小学奥数专题之-几何专题

1、小学奥数几何专题 、（ ）如图，已知四边形ABCD中, AB=13, BC=3 CD=4 DA=12 并且 BD与 AD垂直, 则四边形的面积等于多少？ 思 路:显然四边形 ABCD的面积将由三角形 ABD与三角形BCD的面积求和得到.三角形 ABD是直角三角形，底 AD已知，高BD是未知的，但可以通过勾股定理求出，进 而可以判定三角形 BCD的形状，然后求其面积.这样看来，BD的长度是求解本 题的关键. 解：由于BD垂直于AD,所以三角形 ABD是直角三角形.而 AB=13, DA=12,由勾股 2 2 2 2 2 2 定理，BD =AB AD =13 12 =25=5 ，所以 BD=5 三

2、角形 BCD中 BD=5, 292 BC=3 CD=4又3十4 =5 ,故三角形 BCD是以BD为斜边的直角三角形， BC 与CD垂直.那么： S四边形 abcd =S abd + S bcd =12 x 5 十 2+4X 3十 2=36 即四边形ABCD的面积是36. 2、（）如图四边形土地的总面积是48平方米，三条线把它分成了 4个小三角形，其中 2个小三角形的面积分别是 7平方米和9平方米.那么最大的一个三角形的面积是 平方米； 分析:剩下两个三角形的面积和是48-7-9=32 ，是右侧两个三角形面积和的2 倍，故 左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍，最大三角形面积是9 X 2=1

3、8。 3. （）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积 之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？ 思 路:小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。 解：粗线面积：黄面积 =2 : 3 绿色面积是折叠后的重叠部分， 减少的部分就是因为重叠才变少的， 这样可以设总 共3份，后来粗线变 2份，减少的绿色部分为 1份，所以阴影部分为 2-1 = 1份， 4、（） 【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别 拼补在阴影位置。可以看岀，原题图的阴影部分等于右下

4、图中AB弧所形成的弓形，其面积等于 扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 所以阴影面积：nX 4 X 4- 4-4 X 4 - 2=4.56。 5、（* ）下图中阴影部分的面积是多少厘米2? 2 分析与解：本题可以采用一般方法，也就是分别计算两块阴影部分面积，再加起来，但 不如整体考虑好。我们可以运用翻折的方法，将左上角一块阴影部分（弓形）翻折到半 圆的右上角（以下图中虚线为折痕），把两块阴影部分合在一起，组成一个梯形（如下 图所示），这样计算就很容易。 本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转 90，到达右上角，得到同样的一个梯形 6、（）如图6-1，每一个小方格的面积都是丨平方厘米，那么用粗线

5、围成的图形的面积是多 少平方厘米？ （N+ -1） X单位正方形面 2 【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式: 积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数. 有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+7-1 ） X 1=6.5（平方厘米） 2 方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有=3-2=1.5， =2-2=1，=2-2=1，=2-2=1，=2-2=1，=2-2=1,还有三个小正方形，所以粗 实线外格点内的图形面积为1.5+1+1 + 1+1 + 1+3=9.5 ，而整个格点阵所围成的图形的面积为16,所 以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平

6、方厘米. ABCD的边长为10厘米，那么图中 7 （），已知四边形 ABCD和CEFG都是正方形，且正方形 阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米 ？ 【分析与解】方法一：因为CEFG勺边长题中未给出, 正方形CEFG勺边长为x，有： 显然阴影部分的面积与其有关.设 S正方形ABCD 2 =1010=100, S正方形 CEFG=X , S DGF = 1DG 2 GF= 1(10-x)x= 2 10 x-x2 2 ABD 10 10=50, SBEF = -(10+x)x= 2 10 x+x 阴影部分的面积为 S正方形ABCDS正方形CEFG S DGF S ABD S BEF 210 x x

