已趋山花烂漫时

1、已 趋 山 花 烂 漫 时 -义务教育数学课程标准（2011年版） 的学习思考 n一、义务教育数学课程实施成效与问题 n二、 2011年版课标修订的变化 n三、核心概念的解读 n四、第三学段课程内容的修订分析 义务教育阶段数学课程标准义务教育阶段数学课程标准 修订的指导思想及进程修订的指导思想及进程 一、数学课程实施的基本历程一、数学课程实施的基本历程 二、数学课程实施中取得的成效及进展二、数学课程实施中取得的成效及进展 三、课程实施过程中反应出的一些问题三、课程实施过程中反应出的一些问题 数学课程实施中取得的成效及进展数学课程实施中取得的成效及进展 n第一，教师对数学课程的改革有较高的认同感

2、。第一，教师对数学课程的改革有较高的认同感。 n第二，管理者和教师在观念上发生了很大的变化。第二，管理者和教师在观念上发生了很大的变化。 n第三，课程结构发生了变化。第三，课程结构发生了变化。 n第四，教师的课程观发生了很大变化。第四，教师的课程观发生了很大变化。 n第五，对课程资源的利用的变化。第五，对课程资源的利用的变化。 n第六，教学方式的变化。第六，教学方式的变化。 n第七，评价方式的变化。第七，评价方式的变化。 n第八，教材和课程资源的变化。第八，教材和课程资源的变化。 课程实施过程中反应出的一些问题课程实施过程中反应出的一些问题 n（一）老师们对标准中的某些核心概念的认识和（一）老

3、师们对标准中的某些核心概念的认识和 理解，还有一些不到位的地方。理解，还有一些不到位的地方。 n（二）标准中涉及的一些新内容的处理。（二）标准中涉及的一些新内容的处理。 n比如说统计与概率 ，怎么样让学生理解概率的概念， 还有一些位置、平移、旋转这样一些新的内容 ，从数 学上怎么理解它，怎么样能够理解标准当中的定位，老 师们都要不断的去琢磨，去学习。对教师的学科素养提 出了新的挑战。 n过程性目标，怎样体现，怎样操作，怎样考核 n（三）新的教学方式的运用和把握。（三）新的教学方式的运用和把握。 n（四）评价上改革的困难。（四）评价上改革的困难。 数学课标修订变化情况解读数学课标修订变化情况解读

4、 一、一、此次课标修订最关注的是什么此次课标修订最关注的是什么? 二、二、数学课标有哪些新变化数学课标有哪些新变化? 课堂教学改革如何跟进？课堂教学改革如何跟进？ 一、此次课标修订最关注的是什么？一、此次课标修订最关注的是什么？ n此次课标修订特别关注三个方面要此次课标修订特别关注三个方面要 求：求： 时代发展的要求时代发展的要求 数学学科的要求数学学科的要求 课堂教学的要求课堂教学的要求 体现时代发展对数学课程的如下要求：体现时代发展对数学课程的如下要求： n课程改革的核心是课程改革的核心是人才培养模式人才培养模式变化变化 n要加强对学生要加强对学生创新精神和实践能力创新精神和实践能力的培的

5、培 养养 n要以课程为载体实实在在推进要以课程为载体实实在在推进素质教育素质教育 n要体现教育的要体现教育的均衡、公平，要为所有学均衡、公平，要为所有学 生提供良好的教育生提供良好的教育 n要体现义务教育课程的基本特性：要体现义务教育课程的基本特性：普及普及 性、基础性、发展性性、基础性、发展性 二、数学课程标准有哪些新变化？二、数学课程标准有哪些新变化？ 前言中关于前言中关于数学观数学观的修改的修改 n原课标：原课标： n数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、 逐渐抽象概括、形成方法和理论，逐渐抽象概括、形成方法和理论，应用的应用的 过程过程 n数学

6、作为一种普遍适用的数学作为一种普遍适用的技术技术 n数学是数学是.的的工具工具 ;数学数学为为其他科学提供其他科学提供语言语言、 思想和方法思想和方法 n新课标：（新课标：（P1)P1) n数学是研究数量关系和空间形式的数学是研究数量关系和空间形式的科学科学 新课标新课标：揭示数学作为一门科学：揭示数学作为一门科学,所所 表现出的表现出的文化文化特征及应有价值特征及应有价值 n数学是研究数量关系和空间形式的数学是研究数量关系和空间形式的科学科学。 n数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形 成的科学成的科学语言语言与与工具工具 n数学是数学是人类文化人类文化的重

