GCT数学基础复习资料(很全的)

1、一般复习过程：了解考试要求、复习考试内容、熟悉试题类型、掌握应试技巧 第一部分算术内容综述1 数的概念：整数、分数、小数、百分数等等.2 数的运算(1)整数的四则运算；(2)小数的四则运算；(3)分数的四则运算*n丨3 数的整除 ：整除(一=k +)、倍数、约数、奇数、偶数、质(素)数*、合数、质因数、公倍数、最小公倍数mmn nj(一= n= mn)、公约数、最大公约数、互质数、最简分数.mm1aca4比和比例：比例、，正比例关系、k，反比例关系等ab = k .bdb典型例题一、算术平均数(平均值)问题例:某书店二月份出售图书 3654册，比一月份多出售216 册,比三月份少出售714册,

2、第二季度的出售量是第一季度出售量的1.5倍，求书店上半年平均每月岀售图书多少册？分析：3(3654 -216)3654(3654714)(3654 -216)3654(3654714)265-(3 3654 -216714)=-4775 .6(又如前10个偶数、奇数、素数、合数等的平均值问题)二、植树问题*(1) 全兴大街全长1380米，计划在大街两旁每隔 12米栽一棵梧桐树，两端都栽.求共栽梧桐多少棵？八叶 1380分析：2(1) =232 .12(2) 将一边长为2米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上，为了安全，钉子的间距不能超过30厘米，且四角必须固定，求需 要的最少钉子数.分析：根据要

3、求，每边至少需要7个空，所以至少需要 4 7 =28个钉子.三、运动问题1 相遇与追及问题(S = vt ， V = V亠 V2 , V = V V2，= s1 s2)例：某部队以每分钟100米的速度夜行军，在队尾的首长让通信员以3倍于行军的速度将一命令传到部队的排头，并立即返回队尾已知通信员从出发到返回队尾，共用了9分钟，求行军部队队列的长度？分析：设队伍长度为I，则300 -100300- 100解得丨=1200 .2 顺流而下与逆流而上问题例：两个码头相距352千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时.求此客轮的航速与这条河的水流速度.1352分析：因为3

4、52= 11,16，所以v v水v -v水v +v水=32 ,V V 水=22 ,解得v =27, v水 =5 .3.列车过桥与通过隧道问题例：一列火车全长270米，每秒行驶18米，全车通过一条隧道需要50秒.求这条隧道的长.分析：设隧道长为丨，则四、分数与百分数应用问题2701=1850，所以 丨二 630例：某工厂二月份产值比一月份的增加10 00， 三月份比二月份的减少10 %，那么A.三月份与一月份产值相等.B. 一月份比三月份产值多199C. 一月份比三月份产值少199D. 月份比三月份产值多11003分析：设一月份的产值为a，则三月份的产值为0.99 a，所以一月份比三月份产值多a

5、 - 0.99 a 1 0.99a99五、简单方程应用问题1. 比和比例应用题1 1例1有东西两个粮库，如果从东库取岀一放入西库，东库存粮的吨数是西库存粮吨数的已知东库原来存粮 5000吨，求西52库原来的存粮数.分析：设西库原来的存粮数为x，则5000150005000（X），525所以x 二 7000例2. 一件工程，甲独做 30天可以完成，乙独做20天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接着做，这样甲、乙二人合起来共做了 22天.问甲、乙两人各做了多少天？分析：设甲、乙两人分别做了x天和y天根据题意得x y =22,1 1x 十 y =1,3020解得 x = 6, y =16 .2. 求单

