专升本高数公式大全教程文件

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 高等数学公式 导数公式： (tgx) sec x (ctgx)esc2 x (secx) seex tgx (esex)cscx ctgx (ax) ax lna (log ax) xl na (arcsin x) (arccos x) (arctgx) (arcctgx) 1 1 1 x2 1 1 x2 基本积分表： tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx C cscxdx In cscx ctgx C dx 2 , 2 sec xdx tgx C cos x dx

2、 2 2 csc xdx ctgx C sin x secx tgxdx secx C dx 2 x2 cscx ctgxdx cscx C x x a axdxC In a shxdx chx C 丄 InU C 2a a x chxdx shx C dx 、a2 arcs dx .x2 a2 22 In( x x a ) C 2 2 n 4 n n 1 1 n sin xdx cos xdx 1 n 2 0 0 n 2 Jx2 2 a dx x : 2 x 2 a a In (x J x2 a2 ) C 2 2 2 Jx2 2 a dx 2 a a In x ；2 2 V x a C 2

3、2 2 2 2 dx x : 2 2 a x - va x va x arcsin -C 2 2 a 2u 1 2 u sin x2 , cosx 2 , 1 u 1 u 三角函数的有理式积分: u tg-, dx 2 1 u 一些初等函数: 两个重要极限: 双曲正弦：shx 双曲余弦：chx 双曲正切:thx arshx In (x archx In (x xx e e 2 shx ex x e chx ex x21) x21) x e sinx lim1 x 0 x 1 x lim(1 -)x x x e 2.718281828459045 arthx llnl x 2 1 三角函数公式:

4、 诱导公式： 函数 角A sin cos tg ctg -a -sin a cos a -tg a -ctg a 90 a cos a sin a ctg a tg a 90 a cos a -sin a -ctg a -tg a 180 a sin a -cos a -tg a -ctg a 180 a -sin a -cos a tg a ctg a 270 a -cos a -sin a ctg a tg a 270 a -cos a sin a -ctg a -tg a 360 a -sin a cos a -tg a -ctg a 360 a sin a cos a tg a ctg

5、 a -和差化积公式: sin( )sin cos cos sin cos( )cos cos sin sin 、tg tg tg( ) 1 tg tg 、ctg ctg 1 ctg( ) ctg ctg -和差角公式: sin sin cos cos sin sin cos cos 2sin cos 2 2 2 cos sin 2 2 cos cos 2 2 2 sin sin 2 sin 2 2 si n cos2 2 cos2 ctg2 ctg2 2ctg tg2 2tg 2 倍角公式： cos 1 -半角公式: 1 1 2si n2 2 cos .2 sin sin3 3si n co

6、s3 4 cos3 tg3 3tg 4si n3 3cos -3 tg 2 sin 2 1 cos cos 2 1 cos 1 cos 1 cos sin -正弦定理： sin A sin B sin 1 cos ctg- 1 cos sin 1 cos sin 1 cos 亠2R sin C -余弦定理: b2 2abcosC 反三角函数性质：arcsin x arccosx 2 arctgx 2 arcctgx 高阶导数公式一一莱布尼兹( Leibniz )公式： n (n)k (n k) (k) (uv)Cnu v k 0 (n)(n 1)n(n 1) u v nu vu (n 2)n(

7、n v 1) (n k 1) (n k) (k) u v 2!k! UV (n) 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a) 柯西中值定理：丄包血丄 F(b) F(a) F () 当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理 曲率： 弧微分公式：ds 1 y 2dx,其中y tg d y_ ds J(1 y2)3 平均曲率：K .:从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量；s： MM弧长。 M点的曲率：K lim s 0 直线：K 0; 半径为a的圆：K丄. a 定积分的近似计算: yn 1) yiyn i b 矩形法：f(x) a b 梯形法：f (

8、x) a b a, (yo yi n b a 1 z 、 (y。 yn) n 2 b 抛物线法：f (x) a (yo yn) 2(y2 y4 yn 2)4(yi y3 yn i) 定积分应用相关公式: 功：W F s 水压力：F p A 引力：F kmimP2,k为引力系数 f(x)dx r 函数的平均值：y 均方根： .1f2(t)dt b a 空间解析几何和向量代数: 空间2点的距离：d M1M2 向量在轴上的投影：PrjuAB .(X2 xj2 (y2 如)2 (Z2 乙)2 AB cos ,是AB与u轴的夹角。 Pr ju(a1 a?) Pr ja1 Pr ja2 a b cos a

9、xbx ay by azbz，是一个数量， 两向量之间的夹角: cos axbx 2 2 axay ayby azb az2.bx2 z 2 by 2 bz cab ax bx ay by az bz a b sin .例: 线速度: 向量的混合积: abc (a b) c ax bx Cx ay by Cy az bz Cz b I c cos ,为锐角时, 代表平行六面体的体积 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 x 只供学习与交流 平面的方程： 1、点法式：A(x xo) B( y yo) C(z 般方程：Ax By zo)0,其中 n A, B,C, Mo(Xo,yo,Zo)

