坐标法在初等几何中的应用

1、目录内容提要1关 键 词1Abstract1Key words 11.坐标法相关知识的阐述以及初等几何的主要知识点21.1坐标法相关知识的阐述21.2初等几何的主要知识点32.分析坐标法在不同的初等几何问题中的应用132.1垂直问题132.2平行问题142.3距离问题152.4线段之间的关系问题172.5角的问题202.6求曲线方程的方法222.7极值问题252.8面积问题272.9与圆有关的位置关系问题293.如何建立适当的坐标系解初等几何问题及数形结合思想303.1如何建立适当的坐标系解初等几何问题303.2数形结合思想31参考文献33坐标法在初等几何中的应用内容摘要：坐标法是借助坐标系研

2、究几何图形的方法。在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫做解析几何的学科。解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科。坐标是解析几何研究的基本工具，坐标法是解析几何研究的基本方法，也是解答初等几何问题的重要方法。坐标法可以将初等几何问题中的已知条件和求解问题转化成为代数形式，并通过代数运算对初等几何问题解答证明。运用坐标法解答初等几何问题可以帮助学生建立数形结合的思想。关键词：坐标法解析几何初等几何数形结合思想Abstract: Coordinate methods is by coordinate system a researching geometric graphics

3、methods. In mathematics, coordinate methods research on the formation of a geometric graphics of knowledge a subject called Analytic Geometry. Analytic geometry is a using algebraic methods to research the geometric problem of mathematical disciplines.Coordinates is the study of analytic geometry th

4、e basic tools. Coordinate methods is the study of analytic geometry the basic method and also is the answer of elementary geometry question the important methods. Coordinate methods can transform elementary geometry problem of known condition and solving problem into algebra of form, moreover,answer

5、 and prove elementary geometry problem by algebra. Coordinate methods use to answer the elementary geometry of question can help students to develop their numeral graphics combination thinking.Key words: coordinate methods analytic geometry elementary geometry numeral graphics combination thinking借助

6、坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法1。解析几何是利用代数方法来研究几何图形性质的一门学科。初等几何通常指在同一平面上产生的几何问题，主要包括以下知识点：直线、三角形、平行四边形、梯形、圆、曲线与方程、圆锥曲线。坐标是解析几何研究的基本工具，坐标法是解析几何研究的基本方法，也是解答初等几何问题的重要方法。坐标法可以将这些几何问题中已知条件和求解问题转化成为代数形式，并通过数学计算进行解答证明。1.坐标法相关知识的阐述以及初等几何的主要知识点1.1坐标法相关知识的阐述1.1.1坐标法的定义在空间引进坐标系后，几何图形便与方程对应，对几何图形性质的研究转化为对方程的研究，这种通过方程来研究图形性质的

7、方法称为坐标法2。例如：建立坐标系后，直线、曲线与方程对应，对直线与曲线位置关系的研究，转化为对由以上方程组成的方程组的研究。坐标法的优越性在于它利用了数可以进行运算的优点。31.1.2坐标法解决问题的一般步骤几何图形的性质问题建立坐标系，代数表示数的运算和方程问题 把几何图形的性质问题通过坐标系转化为数的运算和方程的解的问题 ，即实现几何结构的代数化。例如，将共点问题转化为点的坐标相同问题。在这里，坐标系的选取要因情制宜；当解决仿射性质时，通常建立仿射坐标系；当解决度量性质时，通常建立直角坐标系。无论建立哪一种坐标系，在最初建立的时候，坐标原点的选取、坐标轴方向的确定都可能是不适当的，这就导

8、致了图形的方程比较复杂 ，因而问题解决起来比较困难 ，这就要通讨坐标变换来简化方程 ，降低问题解决的难度。“坐标系的选取是人为的，要选取为我所用的坐标系，当坐标系选取不当时，就要进行坐标变换。4”1.1.3解析几何与坐标法之间的关系用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫做解析几何的学科。5 为了实现用代数方法研究几何性质的目标，就要提供一个将几何结构代数化的工具，这个工具就是坐标。解析几何以形数结合思想为指导，以坐标法为核心，用代数方法研究几何图形的位置关系与性质，但如何领悟掌握好“坐标法”的本质，深刻理解点与坐标，曲线与方程的对应关系，恰当运用代数方法，结合几何图形的具体特征，力求以更为简捷