7、要组成部分，的重要组成部分，数学素数学素 养养是现代社会每一个公民应该具备的基本是现代社会每一个公民应该具备的基本 素养素养 n要发挥数学在培养人的要发挥数学在培养人的（理性）思维能力（理性）思维能力 和和创新能力创新能力方面的不可替代的作用方面的不可替代的作用 前言前言增加了对数学课程性质的表述增加了对数学课程性质的表述 n数学课程的性质数学课程的性质表述为，表述为，“义务教育阶段义务教育阶段 的数学课程的数学课程是培养公民素质的基础课程，是培养公民素质的基础课程， 具有基础性、普及性和发展性。具有基础性、普及性和发展性。 n义务教育阶段的数学课程能为学生未来生义务教育阶段的数学课程能为学生

8、未来生 活、工作和学习奠定重要的基础。数学课活、工作和学习奠定重要的基础。数学课 程能使学生掌握必备的基础知识和基本技程能使学生掌握必备的基础知识和基本技 能；培养学生的抽象思维和推理能力；培能；培养学生的抽象思维和推理能力；培 养学生的创新意识和实践能力；促进学生养学生的创新意识和实践能力；促进学生 在情感、态度与价值观等方面得到发展。在情感、态度与价值观等方面得到发展。” 数学课标修订的主要方面数学课标修订的主要方面: : n1.关于基本理念 n2.关于设计思路 n3.关于课程目标 n4.关于课程内容 n5.关于课程的实施 n基本理念反映出我们对数学、数学课程、数基本理念反映出我们对数学、

9、数学课程、数 学教学以及评价等方面应具有的学教学以及评价等方面应具有的基本认识和基本认识和 观念、态度，观念、态度，它是制定和实施数学课程的指它是制定和实施数学课程的指 导思想。导思想。标准标准中的每一部份内容都要贯中的每一部份内容都要贯 穿基本理念的思想和要求。同时，教师作为穿基本理念的思想和要求。同时，教师作为 课程的实施者，更应自觉树立起正确的课程的实施者，更应自觉树立起正确的数学数学 观、数学课程观、数学教学观、评价观观、数学课程观、数学教学观、评价观等数等数 学教育观念，并用以指导自己的教学实践活学教育观念，并用以指导自己的教学实践活 动。动。 什么是课程的基本理念？(P2) 1.1

10、.关于课程标准的基本理念的修改关于课程标准的基本理念的修改 “三句三句”变变“两句两句”， “ “6 6条条”改改“5 5条条” 双基双基 四基、两能四基、两能 四能四能 关于基本理念的修改关于基本理念的修改 （在前言中增加了课程性质的描述、（在前言中增加了课程性质的描述、 修改、丰富了基本理念的一些提法）修改、丰富了基本理念的一些提法） 基本理念基本理念“三句三句”变变“两句两句” n人人学有价值的人人学有价值的 数学数学 n人人都能获得必人人都能获得必 需的数学需的数学 n不同的人在数学不同的人在数学 上得到不同的发上得到不同的发 展展 n人人都能获得人人都能获得 良好的数学教良好的数学教

11、 育育 n不同的人在数不同的人在数 学上得到不同学上得到不同 的发展的发展 树立正确的课程观树立正确的课程观 关于基本理念的修改关于基本理念的修改 n原课标：原课标： 数学课程数学课程 数学数学 数学学习数学学习 数学教学数学教学 评价评价 信息技术信息技术 .修改后：修改后： 数学课程数学课程 课程内容课程内容 教学活动教学活动 学习评价学习评价 信息技术信息技术 课程标准的基本理念，分别从数数 学课程，课程内容，教学活动，学学课程，课程内容，教学活动，学 习评价，习评价， 信息技术，信息技术，这五个方面这五个方面 来阐述。来阐述。 n在结构上由原来的6条改为5条，将原标 准第2条关于对数学