7、10 x x 100 x5050（平万厘米）. 2 2 方法二：连接 FC,有FC平行与DB则四边形BCFD为梯形. 有厶DFB DBC共底DB,等高，所以这两个三角形的面积相等，显然， DBC的面积 1 10 10 50（平方厘米）. 2 阴影部分厶DFB的面积为50平方厘米. 再看上下左右四个面，都是2X 3+1 , 所以，总计 9 X 2+7X 4=18+28=46。 方法二: 思路:所有正方体表面积减去粘合的表面积 解：从图中我们可以发现，总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6 X 14=64,但 总共粘合了 18个面，这样就减少了18X仁18，所以剩下的表面积是64-18

8、=46。 方法三:直接数数。 思 路:通过图形，我们可以直接数岀总共有46个面，每个面面积为 1,这样总共的表 面积就是46 o 9、（） 一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm,玻璃杯内侧的底面积是 72cm, 在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？ 解：水的体积为72 X 2.5=180 （cm3），放入铁块后可以将水看做是底面积为72-6 X 6=32（ cm）的柱体，所以它的高为 180- 32=5 （cm）。 10、（）有一个棱长为 1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60 个小长方体（见左下图）.这 60个小长方体的

9、表面积总和是平方米. （06年三帆中学考试题） 【解】原正方体表面积：1 X 1 X 6= 6 （平方米），一共切了 2+ 3 + 4= 9 （次）， 每切一次增加2个面：2平方米。所以表面积：6 + 2X 9= 24 （平方米） 二：提高题 11、（）图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一 边的中点。已知正方形的边长为10,那么阴影部分面积是多少？ （n取 3.14.） 方法一:阴影面积的“加减法”。 思路:因为阴影部分面积不是正规图形，所以通过整个面积减去空白部分面积来求解。 解：过P点向AB作垂线，这样空白部分面积分成上面的三角形和下面的梯形，这样 阴影面

10、积=整个面积-空白面积=（正方形ABCD半圆）一（三角形 +梯形） =（10X 10+nX 5 X 5-2） -15 X 5-2+ （ 5+15）X 5-2 =51.75 总 结:这种方法是小升初中最常用的方法，一定要学会这种处理思路。 方法二:面积的“加减法”和“切割法”综合运用 思 路:岀现正方形，岀现弧线时，注意两个考点：1.半叶形2。1/4圆，所以我们可以先把 面积补上再减去补上的面积 解：S1=正方形-1/4 圆=5X 5-1/4 XnX 5X 5 上面阴影面积 下面阴影面积 所以阴影面积 =51.75 =三角形 APE-S1=15X 5 - 2-5 X 5-1/4 XnX 5X 5

11、 =三角形QPF-S2= =(15 X 5-2-5 X 5-1/4 XnX 5 X 5) + (10X 5- 2-5 X 5-1/4 XnX 5X 5) 方法三:面积的“切割法” 思路:岀现正方形，岀现弧线时，注意两个考点：1.半叶形2。1/4圆，这样可以考虑把 阴影面积切成几个我们会算的规则图形 解：半叶形 S1=E方形-1/4 圆=5X 5-1/4 XnX 5X 5 上面阴影面积 =三角形 ADP+S1=1（X 5-2+5 X 5 1/4 XnX 5X 5 F面阴影面积=三角形 QPC+S2=X 5 -2+5 X 5 1/4 XnX 5X 5 1/4 XnX 5X 5) =51.75 12

12、、（）如图， ABCG是 4X 7的长方形，DEFG是2 X 10的长方形，那么，三角形 BCM的面 积与三角形DCM的面积之差是多少？ A B r C n V n F 16-7 f! 方法一: 思 路:公共部分的运用，这是小升初的常用方法，熟练找岀公共部分是解题的关键。 LMJ H 解：GC=7，GD=10推岀 HE=3; BC=4, DE=2 阴影BCM面积-阴影MDE面积=（BCM面积+空白面积）-（MDE面积+空白面积）=三角形BHE面积 -长方形 CDEH面积=3X 6 -2-3 X 2=3 总 结:对于公共部分要大胆的进行处理，这样可以把原来无关的面积联系起来，达到解题的目 拓 展