6、位量与求总量的问题例：搬运一堆渣土，原计划用8辆相同型号的卡车 15天可以完成，实际搬运 6天后，有两辆卡车被调走求余下的渣土还需要几天才能运完？分析：设要运完余下的渣土还需要x天，则815=86(8 2)x，所以x =12 .3和倍、差倍与和差问题例：把324分为A,B,C,D四个数，如果 A数加上2, B数减去2，C数乘以2, D数除以2之后得到的四个数相等，求这四个数各1是多少？分析：根据题意得A +B +C +D =324 ,A +2 = B _2 =2C = D ,2解得 A = 70 , B = 74 , C = 36 , D = 144样题与真题一、数的运算1 设直线方程二 ax

7、b, ab且x的截距是y的截距的1(_2)倍，则a与谁大？(C)2(A) a(B)(C) 一样大(D)无法确定分析：因为-2 b，所以2方程0-1的根的个数为(A)(A) 0(B) 1(C)(D) 3分析:因为12x -1-3X2 -1所以1x2 -1x -13.设a, b, m均为大于零的实数，且a，则=0的根的个数为o。(A)前者(B)后者(C) 一样大a m 一 a * , 与一谁大？ (A)b(D)无法确定分析：因为m(b -a)b(b - m)比大。b注：特殊值代入法。4某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘3加上右手中石子数乘 4之和为29，则左手中石子数为奇数，还是偶数？

8、 (A)(A)奇数(B)偶数(C)无法确定(D)无石子5分析：因为3x 4y =29，所以x为奇数5.(2003)已知2001,b =20022003，则八知a -,c200220032004A.a bc .B.b c aC.c ab .D.c b a*注:考虑、 x _1”1| (x)1oxx116.(2003)、ii =111 (-1)ii t4 iA.10 .B.11 .*C. 12 .D.13 .、 1注：12 亠 亠111112 - 6627.设n 1Sn =1-2 亠 3-4 亠亠(-1) n，则 S2004 S2005 = (B)A. 2B. 1C. 0D.-1分析:由于S200

9、4 =(1-2) - (3 -4)-(2003-2004 ) = -1002S 2005 二 S2004 2005所以S204-S2005 = -10022 - 2005 =11 )/1 )/1 )/1 )/1 )f1 )/1 )f1 )111 -一1 -1 -1 -1 -1 -0(2)绝对值 a=0,a=0, a+ba+b, a 兰a 兰 aa, a 02 复数的运算及其几何意义i2 ，z=a ib（虚数单位、实部、虚部、共轭复数、模、幅角）Z1 a 1 ib 1, z a 2 ib 2 , z Z2a?)i(b1b2)；z = a bi ， z - a ； bi ；乙=z1 (cos s

10、+i sin % 乂 z2 = z2COS 用2i sin2z2”cos( ：r 亠：2) i sin( :-：. 2)；Z2Z1Z2cos(亠一2) i sin( 2)Z Z =13几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）132 2 2(a -b) a -2ab b ;3 32 丄 23(a -b) a -3a b 3ab -b ；a3 b3 =(a b)( a 2 - ab b 2 );丄 33丄 2 丄2丄 3(a b)a3a b 3ab b ;2 2a - b (a b)( a - b)；a3 _ b3 = (a - b)(a2 ab b2) 二、集合与函数

11、(微积分)1 集合运算(交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律)A B, A B,A(C(A), A B C = A (B C),A (B C) =(A B) (A C), A B 二 A B2函数(1)概念(定义、两要素、图形、反函数)_( X, y) y = f (x), X E D，y = f _(x)(2 )简单性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)(X, f (X)(_x, f(X) =(_x, f (x) ; (X, f (X) =(X, f (x)TTg(x) = f(ax 亠b) = f(ax 亠b 亠T) = f(a(x 亠 )、b) = g(x 亠 ) aa(3) 幂函数、

12、指数函数、对数函数(含义、性质、常用公式)y = xa , y =ax, y =log a x, y =lg x, y = In xxylog b xln xy = l n x 亠l n y, ln = ln x - l n y, ln x y ln x, log a x =ylog b a三、代数方程：1.二元一次方程组解的存在性2一元二次方程(1 )求根公式(判别式)；(2)根与系数的关系I 22 2b 二.b - 4acbcax 亠bx 亠c =0， : = b 4ac ; x,洛 亠 x2 二一， 洛 x2 =2aaa3.二次函数的图像(开口、对称轴、顶点坐标)、22 斗 +/+ b