12、的认识整合到理念 之前的文字之中，新增了对课程内容的认 识，此外，将“数学教学”与“数学学习” 合并为数学“教学活动”。 基本理念中新增加的提法： 要处理好几个基本关系：要处理好几个基本关系： 过程与结果，直观与抽象，直接经验与间接经验， 直接讲授与自主学习，面向全体与因材施教 有效的教学活动是什么有效的教学活动是什么? 数学课程基本理念（两句话）数学课程基本理念（两句话） 数学教学活动的本质要求数学教学活动的本质要求: 培养良好的数学学习习惯，强调学习方式的重要性培养良好的数学学习习惯，强调学习方式的重要性 （ 注重启发式注重启发式 正确看待教师的主导作用正确看待教师的主导作用 处理好评价中

13、的关系处理好评价中的关系 注意信息技术与课程内容的整合注意信息技术与课程内容的整合 应注意处理好几个基本关系：应注意处理好几个基本关系： 注意用科学、辩证的态度处理好数学注意用科学、辩证的态度处理好数学 课程内容及教学中的一些基本关系。如：课程内容及教学中的一些基本关系。如： 重视过程与关注结果重视过程与关注结果 教师讲授与学生自主教师讲授与学生自主 面向全体与因材施教面向全体与因材施教 生活化情境化与知识系统性生活化情境化与知识系统性 此外，还有此外，还有直观形象与抽象思维、合情直观形象与抽象思维、合情 推理与演绎推理推理与演绎推理等的关系。等的关系。 n教学活动是师生积极参与、交往互动、共

14、同发教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发 展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教 的统一，的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组学生是学习的主体，教师是学习的组 织者、引导者与合作者。织者、引导者与合作者。 n 数学教学活动，特别是课堂教学应激发数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴学生兴 趣趣，调动学生积极性，引发学生的，调动学生积极性，引发学生的数学思考数学思考， 鼓励学生的鼓励学生的创造性思维创造性思维；要注重培养学生良好；要注重培养学生良好 的的数学学习习惯数学学习习惯，使学生掌握恰当的，使学生掌握恰当的数学学习数学学习 方法方法。 改

15、变人才培养模式改变人才培养模式 要从这些方面入手！要从这些方面入手！ 树立正确的数学教学观树立正确的数学教学观 原课标：原课标：教学活动必须建立在学生的认知发展水平教学活动必须建立在学生的认知发展水平 和已有的和已有的知识知识经验基础之上。教师应激发学生的学经验基础之上。教师应激发学生的学 习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会， 帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解 和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法， 获得获得广泛广泛的数学活动经验。的数学

16、活动经验。 n教师教学应该以学生的认知发展水平和已有教师教学应该以学生的认知发展水平和已有 的经验为基础，面向全体学生，的经验为基础，面向全体学生，注重启发式注重启发式 和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好 讲授与学生自主学习的关系，讲授与学生自主学习的关系，引导学生引导学生独立独立 思考思考、主动探索、合作交流，使学生理解和、主动探索、合作交流，使学生理解和 掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方 法，获得法，获得基本基本的数学活动经验。的数学活动经验。 原课标：原课标：“对数学学习的评价对数学学习的评价要要关注学

17、生学习的结关注学生学习的结 果，果，更要更要关注他们学习的过程；关注他们学习的过程；要要关注学生数学学关注学生数学学 习的水平。习的水平。更要更要关注他们在数学活动中所表现出来关注他们在数学活动中所表现出来 的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。” n应建立目标多元、方法多样的评价体系。评应建立目标多元、方法多样的评价体系。评 价价既要既要关注学生学习的结果，关注学生学习的结果，也要也要重视学习重视学习 的过程；的过程；既要既要关注学生数学学习的水平，关注学生数学学习的水平，也也 要要重视学生在数学活动中所表现出来的情感重视学生在数学活动中所表现出

18、来的情感 与态度，帮助学生认识自我、建立信心。与态度，帮助学生认识自我、建立信心。 树立正确的评价观树立正确的评价观(P3) 信息技术的应用价值(P3) n数学课程的设计与实施应数学课程的设计与实施应根据实际情况根据实际情况 合理地运用现代信息技术，要注意信息合理地运用现代信息技术，要注意信息 技术与课程内容的整合，注重实效。技术与课程内容的整合，注重实效。要要 充分考虑信息技术对数学学习内容和方充分考虑信息技术对数学学习内容和方 式的影响，开发并向学生提供丰富的学式的影响，开发并向学生提供丰富的学 习资源，把现代信息技术作为学生学习习资源，把现代信息技术作为学生学习 数学和解决问题的有力工具

