正切函数的图象和性质

1、1 数学使人聪颖数学使人聪颖 数学使人严谨数学使人严谨 数学使人深刻数学使人深刻 数学使人缜密数学使人缜密 数学使人坚毅数学使人坚毅 数学使人智慧数学使人智慧 2 3 一、引入一、引入 如何用正弦线作正弦函数图象呢？如何用正弦线作正弦函数图象呢？ 用正切线作正切函数用正切线作正切函数y=tanxy=tanx的图象的图象 .2 , 0,sin1图图象象、用用平平移移正正弦弦线线得得 xxy .2图图象象向向左左、右右扩扩展展得得到到、再再利利用用周周期期性性把把该该段段 类类 比比 4.10 正切函数的图像和性质正切函数的图像和性质 4 问题问题1 1、正切函数、正切函数 是否为周期函数？是否为

2、周期函数？ y = tanxy = tanx 是周期函数，是周期函数， 是它的一个周是它的一个周 期期 y = tanxy = tanx 我们先来作一个周期内的图象。 想一想想一想：先作哪个区间上的图象好好呢？ ( ( - -, ,) ) 2 22 2 利用正切线画出函数利用正切线画出函数 ， 的图像的图像: : xytan 22 ，x f f x x+ + = = t ta an n x x+ + = = t ta an nx x xf 为什么？为什么？ 二、探究二、探究用正切线作正切函数图象用正切线作正切函数图象 4.10 正切函数的图像和性质正切函数的图像和性质 5 4.10 正切函数的

3、图像和性质正切函数的图像和性质 3 ），（ 33 tan A T 0 X Y 问题问题2 2、如何利用正切线画出函数、如何利用正切线画出函数 ， 的图像？的图像？ xytan 22 ，x 的终边的终边角角 3 6 作法作法:(1) 等分：等分： (2) 作正切线作正切线 (3) 平移平移 (4) 连线连线 把单位圆右半圆分成把单位圆右半圆分成8等份。等份。 8 3 4 8 8 4 8 3 ， 利用正切线画出函数利用正切线画出函数 ， 的图像的图像: : xytan 22 ，x 4 4 2 8 8 8 3 8 3 2 0 o 7 正切曲线 0 3 2 是由通过点 且与 y 轴相互平行的 直线隔开

4、的无穷多支曲线组成 (,0)() 2 kkZ 渐进线 渐进线 4.10 正切函数的图像和性质正切函数的图像和性质 8 定义域定义域：Zk,k 2 x|x 值域值域： 周期性：周期性： 奇偶性：奇偶性： 在每一个开区间在每一个开区间 ， 内都是增函数。内都是增函数。 ) 2 , 2 ( kk Zk 正正 切切 函函 数数 图图 像像 奇函数，图象关于原点对称。奇函数，图象关于原点对称。 R 单调性：单调性： Z k , 2 kx (6)渐近线方程：渐近线方程： (7)(7)对称中心对称中心 kk (,0)(,0) 2 2 渐进线 性质 : 渐进线 9 (1)正切函数是正切函数是上的上的增增函数吗

5、？为什么？函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是正切函数会不会在某一区间内是减减函数？为什么？函数？为什么？ 问题：问题： A B 在每一个开区间 ， 内都是增函数。 ( (- -+ + k k, ,+ + k k) ) 2 22 2 k kZ Z 问题讨论 10 A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值 D 平行于 轴的的直线被正切曲线各支所截线 段相等 1关于正切函数 , 下列判断不正确的是（ ） 函数的一个对称中心是（） tanyx x tan(3 )yx (,0) 9 (,0) 6 (,0) 4 (,0) 4 A . B. C. D. 基础

6、练习 B C 11 例例1 1、比较下列每组数的大小。、比较下列每组数的大小。 o oo o ( (1 1) )t ta an n1 16 67 7 与与t ta an n1 17 73 3 1 11 1 t ta an n( (- -) ) 4 4 1 13 3 t ta an n( (- -) ) 5 5 （2） 与与 例题分析 0000 90167173180 tanyx 在，上是增函数， 2 00 tan167tan173 11 tan()tan, 44 132 tan()tan 55 2 0, 452 tanyx 又在 0，是增函数 2 2 tantan 45 1113 tan()t