10、 2、 Cz D 0 3、截距世方程：-y a b 平面外任意一点到该平 面的距离: Axo By。Czo D A2 B2 C2 Xo 空间直线的方程: x Xo m Zo p t,其中s m, n, p;参数方程: y。 Z mt nt Pt 二次曲面: 1、 2、 3、 2 2 2 x y z 2 .2 2 a b c 2 2 x y z,(|： 2p 2q 2 2 2 :x y z : 2 2 2 a b c 2 2 2 :x y z : 2 .2 2 a b c 椭球面: 1 抛物面: 双曲面: 1 1(马鞍面) 单叶双曲面 双叶双曲面 多元函数微分法及应用 全微分：dz dx x 全

11、微分的近似计算： dy y z dz du dx dy dz y z fy(x,y) y x fx(x, y) x 多元复合函数的求导法： dz dt z fu(t),v(t) z fu(x,y),v(x,y) x 当u u(x,y), v v(x, y)时， du dx dy x y 隐函数的求导公式： dv dx x dy y 隐函数F(x,y) 0, dy dx d2y 隐函数 F(x,y,z) 0, Fy， F Fz， dx2 (音)+( x Fyy Fx y dy dx Fz 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 隐函数方程组：F(x,y,u,v) 0 j (

12、F,G) G(x,y,u,v) 0(u,v) u 1 (F,G) v 1 (F,G) x j (x,v) x J (u,x) u 1 (F,G) v 1 (F,G) y j (y,v) y j (u,y) 微分法在几何上的应用： x 空间曲线y z (t) (t)在点M (x0, y0, Zq )处的切线方程: (t) 在点M处的法平面方程: F u G u xXq (to) (to)(x xo)(to)(y yo) Fy Fz Gy G z Fu Gu y yo (to) Fv Gv z Zo ltQ) (to)(z zo)o FzFx Gz Gx Fx Gx 若空间曲线方程为：F(X, y

13、,Z) 0则切向量T G(x,y,z) 0 曲面 F (x, y,z) 0上一点 M (xo, yo,zo)，则: 过此点的法向量：n Fx(xo, yo,zo), Fy(x, y, Zo), Fz(x, y,z。) 过此点的切平面方程：Fx(Xo,yo,z)(x xo) Fy(xo,yo,zo)(y y) Fy Gy 1、 2、 Fz(Xo,yo,Zo)(z zo)0 3、 x Xo yyo z Zo 过此点的法线方程： Fx(Xo,yo,Zo) Fy(Xo, yo,Zo) Fz(Xo,yo,Zo) 方向导数与梯度: 函数z f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向I的方向导数为： -

14、cos x sin y 其中为x轴到方向I的转角。 函数z f (x, y)在一点 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) 它与方向导数的关系是： grad f (x,y) e，其中e cos i sin j，为l方向上的 单位向量。 f是gradf (x, y)在l上的投影 多元函数的极值及其求法： 设 fx(x,y) fy(X0, y) 0,令：fxx(X0,y) A, fxy(X0,y) B, AC B2 口斗 A 0时， 0,(x。，y。)为极大值 A 0,(x。，y。)为极小值 则： AC B2 0时， 无极值 AC B2 0时, 不确定 fyy(X0,y) C 重积分及其应用:

15、f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd 2 2 曲面z f (x, y)的面积A 1 z dxdy D X y X (X,y)d 平面薄片的重心：X M x D M ,y M (X, y)d D M D D y (x,y)d D (X, y)d D 平面薄片的转动惯量：对于x轴lxy2 (x, y)d , 对于y轴I y D 平面薄片(位于 xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F 2 x (x, y)d D Fx,Fy,Fz，其中: (x,y)xd x3 ? D/222 (x y a ) 柱面坐标和球面坐标： Fy (x, y)yd D(x

16、2 y2 3， a2f Fz fa D(x2 (x, y)xd 3 a2)2 x r cos 柱面坐标：y r sin , f (x, y, z)dxdydz F(r, ,z)rdrd dz, z z 其中：F(r, ,z) f (r cos x rsin cos 球面坐标：y r sin sin , ,r sin ,z) dv rd rsin dr r2sin drd z r cos f (x, y,z)dxdydz F(r, 2 ,)r sin drd 重心：x - M x dv, y dv, 2 d 0 1 M r(,) F(r, 0 dv, 转动惯量：I (y2 z2) Iy (x2

17、z2) Iz )r2 sin 其中M (x2 dr y2) dv dv 曲线积分: 第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)： 设f (x, y)在L上连续, L的参数方程为：x y (t) (t) t ),则: f(x,y)ds f (t), L (t),2(t)2(t)dt ) 特殊情况: t (t) 第二类曲线积分(对坐 设L的参数方程为x y 标的曲线积分)： 爲则： P(x,y)dx Q(x,y)dy L 两类曲线积分之间的关 P (t), (t) (t) Q (t), 系：Pdx L L上积分起止点处切向量 的方向角。 Q P 格林公式：()dxdy : Pdx d x y l 当Py

