连续系统的s域分析

1、 第五章第五章 连续系统的连续系统的s s域分析域分析 频域分析频域分析以以虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可为基本信号，任意信号可 分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解 得到简化。物理意义清楚。但也有不足：得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些

2、问题。域来解决这些问题。 本章引入本章引入复频率复频率 s = +j,以复指数函数以复指数函数est为基本信为基本信 号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是复频率复频率 s ，故称为，故称为s域分域分 析析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 收敛域收敛域 ( (单边单边) )拉普拉斯变换拉普拉斯变换 常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换 单边拉氏变换与傅

3、里叶变换的关系单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子为此，可用一衰减因子e- t( 为实常数）乘信号为实常数）乘信号f(t) ，适，适 当选取当选取 的值，使乘积信号的值，使乘积信号f(t) e- t当当t时信号幅度趋时信号幅度趋 近于近于0 ，从而使，从而使f(t) e- t的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换相应的傅里叶逆变换 为为 f(t) e- t= de)( 2 1 tj b jF F Fb

4、b( ( +j+j )=)= f(t) e- t= ttfttf tjtjt de)(dee)( )( de)( 2 1 )( )(tj b jFtf 令令s = + j ,d =ds/j，有，有 定义 tetfsF st b d)()( j j de)( j2 1 )( ssFtf st b 双边拉普拉斯变换对 Fb(s)称为称为f(t)的双边拉氏变换（或的双边拉氏变换（或象函数象函数），）， f(t)称为称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或的双边拉氏逆变换（或原函数原函数）。）。 二、收敛域二、收敛域 只有选择适当的只有选择适当的 值才能使积分收敛，信号值才能使积分收敛，信号f(t)的双边

5、的双边 拉普拉斯变换存在。拉普拉斯变换存在。 使使 f(t)拉氏变换存在拉氏变换存在 的取值范围称为的取值范围称为Fb(s)的收敛域的收敛域。 下面举例说明下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。收敛域的问题。 例例1 因果信号因果信号f1(t)= e t (t) ，求拉氏变换。，求拉氏变换。 解解 eelim1 )( 1 )( e dee)( j)( 0 )( 0 1 tt t ts stt b ss tsF ，无界 ，不定 Re, 1 s s 可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当 Res= 时，其拉氏变换存时，其拉氏变换存 在。在。 收敛域如图所示。收敛域如图所示。 j 0 收敛域

6、收敛域 收敛边界收敛边界 例例2 反因果信号反因果信号f2(t)= e t (-t) ，求拉，求拉氏氏变换。变换。 解解 eelim1 )( 1 )( e dee)( j)(0 )( 0 2 tt t ts st t b ss tsF ， ，不定 无界 )( 1 .Re, s s 可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当 Res= 时，其收敛域时，其收敛域 为为 Res 2 2 1 3 1 )()( 22 ss sFtf Res= 3 2 1 3 1 )()( 33 ss sFtf 3 2 可见，象函数相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必双边拉氏变换必

7、 须标出收敛域。须标出收敛域。 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，坐标原点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换 0 def de)()(ttfsF st )(de)( j2 1 )( j j def tssFtf st 简记为简记为F(s)= f(t) f(t)=-1F(s) 或或 f(t) F(s) 四、常见函数的拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换 1、 (t) 1， - 2、 (t)或或1 1/s ， 0 3、指数函数、指

8、数函数e-s0t 0 1 ss -Res0 cos 0t = (ej 0t+ e e-j -j 0t )/2 2 0 2 s s sin 0t = (ej 0t e e-j -j 0t )/2j 2 0 2 0 s 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 线性性质线性性质 尺度变换尺度变换 时移特性时移特性 复频移特性复频移特性 时域微分时域微分 时域积分时域积分 卷积定理卷积定理 s s域微分域微分 s s域积分域积分 初值定理初值定理 终值定理终值定理 一、线性性质一、线性性质 若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2 则则 a1f1(t)+a2f2(t

