第02讲 绝对值w

1、第2讲 绝对值知识方法扫描1绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值还是零即 2绝对值的几何意义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值3绝对值的性质：（1）|ab|=|a|b|； |an|=|a|n； |a-b|=|b-a|（2）|a|=|b|等价于a=b或a=-b， 即a2=b2（3）|a-b| 就是数轴上表示数a的与表示数b的两点之间的距离（4）|a| 是一个非负数。经典例题解析例1 （2004年重庆市初中数学竞赛初一试题）计算= 。解：原式=（）+（）（）= 0， 故填0。例2 （2007年第5届创新杯数学邀请赛初一试题）已知a,b

2、 互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值等于1，则(a+b)x3+x2-cdx可以取得的那个较大的值是 。解 因a,b 互为相反数，故a+b=0； 因c,d互为倒数，故cd=1；于是 原式=x2-x因x的绝对值等于1，故x=1，当x=1时，原式=0；当x=1时，原式=2。所以，应填2。例3 （2000年第15届江苏省初中数学竞赛初一试题）a、b是有理数，如果那么对于结论：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数，其中（ ）。 （a）只有（1）正确 （b）只有（2）正确 （c）（1），（2）都正确 （d）（1），（2）都不正确解 当ab时，有a-b=a+b.于是 b=0, a0 当ab时，有-（

3、a-b）=a+b. a=0, b0 所以a,b两数中一个为0，另外一个是非负数，所以（1）正确，（2）不正确。应选（a）。评注：去掉绝对值的符号，是处理绝对值问题的基本方法。这就需要探究绝对值符号内的数的正负，分类讨论，往往是必须的。例4 （2004.江苏省初中数学竞赛题）已知且则s的最大值与最小值的差是 。解 由知x-20 于是，得 因为 于是，当|x|=0时，s取最大值4；当|x|=2时，s取最小值3其差为4-3=1。故填1。例5（2007年“创新杯”数学邀请赛初一试题）设k是自然数，且ka+b=0，则 等于（ ）（a） 3 （b） 2 （c） 3+ （d）2-解 由得 显然k0（否则b=

4、0, 代数式无意义），又k是自然数，于是k0.所以 (*)当a0时，(*)变为 当a0即 ,(3a-1)20, |2a+4|0, 2a+40. (3a-1)2+|2a+4|2a+4, 矛盾：(2)当3a-10, (3a-1)20, |2a+4|0=2a+4, (3a-1)2+|2a+4|2a+4, 矛盾；(3)当3a-1=0, 即时, 上式成立. 例7 （2001年北京市初二数学竞赛试题）在6张纸片的正面分别写上整数1,2,3,4,5,6, 打乱次序后, 将纸片翻过来, 在它们的反面也随意分别写上16这6个整数, 然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值, 得到6个数, 请你证明: 所得

5、的6个数中至少有两个是相同的.证明：设6张卡片正面写的数是a1，a2，a3 ,a4 ,a5,a6 ,反面写的数是b1，b2，b3 ,b4, b5, b6 ,则6张卡片正面写的数与反面写的数的差的绝对值分别为|a1-b1|，|a-b|，|a-b|，|a-b|，|a5-b5|，|a6-b6|设这6个数两两不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值.于是|a1-b1|+|a-b|+|a-b|+|a-b|+|a5-b5|+|a6-b6|=0+1+2+3+4+5=15是个奇数.另一方面，|ai-bi|与ai-bi（i=1,2,3,4,5,6）的奇偶性相同，所以|a1-b1|+|a-b|+|a-b

6、|+|a-b|+|a5-b5|+|a6-b6|与（a1-b1）+(a-b)+(a-b)+(a-b)+(a5-b5)+(a6-b6)= (a1+ a+ a+ a+ a5+ a6)-(b1+ b+ b+ b+ b5+ b6 )=（1+2+3+4+5）-（1+2+3+4+5）= 0的奇偶性相同，是个偶数，矛盾.所以, |a1-b1|，|a-b|，|a-b|，|a-b|，|a5-b5|，|a6-b6|这6个数中至少有两个是相同的. 例8 (2005年四川初中数学联赛试题，1997年上海市初中数学竞赛试题)某环形道路上顺次排列着四所中学：a1,a2,a3,a4.它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台。

7、为使各校的彩电数相同，允许一些学校向相邻中学调出彩电，问应怎样调配才能使调出的彩电总台数最少？并求出调出彩电的最少总台数。解 设a1校调往a2校 x1台（若x10，则是a2校调往a1校-x1台，下同），a2校调往a3校 x2台，a3校调往a4校 x3台，a4校调往a1校 x4台。于是有15- x1+ x4=10， 8- x2+ x1=10，5- x3+ x2=10，12- x4+ x3=10。从而有 x2= x1-2，x3 = x2 -5= x1-7，x4= x1-5，调出的彩电总台数为y=| x1 |+| x2 |+| x3 |+| x4 | =| x1 |+| x1-2 |+| x1-7|

8、+| x1-5|,其中-8x115。在数轴上，| x1 |+| x1-7|表示数x1到0和7的距离之和；当0x17时，它有最小值7； | x1-2 |+| x1-5|表示数x1到2和5的距离之和；当2x15时，它有最小值3。于是当2x15时，y有最小值10。所以调出彩电的最少总台数为10，当x1=2，3，4，5时可以得到四个调运方案：（1）a1校调往a2校 2台，调往a4校 3台；a4校调往a3校 5台。（2）a1校调往a2校 3台，调往a4校 2台；a2校调往a3校 1台；a4校调往a3校 4台。（3）a1校调往a2校 4台，调往a4校 1台；a2校调往a3校 1台；a4校调往a3校 4台。