19、，数学和解决问题的有力工具，有效地改有效地改 进教与学的方式进教与学的方式 信息技术的作用 n1. CAI计算机辅助教学， PPT演示，flash 动画制作等。 n2.可以培养学生利用现代技术去搜集整理信 息，利用信息的能力。 n3.信息技术还作为一种探究工具帮助学生进 行探究活动 。 n4.信息技术还可以作为一个交流平台， 师 生互动，生生互动。 对学生利用信息技术，网络应正面引导，宜疏不宜堵 2.关于设计思路的修改关于设计思路的修改(P47) n学段划分保持不变学段划分保持不变 n对课程目标动词及水平要求的设计基本对课程目标动词及水平要求的设计基本 保持不变，增加了目标动词的同义词保持不变

20、，增加了目标动词的同义词 n对四个学习领域的名称作适当调整对四个学习领域的名称作适当调整 n对课程内容中的若干核心概念作适当调对课程内容中的若干核心概念作适当调 整，对其意义作更明确的阐释整，对其意义作更明确的阐释 对四个学习领域名称的修改：对四个学习领域名称的修改： 总称呼改为课程内容的四个部分总称呼改为课程内容的四个部分 n原课标：原课标：数与代数数与代数 空间与图形空间与图形 统计与概率统计与概率 实践与综合应用实践与综合应用 n修改后：修改后：数与代数数与代数 图形与图形与几何几何 统计与概率统计与概率 综合与实践综合与实践 原称为原称为“关键词关键词”，现称为，现称为“核心概念核心概

21、念” n原课标：原课标：数感数感 符号感符号感 空间观念空间观念 （6个）个） 统计观念统计观念 应用意识应用意识 推理能力推理能力 n修改后：修改后：数感数感 符号符号意识意识 运算能力运算能力 （10个）个） 模型思想模型思想 空间观念空间观念 几何直观几何直观 推理能力推理能力 数据分析观念数据分析观念 应用意识应用意识 创新意识创新意识 关于核心概念的变化关于核心概念的变化 3.3.关于课程目标的修改关于课程目标的修改(P8)(P8) n在目标的结构上仍按：在目标的结构上仍按： 总体目标总体目标 总体表述总体表述 知识技能知识技能 数学思数学思 考考 问题解问题解 决决 情感态度情感态

22、度 学段目标学段目标 第一学段第一学段 第二学段第二学段 第三学段第三学段 （1）目标上有哪些变化？）目标上有哪些变化？ 在总体目标中突出了在总体目标中突出了“培养培养 学生创新精神和实践能力学生创新精神和实践能力”的的 改革方向和目标价值取向。改革方向和目标价值取向。 1 1、明确提出四基，即、明确提出四基，即“基础知识、基本技能、基础知识、基本技能、基本思想、基本思想、 基本活动经验基本活动经验” 2 2、针对创新精神和实践能力的培养，明确提出针对创新精神和实践能力的培养，明确提出“发现问发现问 题和提出问题的能力题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力、分析问题和解决问题的能力” 3

23、 3、针对了解知识的来龙去脉，明确提出针对了解知识的来龙去脉，明确提出“体会数学知识体会数学知识 之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系” 4 4、对于情感态度的培养，进一步明确对于情感态度的培养，进一步明确“了解数学的价值了解数学的价值, , 提高学习数学的提高学习数学的兴趣兴趣，增强学好数学的信心，养成良，增强学好数学的信心，养成良 好的学习好的学习习惯习惯” 5 5、针对学科精神的培养，明确提出针对学科精神的培养，明确提出“具有初步的具有初步的创新意创新意 识识和科学态度和科学态度” ” 数学课程总目标有那些新变化？数学课程总目标有那

24、些新变化？ 传统与未来传统与未来 数学课标数学课标：双基：双基 四基四基、两能、两能 四能四能、 三维三维 四维四维 基础知识、基本技能基础知识、基本技能 + + 基本思想、基本活动经验基本思想、基本活动经验 分析问题、解决问题分析问题、解决问题 + + 发现问题、提出问题发现问题、提出问题 知识技能、问题解决、情感态度知识技能、问题解决、情感态度+ + 数学思考数学思考 知识为本：单纯的双基（知识为本：单纯的双基（9999年大纲年大纲）、专门人才）、专门人才创新人才创新人才 育人为本：学生成长、认知规律育人为本：学生成长、认知规律 如何教如何教如何学如何学( (有效教学、有效学习）；有效教学