13、2 * 4ac _by = ax bx c = a (x ) 2a4a四、不等式1 不等式的基本性质及基本不等式(算术平均数与几何平均数、绝对值不等式)性质： a b, k 、0 = ka kb; a b,k ： 0 = ka : kb;a b,c d=a c b 亠 d,a-d b - c1 J基本不等式：(a+b)Z;ab , a+b兰a+b22 几种常见不等式的解法绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等ax 2 亠 bx 亠 c - 0 , a 0 ； f (x) a 0 f (x)a, f (x) ： - a五、数列1 数列的概念(数列、通项、前n项的和、各

14、项的和、数列与数集的区别)na1 , a2 , an ,， Sn = a1 a2an 八 akk -：1172 等差数列(1)概念(定义、通项、前 n项的和)；(2)简单性质：中项公式、平均值1 an, an 1 - an = d , an = ai (n 一 1)d , S.二 na! n(n 一 1)d ,2at +a2 + +an 1an kan“k=2an， ( a1 a n)n23 等比数列(1)概念(定义、通项、前 n项的和)；(2)简单性质：中项公式an,n _1an = a1 q ，Snn1 q二 a 11 q2an_kan*=an六、排列、组合、二项式定理1 .分类求和原理与

15、分步求积原理2 排列与排列数(1)定义；(2)公式 Pn“ = n(n -1)( n _2)- (n _m +1)注阶乘(全排列)p, = m!3.组合与组合数m 亠m m 亠m (1)疋义；(2)公式；PnC n Pm , C n(3)基本性质：cm 二d cm.1 二cmn4二项式定理：(a - b)n =Cnakbn_kk =0七、古典概率问题1 基本概念：必2.概率的概念与性质(1) 定义(非负性、规范性、可加性)；(2) 性质： 空 P(A)空1 , P() =0 , P(A B) = P(A) P(B) - P( A B)3 几种特殊事件发生的概率(1) 等可能事件(古典概型)p(

16、A)=巴n(2) 互不相容事件 P( A B)=P(A)，P(B);对立事件 P(A) P(B) =1PnmPmm-Cm _1k小nC n =2k =0(3)相互独立事件 P( A B) =P(A)P(B)(4)独立重复试验如果在一次试验中某事件发生的概率为p ,那么在n此独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为kPn(kH Cnkn -kP (1 一 P)典型例题、数和代数式1若zwC且z+2_2i =1，贝U z_2_2i的最小值是B (D) 53319分析：z+2_2i = z_(-2+2i) =1表示复数z对应的点在以点(_2,2)为圆心、半径是1的圆周z 2 2i| = z (2

17、+ 2i)最小，是指复数z对应的点到点(2,2)的距离最短，此最短距离为3 3 2 22如果(x 1)整除x a x ax -1，则实数a = D (A)0(B)-1(C)2(D) 2 或一 1322322分析：(x T)能够整除x a x ax 1说明(x T)是x a x ax 1的一个因子，因此当x = -13 2 2x a x ax - 1的值应为0，即21 a - - a -1=0 ，解得a =2或a = -1 二、集合和函数1 已知a = 0，函数f (x) =ax3 bx 22设 a : 0,b : 0，且 a b cx d的图像关于原点对称的充分必要条件是D (A) b = 0

18、(B) c 二 0(C) d = 0(D) b = d = 032分析：函数f (X)二ax bx cx d的图像关于原点对称的充分必要条件是函数f (x)为奇函数，故其偶次项的系数为即 b = d =0 f (0)=0,注：也可利用丿求得b = d = 0，再说明当b = d = 0时，y = f (x)的图像关于原点对称.j(_1)=_f(1)1= 7ab，那么 in (a +b) = B 31(B) in( ab ) 21(D)in (ab)1(A) (in a in b)21(C)(in a in b)分析：由于a : 0, b : 0，所以选项(A)(C)不正确.2111In一(a