13、:如图，已知圆的直径为 20,S1-S2=12,求BD的长度? 方法二: 思 路:画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC和DE均为已知的，所以关键问题在于求 CM和DM这两条线段之和 CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了， 这恰好可以利用平行线 BC与DE截成的比例线段求得. 解：GC=7 , GD=10 知道 CD=3; BC=4, DE=2 知道 BC:DE=CM:DM 所以 CM=2 MD=1 阴影面积差为：4 X 2 -2-1 X 2 - 2=3 方法三:连接BD BCM S DEM =S BCD S BDE =(3 X 4 2 X 3) + 2=3 13. （）如图所

14、示，在三角形ABC中，DC= 3BD, DE= EA。若三角形 ABC的面积是1,则阴 影部分的面积是多少? 方法一: 思 路:阴影面积是两个不在一起的图形，我们先要通过等量代换，把两个图形拼成一个整 体 解：连接 FD,因为 AE=DE 所以 S1=S3, S2=S4, S1+S2=S3+S4,即三角形 AFC=E角形 FCD 阴影面积等于S3+S4的面积。 又因为DC= 3BD,三角形FDC=3X三角形BDF,这样我们就可以设三角形DFB为1份, 三角形FDC=3份，三角形 AFC=E角形FCD=3份，这样总共面积分成 7份, 方法一: 1）=3册， 宙=经-詐苑=琼 A二用ABC-沖黄

15、阴加R WR ： =3/7 14、（）如图，在 ABC中，AD是AC的三分之一，AE是AB的四分之一，若 AED的面积 是2平方厘米，那么 ABC的面积是多大？ 分析连结EC,如图，因为 AC= 3AD,A AED与AA EC中AD, AC边上的高相同，所以 AEC的面 积是 AED面积的3倍，即 AEC面积是6平方厘米，用同样方法可判断 ABC 的面积且 AEC面积的四倍，所以 ABC的面积是6X4= 24 （平方厘米）。 165 米的一个木条以后，剩下的面积是平方米问 218 （）从一块正方形木板锯下宽为 锯下的木条面积是多少平方米？ 【分析与解】我们画岀示意图（a），则剩下的木块为图（b

16、），将4块剩下的木块如下拼成一 个正方形得到图（c） 我们称AB为长，AD为宽，有长与宽的差为1，所以图（c）中心的小正方形边长为1，于是 2 2 大正方形aehk勺面积为65 x4+1 x 1=529=23 x 23，所以ak长为23. 182236666 23 即，长+宽=，已知：长 6 13 1 13 -宽=丄，得长=兰，于是锯去部分的木条的面积为 2 6 1 131 =1（平方米）. 2 12 2 16、（* ）将三角形 ABC的BA边延长 1倍到D; CB边延长2倍到E, AC边延长3倍到F, 如果三角形ABC的面积等于1,那么三角形 DEF的面积是 分析如图，连接CD BF,则 三

17、角形ADC的面积=三角形ABC的面积 =1 ; 三角形BDE的面积=三角形BCD的面积X 2 = （1+1） X 2=4 ; 三角形CDF的面积=三角形ADC的面积X 3 = 3 ; 三角形BCF的面积=三角形ABC的面积X 3 = 3 ; 三角形BEF的面积=三角形BCF的面积X 2 = 6 ; 三角形DEF的面积=三角形ABC的面积+三角形ADC的面积+三角形BDE的面积+三角 形CDF的面积+三角形BCF的面积+三角形BEF的面积 =1 + 1+4+3+3+6 = 18。 ）如图，已知AE= AC/5，CA BC/4，BF= AB/6，那么三角形DEF的面积等于 三角形ABC的面积 多少

18、? 分析这道题与例34很相像，但不同的是没有 一个现成的单位面积。 要求岀这样一个比例， 要 求我们自己开发一个单位面积。可不可以就用大三角形的面积做单位面积呢？ 如图，连接AD,那么 Sacde= SaacdX 4/5 = SaabcX 1/4 X 4/5 =Sa abcX 1/5 同理，连接BE,那么 Saaef= SaabeX 5/6 = SaabcX 1/5 X 5/6 =Sa abcX 1/6 连接CF,那么 Sabdf= Sa bcfX 3/4 = SaabcX 1/6 X 3/4 =Sa abcX 1/8 所以 三角形DEF的面积-1 - 1/5 - 1/6 - 1/8 -型 三