7、an(). 45 解解: (1) (2) 12 例例1 1、比较下列每组数的大小。、比较下列每组数的大小。 o oo o ( (1 1) )t ta an n1 16 67 7 与与t ta an n1 17 73 3 1111 tan(-)tan(-) 4 4 1313 tan(-)tan(-) 5 5 （2） 与与 说明：比较两个正切值大小，关键是把相说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角应的角 化到化到y=tanx的同一单调区间内，再的同一单调区间内，再 利用利用y=tanx的单调递增性解决。的单调递增性解决。 例题分析 0000 90167173180 tanyx 在，上是增函数

8、， 2 00 tan167tan173 解解: 13 例题分析 解解 : ,tan, 4 txyttRkZ 设则的定义域为 t且tk + 2 , 42 xk 4 xk , 4 x xRxkkZ 因此，函数的定义域是且值域 : R tan() 4 yx 求函数的定义域、值域和单调区间. 例 2. tan, 2 ytkkkZ 的单调增区间是- 2 2 24 kxk 3 44 kxk 3 , 44 kkkZ 函数的单调增区间是 14 较 0 00 0 1 1、比比大大小小： ( (1 1) )t ta an n1 13 38 8 _ _ _ _ _ _t ta an n1 14 43 3 。 1 1

9、3 31 17 7 ( (2 2) )t ta an n( (- -) )_ _ _ _ _ _t ta an n( (- -) ) 4 45 5 、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增 区间。 定义域：定义域：zk, 63 k xx R值值域域： zk, 3 k , 3 k ）单调递增区间：（单调递增区间：（ 6 66 6 反馈演练 15 求函数 的周期. tan(3)tan3 ,xx因为 即tan3(x+)=tan3x, 3 这说明自变量 x ,至少要增加，函数的值 才能重复取得，所以函数的周期 是 tan 3yx 3 tan3yx 3 例例 反馈练习：求下列函数的周期： (1)5t

10、an 2 x y (2)tan( 4 )yx 例题分析 解：解： 2 4 16 tan3x 解不等式： 解： 例题分析 例 y x T A 3 0 )( 2 , 3 Zkkkx 由图可知： 17 tan3x 解不等式： 解： 0 y x 3 2 3 )( 2 , 3 Zkkkx 由图可知： 例 例题分析 18 tan0 x 2、解不等式：1- 3 tan() 63 x 3、解不等式： 1、 解不等式 1+tanx0 反馈演练 答案: 1. , 42 xx kxkkZ , 24 xx kxkkZ 2. 3. 2 , 33 xx kxkkZ 19 tan 3 3 yx 求函数求函数 的定义域、值域

11、，并指出它的的定义域、值域，并指出它的 单调性、奇偶性和周期性；单调性、奇偶性和周期性； 、定义域1 、值域2 15 | 318 xx xRxkkZ 且， yR 3、单调性 115 , 318 318 xkk 在上是增函数； 4、奇偶性 5、周期性 最小正周期是 3 非奇非偶函数 提高练习 答案答案: 20 1. 已知 则( ) A.abc B.cba C .bca D. bac tan1,tan 2,tan 3,abc 补充练习 2 2.(tan)4 tan1yxx求的值域； 3.tan1, 已知 是三角形的一个内角，且有 则 的取值范围是 3 , 4 0,2 3 , 4 0, 2 A. B . C. D.以上都不对 ( c ) c -5,+ 21 四、小结：正切函数的图像和性质四、小结：正切函数的图像和性质 2 、 性质性质:xy tan 象象向向左左、右右扩扩展展得得到到。再再利利用用周周期期性性把把该该段段图图 的的图图象象，移移正正切切线线得得、正正切切曲曲线线是是先先利利用用平平) 2 , 2 (x, xtany1