9、)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例1 1f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 二、尺度变换二、尺度变换 若若f(t) F(s) , Res 0，且有实数，且有实数a0 ， 则则f(at) )( 1 a s F a 0 de)()(tatfatfL st ，则，则令令at 0 de)()( a fatfL a s 0 de)( 1 f a a s a s F a 1 证明：证明： )( 1 a s F a 三、时移特性三、时移特性 若若f(t) F(s) , Res 0, 且有实常数且有实常数t00 , 则则f(t-t0) (t-t0)e-st0F

10、(s) , Res 0 与尺度变换相结合与尺度变换相结合 f(at-t0) (at-t0) a s F a s a t0 e 1 例例1:求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的单边拉氏变换。 01 1 f1(t) t 0 1-1 1 t f2(t) 解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1) F1(s)=)e1 ( 1 s s 例例2:已知已知f1(t) F1(s),求求f2(t) F2(s) 解：解： f2(t) = f1(0.5t) f10.5(t-2) 01 1 f1(t) t 0 24 1 t f2(t) -1 f1(0.5t) 2F1(2s)

11、f10.5(t-2) 2F1(2s)e-2s f2(t) 2F1(2s)(1 e-2s) 四、复频移（四、复频移（s域平移）特性域平移）特性 若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有复常数且有复常数sa= a+j a, 则则f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a 例例1:已知因果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数F(s)= 1 2 s s 求求e-tf(3t-2)的象函数。的象函数。 解：解：e-tf(3t-2) )1( 3 2 2 e 9) 1( 1 s s s 五、时域的微分特性（微分定理）五、时域的微分特性（微分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0

12、, 则则f(t) sF(s) f(0-) )0()0()( )0(0 d )(d 2 2 fsfsFs ffsFs t tf L 1 0 )(1 )0()( d )(d n r rrnn n fssFs t tf L 推广：推广： 证明：证明： )(0 deede 000 ssFf ttsftfttf ststst 六、时域积分特性（积分定理）六、时域积分特性（积分定理） ，则，则若若)()(sFtfL s f s sF fL t )0()( d)( 1 证明：证明： fff tt ddd 0 0 0 1 f 00 dedtf st t t st t st ttf s f s 0 0 0 de

13、 1 d e t st ttf s 0 de 1 s f 0 1 s sF )( 1 d)( 0 sF s xxf n n t 例例1: t2 (t)? )(d)( 0 ttxx t tt t t xxxxx 0 22 0 )( 2 d)(d)( 3 2 2 )( s tt 七、卷积定理七、卷积定理 时域卷积定理时域卷积定理 若因果函数若因果函数 f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2 则则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理 jc jc sFFtftf d)()( j2 1 )()( 2121

14、八、八、s域微分和积分域微分和积分 若若f(t) F(s) , Res 0, 则则 s sF tft d )(d )()( n n n s sF tft d )(d )()( 例例1：t2e-2t (t) ? e-2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 32 2 )2( 2 ) 2 1 ( d d sss s dF t tf )( )( 例例2： ?)( sin t t t 1 1 )(sin 2 s tt s st t t s s 1 arctanarctan 2 arctand 1 1 )( sin 2 九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由初

15、值定理和终值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），）， 而不必求出原函数而不必求出原函数f(t) 初值定理初值定理 设函数设函数f(t)不含不含 (t)及其各阶导数及其各阶导数 则则 )(lim)(lim)0( 0 ssFtff st 终值定理终值定理 若若f(t)当当t 时存在，并且时存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，则，则 )(lim)( 0 ssFf s 举例 例例1： 22 2 )( 2 ss s sF 2 22 2 lim)(lim)0( 2 2 ss s ssFf ss 0 22 2 lim)(lim)( 2 2 00 ss s ssFf ss

16、 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。 通常的方法通常的方法 : （1）查表）查表 （2）利用性质）利用性质 （3） 部分分式展开部分分式展开 -结合结合 若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可写为 01 1 1 01 1 1 . . )( asasas bsbsbsb sF n n n m m m m 若若mn （假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分分 解为有理多项式解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。 )( )( )()( 0 sA sB sPsF 6116 332 2 6116 1531258 )( 23 2 23 234 sss ss s sss ssss sF 由于由于L- 11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的拉的拉 普拉斯逆变换由冲激函数构成。普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。 一、零、极点的概念一、零、极点的概念 若若F(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（m 0 ttfF t de)()(j j 要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。