9、合理的途径去处理一些具体的解析几何问题，这些应是认真研究探索的。因而，掌握坐标法就成了学好解析几何的关键。解析几何的生命力在于代数与几何的有机结合。61.2初等几何的主要知识点初等几何主要包括以下知识点：三角形、三角函数、直线、曲线与方程、圆、圆锥曲线。接下来，就对这些知识点中所涉及到坐标法的定理、公式进行阐述。1.2.1平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。7确定平面

10、内点的位置建立平面直角坐标系画两条数轴垂直有公共原点点坐标（有序数对）（x，y）1.2.2三角形(1)角平分线角的平分线上的点到角的两边的距离相等。到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。(2)勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。(3)相似三角形相似三角形的对应边成比例，相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方。1.2.3对称(1)垂直平分线线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段垂直平分线上。

11、(2)用坐标表示关于特殊直线、特殊点的对称点(x,y)关于x轴的对称点坐标是(x,-y)，关于y轴的对称点坐标是(-x,y)，关于直线y=x的对称点坐标是(y,x)，关于直线y=-x的对称点坐标是(-y,-x)，关于原点的对称点坐标是(-x,-y)。1.2.4重心(1)线段的重心就是线段的中点。若线段两端点的坐标分别是(x1,y1)，(x2,y2)，那么线段的重心坐标为。(2)平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。(3)三角形的重心是三条中线的交点。若三角形三个顶点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，那么三角形的重心坐标为。1.2.5三角函数(1)任意角的三角函数设是

12、一个任意角，的终边上任意一点的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r= = 0)，那么：比值叫做的正弦，记作sin，即sin=；比值叫做的余弦，记作cos，即cos= ；比值叫做的正切，记作tan，即tan= 。8(2)三角函数公式同角三角函数的基本关系式：正弦定理：余弦定理：1.2.6直线(1)斜率公式：经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线斜率为：(2)直线的方程点斜式：y-y1=k(x-x1)斜截式：y=kx+b截距式：两点式：一般式：Ax+By+C=0(3)两条直线的位置关系平行当直线l1和l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2时，直线l1l2的

13、充要条件是k1=k2且b1b2。当直线l1和l2有一般式方程l1:A1x+B1y+C1=0，l2: A2x+B2y+C2=0时，直线l1l2的充要条件是A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C10（）。若两直线重合。垂直当直线l1和l2斜率为k1和k2，那么，直线l1l2的充要条件是k1k2=-1。当直线l1和l2有一般式方程l1:A1x+B1y+C1=0，l2: A2x+B2y+C2=0时，直线l1l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。夹角设l1、l2的倾斜角分别是和，则，。记直线l1到l2的角为，则。记两直线的夹角为，则。点到直线的距离公式设某点P的坐标为(x0,y0)，直线l的方程是A

14、x+By+C=0，点P到直线l的距离为d，。直线族l1:A1x+B1y+C1=0，l2: A2x+B2y+C2=0，以l1、l2的交点为中心的中心直线束的方程为(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2 )=0()，其中、是不全为零的参数。()总是一个二元一次方程，()表示的直线总通过两已知直线l1与l2的交点，且包含了平面上通过l1与l2的交点的所有直线。91.2.7曲线和方程(1)关于方程与图形有两个基本问题必须解决已知曲线（或图形），求它的方程；已知方程，画出它的图形（或曲线）。10(2)求曲线方程的一般步骤建立坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点的坐标。写出适合条件的点的集合。

15、列出方程。化简、解答方程。对所求得的结果进行证明检验。1.2.8圆(1)垂直于弦的直径平分弦。平分弦(不是直径)的直径垂直于弦。(2)点和圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外dr；点P在圆上dr；点P在圆内dr。(3)直线和圆的位置关系设O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：直线l和O相交dr。(4)圆和圆的位置关系设O1的半径为r，O2的半径为R(rr+R；两圆外切dr+R；两圆相交R-rdr+R；两圆内切dR-r；两圆内含d0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以为圆心、为半径的圆。(7)圆的参数方程圆心是O(a,b)，半径是r的圆的参数方程是

16、，（为参数）1.2.9圆锥曲线(1)圆锥曲线的相关知识11(2)抛物线的四种形式121.2.10平面解析几何的两个基本公式(1)两点间的距离公式证明如下：设坐标平面内的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，从点P1，P2分别作x轴的垂线P1M1，P2M2，与x轴交于点M1(x1,0)，M2(x2,0)；再从点P1,P2分别作y轴的垂线P1N1,P2N2，与y轴交于点N1(0,y1),N2(0,y2)。直线P1N1,P2N2相交于点Q。那么，P1Q=M1M2=|x2-x1|QP2=N1N2=|y2-y1|由勾股定理，可得P1P22=P1Q2+QP22 =|x2-x1|2+|y2-y1|