19、+b)=In一(a + b)323根据1=In2可知2 2a b 2ab 厂 22及a 亠b 7 ab211In _(a3-b)1ln( ab).2三、代数方程和简单的超越方程1 设c = 0，若x1, x2是方程22bx c = 0的两个根，求XX2,X _X2X2X1X2分析：根据韦达定理可知x1x2=b, XX2 = c，所以2X1x|= (x、x2)2 - 2x1 x2=b2 -2c;X1一 x2=(X1 X2)2X2- 2 x x = _ b 4 c ；X2X1 + X1X22 2X2X1X1X22b 2cX；x； = (x1x2 )( X12 - x1x2xj)2 指数方程组(A)

20、只有一组(C)有无穷多组分析：在方程组X In 4 + y Inx In 2 十 y Inx y4 26 的解A 2X3y =6(B)只有两组(D)不存在x y4 2-164 2一中每个方程的两端取对数，得x y2 36由于x与y的系数不成比例，所以此方程组只有一组解.四、不等式已知集合A =x|x 2 3，集合B =x x2 +(1 a)x a C0,若B匸A，求a得取值范围.、丄a -1 士寸(1 -a)2 +4a a-1|l+a分析：2 =. 2 2当 ac 时，B=xacxc-1;当 aZ-1 时，B=x-1cxca.所以当a ：: -1时，不会有B冬A ；当a _ -1时，若B 5

21、A，则a _ 5 .五、数列1 设an是一等差数列，且 a 2 a3 a10 an = 64，求 a 6a 7 和 S12 .分析：由于 a6 - a7 =a3 a 二a2 - an，所以a 2 +a3 +ao +aia6a732 ；2、525S12=a亠a2亠 亠ai-.-ai2 = 6(a6 a7) = 1922设an是一等比数列，且a3 =12,a5 =48，求 ai, aio 和 a 2a 6 分析：设数列an的公比为q，则戈=q2 =4，所以a3aia3i23 ；499aio = ai q3 2i536亠99或 aio = aq 3( -2)i536 ；a2a6 = a3a5 =i2

22、 48 = 576 六、排列、组合、二项式定理i. 5个男生和2个女生拍成一排照相.(i)共有多少种排法？ ( P；)(2)男生甲必须站在一端，且两女生必须相邻，有多少种排法？(p22( P55 P22)2. i00件产品中，只有3件次品，从中任取3件，(1) 恰有一件次品的取法有多少种？c3c97(2) 至少有一件次品的取法有多少种？ci30o _ c；733(3) 至多有两件次品的取法有多少种？cioo -C33求(i 2 . x)9展开式中所有无理项系数之和.分析：无理项指的是 X的指数是非整数的项，根据二项式定理可知要求的和为S =2c9 +23cj +25c5 +27cJ +29C9

23、 .七、古典概率问题1.在100件产品中，只有 5件次品.从中任取两件，(1)两件都是合格品的概率是多少?2C 952Cioo(2 )两件都是次品的概率是多少?Cioo(3) 一件是合格品，一件是次品的概率是多少?C 5C 952ioo2甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是o.6和o.5 .(1)两人都投中的概率是多少？o.6 o.5(2 )恰有一人投中的概率是多少？0.6 0.5 0.4 0.5(3)至少有一人投中的概率是多少？1-0.4 0.53将10个球等可能地放到15个盒子中去，求下列事件的概率：10!V0(1 )某指定的10个盒子中各有1个球；15亠10C1510!10(2