18、,Q x,即：卫2时， x y 平面上曲线积分与路径无关的条件: 1、G是一个单连通区域； Qdy (Pcos Qcos L Qdy格林公式：(-Q D x 得到D的面积：A )ds其中 P )dxdy y 分别为 Pdx Qdy L 1 dxdy xdy ydx QP 2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数 ,且-Q二上。注意奇点，如(0,0)，应 xy 减去对此奇点的积分，注意方向相反! 二元函数的全微分求积： Q P 在一=一时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x,y)的全微分，其中: x y (x,y) u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x

19、y 0 (x),y0) 曲面积分： 对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x, y)1 z；(x,y) z：(x,y)dxdy Dxy 对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中： R(x, y, z) dxdy Rx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号； D xy P(x, y, z) dydz Px(y,z), y,zdyd乙取曲面的前侧时取正号； D Q(x,y,z)dzdx yz Qx, y(z,x),zdzdx取曲面的右侧时取正 号。 Dzx 两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qd

20、zdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds 高斯公式: PQ x y R)dv z 、Pdydz Qdzdx Rdxdy :(P cos Qcos 散度： .P div Q R,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 x y z 通量： A nds An ds (PcosQ cosRcos )ds, 高斯公式的物理意义 通量与散度: Rcos )ds div0,则为消失 因此，咼斯公式又可写成： div Adv . Ands y z z x dydz dzdx 上式左端又可写成： xy PQ 斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系： ( )dydz (-P )dzdx 空间曲线

21、积分与路径无关的条件: Q P ( )dxdy 。Pdx Qdy Rdz x y dxdy cos cos cos z x y z R P Q R R Q P R Q P y z z x x y i 旋度：rotA x P 向量场A沿有向闭曲线 的环流量：Pdx Qdy Rdz A tds 常数项级数： 等比数列：q q2 等差数列：2 3 调和级数：-1 23 级数审敛法： 1 qn 1 q (n 1)n 2 1是发散的 n 1、正项级数的审敛法 根植审敛法(柯西判 别法)： 1时，级数收敛 设：lim n Un，则1时，级数发散 1时，不确定 2、比值审敛法： 1时，级数收敛 设： lim

22、仏，则1时，级数发散 n U n1时，不确定 3、定义法： sn u1 u2un;lim sn存在，则收敛；否则发 散。 n 交错级数u1u2u3u4(或u1U2U3,Un0)的审敛法莱布尼兹定理: 如果交错级数满足 UnUn 1 limun 0, 那么级数收敛且其和s U1,其余项rn的绝对值rn un 1。 绝对收敛与条件收敛: (1) u1 u2 un ，其中un为任意实数； (2) 5u2 u3un 如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数; 如果(2)发散，而 收敛，则称(1)为条件收敛级数。 调和级数： 级数： p级数 幕级数： 1发散，而少收敛; nn 丄收敛; n

23、 1时发散 1时收敛 1 x x2 1时，收敛于丄 1 x 1时，发散 对于级数(3)a0 a1x 2 a2x 数轴上都收敛，则必存 n anX X 在R,使 X X ，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全 R时收敛 R时发散，其中R称为收敛半径。 R时不定 0时, 求收敛半径的方法：设 lim n an 1 an 其中an， an 1是(3)的系数，则 0时， 时，R 0 函数展开成幕级数: 函数展开成泰勒级数: f(x)f(X0)(X X0)-(x X0)2 2! (n), f (x0)(x X0)n n! 余项：Rn x0)n 1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim R, 0

24、 x 0时即为麦克劳林公式: f(x) f(0) f (0)x 2! f (n)(0) n X n! 些函数展开成幕级数: (1 x)m 1 mx 2! m(m 1) (m n 1) n X n! 1 x 1) sinx x 3 X 3! 5 X 5! 1)n 2n 1 1 (2n 1)! 欧拉公式: ix e cosx i si nx cosx 或 sin x ix e 三角级数: f(t) A。 ix e 2 ixix e e 2 A sin( n n 1 aA，anAn sin n，S 其中， 正交性：1,sin x, cosx, sin 2x,cos2x 上的积分=0。 傅立叶级数：

25、a (an cosnx n 1 An COs n， sin nx,cosnx bn sin nx) X。 t 任意两个不同项的乘积 在 f(x) a。 (an cosnx bnsinnx), 周期 n 1 an f(x)cosnxdx (n 0,1,2 其中 bn f (x)sinnxdx (n 1,2,3 1丄 32 1 1 2242 8 24 1 1 22 1 32 1 孑 2 (相加) 6 2 一(相减) 12 正弦级数: an 0, bn f (x)sin nxdx 1,2,3 f (x) bn sin nx是奇函数 余弦级数: bn 0, an f(x)cosnxdx 0 0,1,2 f(x) ao 2 an cos nx是偶函数 周期为2l的周期函数的傅立叶级数: 21 f(x) ao(an cos bn sin周期 2 n 1ll 其中 bn f (x) cos dx 1 f (x)s in l i (n 0,1,2 ) (n 1,2,3 ) 微分方程的相关概念: 一阶微分方程：y f(x, y) 或 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f (x)dx的