17、2 =(x2-x1)2+(y2-y1)2 即，(2)定比分点坐标公式，证明如下：设 ，且点P1、P、P2的坐标分别为(x1,y1)、(x,y)、(x2,y2)。由向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标，有： 解得2.分析坐标法在不同的初等几何问题中的应用2.1垂直问题2.1.1应用斜率互为负倒数例1、已知在ABC中，ABAC，过 A作BC边的垂线，垂足为D，过D作AC边的垂线，垂足为E，点M为DE的中点，连结AM、BE，求证：AMBE。分析：本题求证AMBE，只要先求出AM、BE所在直线的斜率，再根据斜率互为负倒数，就能证明AMBE。证明：如图建立直角坐标系，设B(1, 0), C (1,0)

18、，A(O，a)。AC的方程:y=-ax+aDE的方程：y= 联立求解：E(),M()KBM=KAM= =KBMKAM=-1, AMBE2.1.2应用两直线垂直的充要条件例2、求经过点A(2,1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程。分析：因为要求于l垂直的直线，又已知直线l的一般方程，根据两直线垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0，可设所求直线方程为B1x-A1y+m=0,将已知点坐标代入方程就能求出m的值，即求出垂直直线的方程。解：设与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0.直线l经过点A(2,1)，2-2*1+m=0. m=0. 所求直线l的方程为x-2y=0.

19、2.2平行问题2.2.1应用斜率相等例1、已知直线方程l1：x-5y+6=0，l2：2x-10y+7=0，证明l1l2。分析：已知一般式方程要求两直线平行，只要先将两直线方程转化成斜截式的，再比较两者的斜率和截距，就能证明两者平行。证明：把l1、l2的方程写成斜截式l1：，l2：.k1=k2，b1b2 ，l1l2 2.2.2应用两直线平行充要条件例2、求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程。分析：可设出与l平行的直线系方程，再将点坐标代入直线系方程求解。解：设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0l经过点(1,2)，3*1+4*2+m=0，解得m=

20、-11所求直线方程为3x+4y-11=02.3距离问题2.3.1两点间的距离(1)应用两点间的距离公式例1、已知A，B，求两点间的距离。解：由两点间的距离公式可得(2)应用直线的参数方程在解析几何中，适当地运用直线的参数方程来解题有时比使用其他方法来的简便。直线的参数方程有两种常见的形式：13例2、求直线与圆x2+y2=5相交的弦长。分析：欲求弦长，需求出直线与圆交点坐标，然后再用两点间距离公式可求（此直线参数方程属于第二种类型，t不表示有向距离，在求得t1,t2之后切不可勿认为即为弦长）。解：把直线方程代入圆方程得，解得t1=4，t2= 当t1=4时，与圆交点坐标为(2,1)，当t2= 时，

21、与圆交点坐标为(,)弦长d= 2.3.2点线距离(1)应用点线距离公式例3、已知点A(a,6)到直线3x-4y=2的距离d取下列各值，求a的值。(1)d=4，(2)d4。解：(1)d= =4，解得 a=2或a=(2)d= 4解得 a2.3.3两平行间的距离例4、求证：两条平行Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离d=。证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为，又Ax+By+C2=0，即Ax+By=-C2，2.4线段之间的关系问题2.4.1证明两线段相等(1)应用两点之间的距离公式例1、已知正方形ABCD中，M是AB的中点

22、，MNMD，BN平分CBE，求证MD=MN。分析：建立与本题合适的平面直角坐标系，通过已知条件算出D、M、N三点的坐标，再应用两点之间的距离公式求得MD、MN的长度。解：如图建立平面直角坐标系，设正方形边长为2a，则：A(0,0),B(2a,0),C(2a,2a),D(0,2a),M(a,0)。KMD=-2，KMN=， KBN=tg45=1MN的方程：y=(x-2)，BN的方程：y=x-2a联立求解得N(3a,a)MD=MN(2)应用中点坐标公式例2、已知AB是半圆上的直径，CA，CD是切线，D是切点，且DEAB，CB交DE于H。求证：。分析：欲证，需求出H点的坐标；欲求H点的坐标，只要求出D