24、)正好有10个盒子中各有1个球.15样题与真题一、基本概念1求阶乘不超过200的最大整数(A) 3(B) 4(C) 5(D) 62. ( 2004)实数a,b,c在数轴上的位置如下图表示，ba1 1cO图中O为原点，则代数式 a+bba+ac+c = ( A ).A. 3a2cB. aab 2cC.a 2bD.3a分析：因为b : a : 0 : c，所以a+b ba + ac +c = (a +b) (a b) + (c a) +c = 3a + 2c .分 析：由 于1sin 丄=Y52=5cos :3. (2004)arg z表示z的幅角，今又-arg( 2 - i),:-=arg( -

25、1 - 2i)，则 sin( 卜)=(DA434r 3A.B.C.D. 一5555sin( I-) = sin tcos cos tsin ：=. 5注：排除法。24. (2005)复数 Z = (1 - i )的模 Z =()A.4B.2、2C.2 D.分析：因为5。 (2006)A. i B.分析：由于1 _i复数z二、函数运算1 设函数f (X)(A) 1 _x分析：f (f (x)三、乘方运算=迈，所以(11的共轭复数iC.-i ,1 D.所以一1(B)f(x)-i)222，即正确选项为C._1=0, x =1，则1f()=【Af (X)1f (X)(C)=1(D) x1x -141在

26、连乘式(X - 1)(x - 2)( x - 3)(x - 4)( x - 5)展开式中，X 前面的系数为C (A) 13分析：(B) 14(C) 15(D) 16(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)( x 5 X5(1 23 4 5)x415 x42. (2003)已知实数x和y满足条件(x - y)99100 101=_1 和(x _ y)=1，则 x100101-y 的值是A.-1 . *根据条件，得B. 0 . C . 1 .D.X y - -1,x 亠 y - -1解得丿x = 0,-1,3.A.C.y 一1=0,(2005)设p为正数,px_99 =(x(X- 9)(x -11

27、)-9)(x 11)B.D.9) (x -11)9)(x 11)选项验证法。 由于(x _9)(x -11) =x2 _20x - 992(x 9)(x 11) =x - 2x992 2(x -9)(x 11x 2x - 99，(x 9)(x 11x20 x 99，根据题意便知正确选项为 C.4. (2005)已知 x _y = 5 且 z_y =10，则 x2 y2 z2xyyzzx = ()。31A.50B.75C.100D.105x_y=5,z_y=102 z21 2 2 2xy yz zx ( x y) ( z y) (z x) = 75，故正确选项为 B.2四、代数方程、一元二次函数

28、3，则函数 y =(x _ 2)2-2的最大值为C(A) _2(C) 2(D) 3分析:如图：最大值只可能在端点取到.c(abx-axy函数y(B) -10）在0：）上单调增的充要条件是A. a : 0，且 b 亠 0 .B. a*D. aC. a.0，且 b _0 .分析：根据题意，抛物线2y = ax 亠 bx2. (2003)-0 .:0，且 b 乞 0 .0，且 b : 0 .-c（a = 0）的开口朝上、对称轴在 y轴左侧，故a . 0,b0，所以a . 0，2a3.(2004)已知 ab 1且满足2a 2 - 200823=0 和 3b - 2008 b 2 = 0，则(B ).A

29、.3a -2b =0B. 2a -3b = 0C. 3a 2b = 0D. 2a 3b = 0分析:由于a一 20082008 2 一24小一20082008 2 ，且1，所以一20082008 2 一24 时,b2008 S 一20082008 2 一 24 时,b20082008_24从而有2 a -3b =0 .或根据4a2 -9b 22008 (2a -3b)=0，也可以推出有2a 3b = 024. (2006)方程 x 2006 x= 2007，所有实数根的和等于（C )oA.2006B.4C.0分析：D.-20062006. 2006 242007x 二当x :：: 0时,200