19、角形ABC的面积120 18、（ ）如图，已知D是BC中点，E是CD中点，F是AC中点。三角形 ABC由这6 部分组成，其中比多6平方厘米。那么三角形 ABC的面积是多少？ 分析仔细观察图形，我们可以发现和这两个三角形形状是一样的，并且EF是厶ACD的中 位线，也就是 EF: AD= 1 : 2。那么和底和高的比都是2: 1 （形状相同，高之比和底 之比是一样的），面积比自然就是4: 1 了。 与的面积比为 4 : 1,并且相差6平方厘米，所以 的面积=6-（ 4 - 1 ）= 2 （平方厘米） 的面积=2X 4 = 8 （平方厘米） 与的面积均为的二倍，的一半，即4平方厘米； 的面积为+，即

20、 4 + 2= 6 （平方厘米） 的面积为+，即8+4+ 4 + 2+ 6 = 24 （平方厘米） 大三角形的面积为的二倍，即 24 X 2= 48 （平方厘米）。 19、（）在4 ABC中 BD DC=2:1,AE : EC=1:3 求 BO 0吕 分析：解法一，用按比例分配的方法，观察线段BE正好被AD分成B0与0E两部分，求这两部 分的比，可以 AD为底，B，E为顶点构造两个三角形，BAD与EAD这样就可以面积比与 线段比之间架一座桥。因为三角形BAD的三个顶点都在三角形 ABC的边上，因此把三角 形ABC的面积看作单位“ 1”，就可以用 -来表示ABD的面积，用 AE的长占AC的1/4

21、， 3 CD的长占 CB的 1/3，- 4 丄=丄来表示AED的面积 3 12 因为： SA ABD SA AED=2 :丄=8: 1,所以 B0: 0E=8: 1。 312 解法二：这幅图形一看就感觉它是燕尾定理的基本图，但2个燕尾似乎少了一个，因此 应该补全，所以第一步我们要连接0C因为AE:EC=1:3 （条件） 所以 SA AOE/SA C0E=1:3 若设 SA AOE=x，贝U SA C0E=3x SA A0C=4x,根据燕尾定理 S A A0B SA A0C=BD DC=2:1 所以 SA A0B=8xB0 : 0E=SA A0B SA A0E=8x x=8:1。 20、（）角形

22、 ABC中，C是直角，已知 AC= 2，CD= 2,CB=3,AM=BM,那么三角形 AMN（阴影 部分）的面积是多少？ 分析:可以连接NB,由燕尾定理及条件可知 CAN ABN= 2: 1，不妨设ANM为1份，则ANB为两 份，CAN就是4份，CND也是4份，全图就是10份，阴影就占全图的 丄 10 21 ()在图中，直线 CF与平行四边形 ABCD勺AB边相交于E点，如果三角形 BEF的面积 为6平方厘米，求三角形 ADE的面积是多少？ 分析：连结AC,因为AB平得CD, AE是三角形ADE ACE的公共底边，所以三角形 ADE与三角 形ACE的面积相等。又因为 BC平行于AF，AF是三角

23、形AFC与三角形ABF的公共底边， 所以三角形 ACF与三角形ABF的面积相等。从图中还可看岀，三角形 ACF的面积二三角 形ACE的面积+三角形AEF的面积，三角形 ABF的面积=三角形 BEF的面积+三角形AEF 的面积。从上面两个等式可以得到三角形ACE的面积=三角形 BEF的面积，而三角形BEF 的面积为6平方厘米，所以三角形 ACE的面积也为6平方厘米，再根据三角形ADE与三 角形ACE的面积相等可得三角形 ADE的面积为6平方厘米。所以三角形 ADE的面积为6 平方厘米。 22、(*)图中的四边形土地总面积为52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其 中2个小三角形的面积分别是