23、E与CB的交点坐标；欲求直线CB的方程，须知C点坐标，C是半圆两切线的交点，则CB直线方程由两点式可得，而DE：x=x0，把x=x0代入CB的直线方程即可得H点的坐标恰与DE中点坐标相同，故。证明：如图建立平面直角坐标系，设A（-R，0），B（R，0），E（x0,0），D(x0,y0),则圆的切线CD的方程为，CA的方程为。由解得C点坐标是又由CB的方程为：DE的方程为：将CB、DE的方程联立解得因H的坐标为，故2.4.2成比例线段(1)应用定比分点公式例3、已知两点P1(3,2)、P2(-8,3)。求点P(,y)分所成的比及y的值。解：由线段的定比分点坐标公式，得解得(2)应用仿射坐标例4、

24、ABC中，D为 BC边上一点，E为AD上一点，且，BE交AC于F，求证：。证明：如图建立仿射坐标系，G、H分别为E、F在x轴上平行射影，设A(0,a)，D(2b,0)，C(3b,0)，G(x1,0)，H(x2,0)可由AE=2ED，按定比分点公式得E，AC的方程：，BE的方程：联立求解得：F，2.5角的问题2.5.1直线的倾斜角(1)应用直线斜率定义例1、已知A(-2,4)，B(-3, +4)，求两点连线的斜率与倾斜角解：直线AB的斜率，即，故(2)应用两直线夹角公式例2、已知直线l的斜率为，试求和它相交成角的直线的斜率和倾斜角。解：设所求直线斜率为k，如果不考虑角的始边和终边，则即解之，得，

25、倾斜角，2.5.2两直线的夹角(1)应用直线斜率定义例3、已知双曲线的离心率等于2，求它的两条渐近线与x轴的夹角。分析：要求两条渐近线的夹角，可利用双曲线关于x轴的对称性质，先求出一条渐近线与x轴的夹角，那么两条渐近线与x轴的夹角，。解：设双曲线的渐近方程为，渐近线的斜率，=由于双曲线关于x轴的对称性质,，(2)应用直线夹角公式例4、已知直线l经过点P(2,1)，且和直线5x+2y+3=0的夹角等于，求直线l的方程。解：设直线l的斜率为，直线5x+2y+3=0的斜率为，则。，即，解得或所以直线l的方程为3x+7y-13=0或7x-3y-11=0。2.6求曲线方程的方法2.6.1基本公式法例1、

26、一条直线经过点A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线的方程。解：设所求直线方程为点A(-2,2)在直线上，故有又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1所以由可得(I)或(II) 由(I)解得或方程组(II)无解故所求的直线方程为或即x+2y-2=0或2x+y+2=02.6.2待定系数法例2、ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程。分析：设出圆方程的一般式，列方程求佳待定系数。解：设所求圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题设得方程组解得D=-4,E=-2,F=-20ABC的外接圆方程为x2+y2-4x-2y-20=02

27、.6.3借助平面几何知识例3、设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(2,2)，求线段AB的垂直平分线的方程。分析：可以按常规思路直接法写直线的点斜式方程，但计算比较繁琐，我们可以利用中垂线的几何特征来解此题。线段AB的垂直平分线上的任一点M应满足条件。解：设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点，则，即整理，得x+y-1=02.6.4轨迹方程的求法(1)直接法例4、动点M到定点A(0,3)的距离等于它到定直线y=-1的距离，求动点M的轨迹方程。分析：依据求曲线方程的步骤求解。解：设轨迹上的任一点为M(x,y)，过M作直线MN垂直于直线y=-1于点N，则由，得，整理得：，所求轨迹方程为。(

28、2)转移法例5、ABC的顶点B、C的坐标分别是(0,0)和(0,4),AB边上中线的长为3，求顶点A的轨迹方程。分析：设A的坐标为(x,y)，则AB边上中点D的坐标为，根据中线的长为3，通过两点间距离公式列方程求解。解：设A的坐标为(x,y)，则中点D的坐标为，由中线的长为3，得，(y0)(3)几何法例6、过不在坐标轴上的定点M(a,b)任做一直线，分别交x轴，y轴于A，B，求线段AB中点P的轨迹方程。分析：根据相似三角形的判定定理易知MBCPBD，由此即可推得x,y之间的关系。解：设线段AB的中点为P(x,y)作MCY轴，PDY轴，垂足分别为C，D则CM=a，OC=b，DP=x，OD=DB=

29、y。MCPDMBCPBD即(x0，y0)，故所求轨迹方程为2xy-bx-ay=0(4)参数法例7、已知圆，定点A(1,0)，B、C是圆上两个动点，保持A、B、C在圆上逆时针排列，且（O为坐标原点），求ABC重心G的轨迹方程。分析：利用三角形重心坐标公式：来解。解：令B(cos,sin)，则C(cos( ),sin()。设重心坐标为G(x,y)，则化为普通方程得2.7极值问题2.7.1应用解方程求极值例1、在椭圆上求一点，使它到直线l：3x-2y-16=0的距离最短，并求此距离。分析：椭圆上到直线l距离最短的点，是和此直线平行的两条切线中的一条的切点。解：直线l：3x-2y-16=0的斜率 k=