30、6 、( 2006 ) 242007所以方程x2_2006x = 2007的所有实数根的和等于 0。5. ( 2006)设二次函数2f(X) = ax bx c的对称轴为=1，其图像过点(2, 0)，则f 1)f (1)A. 3 B. 2 C. -2D. -3b分析：根据题意2a=1, 4a 亠2b亠c = 0，所以c = 0,=-2，从而f(1)a -bf (1) a bb1 -ab1 -a 3-1五、幂、指、对函数比较0.4 0.6与0.6.4谁大?(A)前者(B)后者(C) 一样大(D)无法确定分析：考虑函数 f (x) = x0.6 , g (x) =0.6x,则 f (0.6)f (

31、0.4)二 0.60.60.40.6g(0.4) g(0.6) = 0.60.40.6.6六、函数简单性质1函数 f (x) =ln( x21 x)是B (A)周期函数(B)奇函数(C)偶函数(D)单调减少函数=-ln( x 亠：1 x2 ) = - f (x)分析：f(-x) = ln( -x 1 x2) =ln注：排除法与特殊值代入法。f(1) =ln( 2 - 1) .0, f(1)=|n(、21)：:0。2. (2003)函数 = f(a x)(a 严0)与 y2 = f(a -x)的图形关于A.直线X -a =0对称.C. x轴对称.B.直线x a = 0对称.D. y轴对称.*的点

32、(x,g(x)关于直线x =0的对称点分析：记 g(x) = f(a x),h(x) = f(a -x)，由于 g(x) = f (a x) = fa -(_x) = h(_x)，所以曲线 y = g (x)上(-x, g(x) =(-x,h(-x)在曲线 y = h(x) 上.注：特殊值代入法。取特殊函数f(x)=x进行判定.七、不等式(2004)设a, b,c均为正数，若ab:：:，则(A).a 亠b b c c 亠aA. c : a : bB. b : c : aC. a : b : cD.分析：选项验证法。当c :：: a : b时，正分数 ca +bc : b a的分子依次增大、分母

33、依次减小，所以c亠aca a亠b b亠c八、数列a1. （2005）三个不相同的非 o实数a, b,c成等差数列，又a,c,b恰成等比数列，则 等于（）.bA.4B.2 C.- 4 D. _22 a c 2 a c c 2 c cca分析：根据条件可知2b = a c, c 二ab，从而（一），2（），由于 =1，所以2，-4，b bb b b bbbb即正确选项为A.acac注：本题根据一 .0 -0及2可直接用排除法得到正确选项A.bbbb2. （2006）设n为正整数，在1与n+1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于（A ）。nA. （1 n）2分析：（

34、本题是代数题。B.n（1 - n） C.考查了乘方运算的性质、2n3n（1 - n） D. （1 - n）等比数列的概念和通项公式）设此等比数列的公比为n（n 十）n2 3 n 2二qqq q q二 n 1 2。九、排列组合1. 5棵大小不同的柳树，6棵大小不同的杨树，载到 5坑内，一坑一棵，5个坑内至多载两棵柳树，5个坑都载了，有多少种载法？ （C； +C；C： +C；C：）P55 = 281 X 120（A） 281（B） 200（C） 81（D）275十、古典概率1 现有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有三个人按顺序且每人只能抓走一张，问谁抓到奖的概率最大？（A）第一个人（B）第二个人（

35、C）第三个人（D） 样大2袋中有3个黄球,2个红球，1个兰球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次，（都）取得红球的概率是（）12223或 C30.10.9 C30.10.9 - 0.1=0.2714. （ 2004）将5个相同的球放入位于一排的8个格子中,3535A.B.C.*D.-56562828分析：1 -0.93 =0.271分析：将5个相同的球放入位于一排的每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（C ）.58个格子中，共有C8种放法，3个空格相连的放法有16种（C6 ），所求概率为2811112(A)(B)(C)-(D)-153033C212 1 1分析：2，或C261565153. （ 2003） 一批产品的次品率为0.1，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是次品的