9、（4）a1校调往a2校 5台，a2校调往a3校 3台，a4校调往a3校 2台。原版赛题传真同步训练一 选择题1（2006年第一届“南方杯”数学邀请赛试题）如图，a、b、c、d是数轴上的四个整数所对应的点，且ba=cb=dc=1，而点a在a与b之间，点b在c与d之间，若| a | | b | = 3，且a、b、c、d中有一个是原点，则此原点应是（ ）。（a）a或d （b）b或d （c） a （d） d1a 因点a和点b的距离小于3，故原点不能是b或c，否则| a | | b | 3. 2（2000年重庆市初中数学竞赛初一试题）如果x-2，则等于（ ）（a）x+2 (b) -(x+2) (c) x

10、 (d) -x2. b因x-2，故x+21+x0, =(x+2)3（1997年湖北省荆州市八年级数学竞赛试题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则在a+b，b-2a，|b|-|a|，|a-b|，|a+2|-|b-4|中，负数共有( ) (a)3个 (b)1个。 (c)4个 (d)2个3a易知0b1，-2a|b|.因此，|b|-|a|0, -2a+b0.|b|-|a|0.而|a+2|-|b-4| = a+2-(4-b)=(a+b)-20时, |x|=5,|y|=1, |x+y|=6,|x-y|=4. |x-y|-|x+y|=|4-6|=2.当xy0时, |x|=5,|y|=1, |x+y|=4,

11、|x-y|=6. |x-y|-|x+y|=|6-4|=2. |x-y|-|x+y|=2.8( 2000年第15届江苏省初中数学竞赛初一试题) a,b,c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且a则可能取得的最大值是_.8. 16.=2c-2a要使2c-2a取得最大值，就应使c尽可能大且a尽可能小又a，b，c是三位数的百位、十位和个位数字当c=9，a=l时2c-2a取得最大值16，填169. （2004年重庆市初一数学竞赛决赛试题）已知：a、b、c都不等于0，且的最大值为m，最小值为n，则 (m+n) 2004_.9. 0当a,b,c,d均为正数时，m=1+1+1+1=4; 当a,b,c,d

12、均为负数时，n=-1-1-1-1=-4(m+n) 2004(4-4) 2004=010. （2007年第18届“希望杯”数学邀请赛试题）a,b,c都是质数，且满a足a+b+c+abc=99 则 _.10若a，b，c都是奇数，显然，等式不能成立，所以a，b,c中至少一个是偶数不妨设质数a是偶数，则 a=2，此时有2+b+c+2bc=99, b+c+2bc=97,由此可见 b，c必定一奇一偶 不妨设质数b是偶数，则 b=2，此时有 2+c+4c=97，5c=95，所以 c=19因此， = 三 解答题11（1992年第二届“勤奋杯”数学邀请赛初中一年级试题）三个有理数a、b、c,其积是负数,其和是正

13、数,当时,试求代数式的值.11由题设知 a、b、c 均不为0 ,又a 、b、c 积是负数故为一负二正或三负. 因其和是正数,故不能为三负，只能是一负二正.不妨设a0,c0, x=-1+1+1=-1, 于是=(-1)+92+2=9312（1986年扬州市初一数学竞赛试题）设t=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0p15.对于满足px15的x的来说，t的最小值是多少？12 由已知条件可得：t=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.当px15时，上式中在x取最大值时t最小；当x=15时，t=30-15=15，故t的最小值是15.13(2001年河北夏令营数学竞赛试题)若

14、a,b,c均为整数，且|a-b|2001+ |c-a|2001 = 1，求 |a-c| +|c-b| + | b-a| 的值13 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且|a-b|2001、 |c-a|2001为两个非负整数，和为1，所以只能是 |a-b|2001=0且|c-a|2001=1， 或 |a-b|2001=1且|c-a|2001=0 由有a=b且c=a1，于是a-c=c-b=1；由有c=a且a=b1，于是b-a=c-b=1无论或都有b-c=1且b-a+a-c=1，所以 |a-c| +|c-b| + | b-a| = 214. 对于和式 s = |2x-1| + |3x-1

15、| +|4x-1| + |5x-1| + |6x-1| + |7x-1| + |8x-1| + |9x-1| + |10x-1| 当x取某一个范围内的值时，s都取同一个值。求x的取值范围和此时s的值。14. 注意到 2+3+4+5+6+7 = 8+9+10， 所以当x时，有 s = -(2x-1)-(3x-1)-(4x-1)-(5x-1)-(6x-1)-(7x-1)+(8x-1)+(9x-1)+(10x-1)=315. （1991年第2届“希望杯”数学邀请赛试题）少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1-x2|的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为p试求出p的最大值，并说明理由15由于输入的数都是非负数当x10，x20时，|x1-x2|不超过x1，x2中最大的数对x10，x20，x30，则|x1-x2|-x3|不超过x1，x2，x3中最大的数小明输入这1991个数设次序是x1，x2，x1991，相当于计算：|x1-x2|-x3|-x1990|-x1991|=p因此p