30、。斜率为的椭圆切线方程应用斜率为k的切线方程公式：可得取，从方程组解得：，即为切点的坐标。故椭圆上到直线距离最短的点为，最短距离d=。2.7.2应用平面几何知识例2、在直线l：x+2y-7=0上找一点P，使它到A(-1,-1)、B(3,7)两点的距离之和最小。分析：由于A、B两点在直线l的两旁，故直线AB与l的交点即为所求之点。解：直线AB的方程为：整理，得2x-y+1=0联立两直线方程，得，解得所求点P的坐标为(1,3)。2.7.3应用参数方程求极值.例3、若实数x、y满足，求x-y的最大值。分析：将圆化为参数方程来解。解：将圆变为，圆的参数方程为，代入x-y得x-y=（）（）3+3+x-y

31、的最大值为。2.8面积问题2.8.1应用公式计算面积例1、ABC为直角三角形，ABC=，AC=5，分别以AB、BC、AC为直径作半圆如下图，求阴影部分的面积。分析：通过已知条件先求出BC、AB的长度，再根据圆的面积公式算出三个半圆的面积，最后运用求得的面积算出阴影部分的面积。解：设以AB、BC、AC为直径的半圆面积分别为。ABC为直角三角形，ABC=，AC=5AB=， BC=10SABC=根据圆的面积公式，得，S=SABC+ + -= = 阴影部分的面积为。2.8.2证明面积相等例2、ABC为直角三角形，ACB=，AB=5，D为斜边BC的中点，求证：SABD=SADC。分析：欲证两三角形面积相

32、等，只需求出两三角形的底和高，根据三角形面积公式算出两者面积进行比较即可。解：ABC为直角三角形，ACB=，AB=5，B(5,0)，C(0,)D为斜边BC的中点，由中点坐标公式，得D()点D到AB、AC两边的距离分别为、。SABD= ， SADC= ，即SABD=SADC2.9与圆有关的位置关系问题2.9.1点与圆的位置关系例1、O的方程为，点A(1,1)是否在O上？分析：只需求出点A到圆心O的距离d，再比较d,r的大小即可。解：O的方程为，O(0,0)，r=1，d=，即dr，点A在圆外，点A不在O上。2.9.2直线与圆的位置关系例2、O的方程为，直线l:x=1，证明：直线l是O的切线。分析：

33、只需求出圆心O到直线l的距离d，再比较d,r的大小即可。解：O的方程为，O(0,0)，r=1，d= =1，即d=r，直线l是O的切线。2.9.3圆与圆的位置关系例3、O的方程为，C的圆心C(x,0)是x轴上一动点，C的半径R为2，当x取何值时，两圆在平面上覆盖的面积最大？分析：要使两圆在平面上覆盖的面积最大，也就是说两圆重合的面积最少。只有两圆相离或外切时，两圆没有重合的部分。解：O的方程为，O(0,0)，r=1，两圆相离或外切时，两圆在平面上覆盖的面积最大。|x|r+R=1+2=3，即x3，当x3时，两圆在平面上覆盖的面积最大。3.如何建立适当的坐标系解初等几何问题及数形结合思想3.1如何建

34、立适当的坐标系解初等几何问题在初等几何问题中应用坐标法解题，第一步也是最重要的一步就是将需要研究的几何图形放入一个坐标系中。在这里我们可以将初等几何问题分成两类：1、题目中已经给定点的坐标或图形的方程的；2、题目中只确定了要研究的图形的形状的。讨论如何建立适当的坐标系，只能对第二种初等几何问题进行。选取适当的坐标系，可以使证明计算过程简单，得到的结果简明清晰。3.1.1含有直角的问题对于含有直角的问题，可以取直角边作为两坐标轴建立直角坐标系。前面写到的2.4例1 ，2.8例2都属于这种情况。3.1.2轴对称、中心对称图形的问题图形有对称轴或对称中心，常常取对称轴为坐标轴，或对称中心为坐标原点建立坐标系。前面写到的2.1例1，2.4例2都属于这种情况。例、图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水下降1m后，水面宽多少？分析：因为抛物线是轴对称图形，取对称轴为坐标轴