24、 6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ 分析：我们不妨把四个小三角形看成四个元素，而不是整体的一部分。 如图，四个小三角形面积中，两个是我们已知的，另两个未知。已知的两个三角形有共同的底边, 所以它们的高之比就等于面积比6: 7; S1与S2同样有共同的底边，并且它们的高分别与面积为6和7的两个小三角形相同, 也就是同样有 6 : 7的关系。这样 S1: S2= 6: 7 ; 这样，原来的问题就变成一个和倍问题了。很容易知道 S1 = (52 6 7) - (6 + 7) X 6 = 18 (公顷) S2= (52 6 7) - (6 + 7) X 7 = 21 (公顷) 这

25、样四个三角形的面积分别为6、7、18、21,最大的一个为 21 1 23、（）如图，在三角形 ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且 BE=_ AB,已知四 3 边形EDCA的面积是35,求三角形 ABC的面积.（06 年清华附中入学测试题） 【解】根据定理: BED = 1=1，所以四边形 ACDE的面积就是6-仁5份，这样三角形 35 ABC 2 3 6 -5 X 6=42 24、（）四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方（如图）如果小正方形 面积是1平方米，大正方形面积是 5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是 米. （06年实验中学入学 测试题） 【解】小

26、正方形面积是 1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个面积和是5-仁4， 所以每个三角形的面积是1，这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中间 正方形的边长，所以求岀短边长就是1。 25、（）如图在长方形 ABCD中, ABE ADF、四边形AECF的面积相等。 AEF的面积是 长方形ABCD面积的（填几分之几）。（03年资源 杯试题） 【解】连接AC,首先 ABMHA ADC的面积相等，又厶ABE和厶ADF的面积相等，则 AEMHA AFC 的面积也相等且等于 ABCD的1/6，不难得厶AEC与厶ABE的面积之比为1/2，由于这两个三角形 同高，贝U EC与BE之比为1/2，

27、同理FC与DF之比也为1/2。从而 ECF相当于 ABCD面积的1/18， 而四边形 AECF相当于ABCD面积的1/3，从而答案为1/3-1/18=5/18 F C E 26、（）如图1, 一个长方形被切成 8块，其中三块的面积分别为12，23，32,则图中阴 影部分的面积为 （01年同方杯） 【解】设图示两个三角形的面积分别为a和b，因为 AED面积等于ABCD的一半，则 ABE加上 DEC的面积也等于 ABCD的 一半。而 FDC的面积也等于 ABCD的一半，即23+a+32+12+b=a+b+ 阴影面积，可见阴影面积 =23+32+12=67。 F E 27（）右图中AB=3厘米，CD

28、=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形 ABDE的面积是 平 方厘米. 111 【解】：四边形AFDC的面积=三角形AFD+三角形 ADC= x FDX AF) + ( X ACX CD) =- ( FE+ED 222 11 111 x AF+ (AB+BCx CD=( X FEX AF+XEDX AF)+ (X ABXCD X BCX CD)。 22 222 111 所以阴影面积=四边形 AFDC三角形 AFE三角形 BCD=( X FEX AF+丄X EDX AF) + ( X ABX 222 1 111111 CD+ X BCX CD) X FEX AF-X BCX CD= X

29、EDX AF+ X ABX CD= X 8 X 7+ X 3 X 2 2 2 2 2 2 2 12=28+18=46 28、(*)如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠 部分，C, D, E是空岀的部分，这些部分都是长方形，其中4个的面积比是 A:B:C:D = 123:4 那么这个长方形的长与宽之比是多少？ Ar R- C: P-口 r , JI. 4 -K 畢年丛eiiaP -BMii.Ai r-i J1-聽唱 .层 1+ A K才!If： rI IS- P E D C B E 5 A 加 D4 5C 2 B * 1 1T 图9 三个疋左形一样犬，卜團中 苗线和黄嵯相等 ini积配B=L： 2红线比=1柑 Dt E=3i 4s b? 绿些比2