值范围，再在区域中求出的范围，从而得到的范围；最后分部分求（）和（）的取值范围运用线性规划知识就很自然了。（2）图象法学生在解题时，如果能成功发现一个比较简单的类比问题，教师应该给予充分的肯定

7、和支持。题目双变量类型是单变量类型的推广，那么在解法上是否也可以类比推广呢？这是很合理的猜想，作为教师不能直接“泼学生冷水”，或直接告诉学生“行”或者“不行”， 而是在学生思维受阻或有困难时给予帮助，这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣，才能真正掌握合情推理，提高思考问题、解决问题的能力。虽然从二维平面图形推广到三维空间图形对解题来说的意义不大，但学生自己能提出猜想，也就有被证实的渴望，因而此时的数学教学最富有吸引力，切莫错过时机。波利亚曾反复呼吁：只要我们能承认数学创造过程中需要合情推量、需要猜想的话，数学教学中就必须有教猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试。而图象法的推广就是

8、一个很好的例子，即可以满足学生探索的需要，也可以培养学生空间想象能力和平面的知识。最后比较单变量型和双变量型可以发现，图象法比较适合单变量类型，同时借助图象可以研究其他性质。（3），的意义一个聪明的解题者在解答题目之前会仔细的，重复的并且从各方面来考虑问题的主要部分，从中可以读出题目主干的本质意义。，从字面上看，可以表示且，则可得到，再求出的最小值即可；如果有，成立，就可得到，再求出的最小值即可。同时还要注意等号成立条件是否一致。4理解领悟，熟练应用分析引例的不同解法，我们可以发现这类问题以及各种解法的本质特点及适用范围，下列各题的虽然题目各有不同，说法有千差万别，但改变不了问题的本质，其解题

9、方法也在上面的解法中可以找到。例1：已知，求的最小值。分析：因为，所以所以，等号当且仅当即时取得。或者所以，等号当且仅当即时取得。例2新题2：某厂车间接到一批任务，需要加工7000个a形零件和3000个b型零件，这个车间有68名工人，他们每一个人加工5个a型零件的时间可以加工3个b型零件，将这些工人分成两组，两组同时工作，每组加工一种型号的零件，为了在最短的时间内完成这批任务，应怎样分组？分析：设加工a型零件的一组人数为，在单位时间里一个工人加工a型零件数为，则另一组的人数为，在单位时间里一个工人加工b型零件数为，则加工a型零件所需时间为，加工b型零件所需时间为，所以完成整个任务的时间为，其中

10、取，这样问题转化为求自然数，使得函数取得最小值。在区间上，为减函数，为增函数，故的最小值在处取得，其中满足方程，由于不是整数，而，所以加工a型零件组的人数是40，另一组人数是28。例3高考题（2003年北京卷19题）有三个新兴城镇，分别位于三点处，且，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇准备建在的垂直平分线上的点处（建立直角坐标系如图）（1）若希望点到三镇的平方和最小，点应位于何处？（2）若希望点到三镇的最远距离最小，点应位于何处？待添加的隐藏文字内容3分析第（2）问：由题设可知，记，设，则点到的距离为且与轴的交点为，到的距离为且与轴的交点为到三镇最远距离为的最小值（1）当时，在同一坐标系作出得到的图象如(a)所示，所以当即时，取得最小值。（记）（2）当时，在同一坐标系作出得到的图象如图(b)所示，所以当时，取得最小值。（记）例4竞赛题3：高中数学竞赛模拟试题：数列，满足，且，求证：分析：令，则 又，即。俗话说，“千金难买回头看”，常常反思解题过程，对问题进行细致的分析、比较，挖掘出问题的本质，通过对问题本质的分析，可以达到一题多解或多题一解的目的，逐步认清问题的本质，找出难题解答的捷径，