25、、有效学习）； 有效有效 + + 兴趣兴趣 减负减负 创新：基础知识 + 创新思维 + 创新经验。 思维方法和经验：培养学科直观。 结果是看出来的。 思维方法的教育：数学思想 + 思维经验。 “创新能力的基础依赖于三方面:知识的掌握、思 维的训练、经验的积累,三方面同等重要.关于“知识的 掌握”,我国的中小学数学教育是没有问题的;关于“经 验的积累”,大概还差得很多;关于“思维的训练”,我 们做得也不够,只能打五十分.那么为了创新型国家的建 立我们现在的教育只做了一半的工作.我们没有更多地 在基础教育阶段教孩子如何去创新,帮他们从小的事情、 小的发现开始积累经验,没有这样的意识。” （史宁中（

26、史宁中 2007年第年第46卷第卷第5期数学通报期数学通报) 只有知识技能是不够的，只有知识技能是不够的， 学生还要学会思考，去经历，去体验学生还要学会思考，去经历，去体验 数学基本活动经验（重在数学基本活动经验（重在 “做做”） 数学活动经验的基本特征：数学活动经验的基本特征： 是基于学习主体是基于学习主体主体性主体性 是学习者在学习的活动过程中所获得的是学习者在学习的活动过程中所获得的过程过程 性性 反映的是学习者在特定的学习环境中或某一学习反映的是学习者在特定的学习环境中或某一学习 阶段对学习对象的一种经验性认识阶段对学习对象的一种经验性认识发展性发展性 即使相同的条件，不同的学生有不同

27、的体验即使相同的条件，不同的学生有不同的体验多多 样性样性 数学活动经验的类型：数学活动经验的类型： n直接的活动经验，间接的活动经验，设计的活动经直接的活动经验，间接的活动经验，设计的活动经 验和思考的活动经验验和思考的活动经验。直接的活动经验是与学生日。直接的活动经验是与学生日 常生活直接联系的数学活动中所获得的经验，如购常生活直接联系的数学活动中所获得的经验，如购 买物品、校园设计等。而间接的活动经验是学生在买物品、校园设计等。而间接的活动经验是学生在 教师创设的情景、构建的模型中所获得的数学经验，教师创设的情景、构建的模型中所获得的数学经验， 如如鸡兔同笼、顺水行舟鸡兔同笼、顺水行舟等

28、。设计的活动经验是学生等。设计的活动经验是学生 从教师特意设计的数学活动中所获得的经验，如随从教师特意设计的数学活动中所获得的经验，如随 机摸球、地面拼图等。思考的活动经验是通过分析、机摸球、地面拼图等。思考的活动经验是通过分析、 归纳等思考获得的数学经验，如预测结果、探究成归纳等思考获得的数学经验，如预测结果、探究成 因等。因等。 数学活动经验并不仅仅是解题的经验，数学活动经验并不仅仅是解题的经验， 更加重要的是在数学活动中更加重要的是在数学活动中思考思考的经验的经验 n提出数学活动经验，还有一个重要目的， 就是培养学生在活动中从数学的角度进行 思考，直观地、合情地获得一些结果，因 为进行创

29、造，获得新结果的主要途径是作 出猜想。数学活动经验并不仅仅是解题的 经验，更加重要的是思维的经验，是在数 学活动中思考的经验。 知识知识 经验经验 思想思想 智慧智慧 n学生形成智慧，不可能仅仅依靠掌握 丰富的知识，一定还需要实践及在实 践中取得经验。数学思想也不仅在探 索推演中形成，还需要在数学活动经 验的积累上形成。 基本活动经验基本活动经验 会想问题：不是教出来的、是自己悟出来的； 悟的方法就是自己思考、积累经验。 物价调查：物价调查： 会整体规划、 会把问题化简、 会抽象出问题的本质、 会归纳出规律性的东西、 会逻辑地表达自己的思考。 数学基本思想数学基本思想 n德国诺贝尔奖获得者物理

30、学家冯.劳厄： “教育无非是一切已学过的东 西都忘掉时所剩下的东西” 数学课堂教学应该是有思想的教学！有了思 想才有了课堂的生命 什么是数学学习中最本质的东西？什么是数学学习中最本质的东西？ n波利亚（美）：波利亚（美）：“有益的思考方式，应有的有益的思考方式，应有的 思维习惯思维习惯” n闵山国藏（日本）闵山国藏（日本）：“不管他们从事什不管他们从事什 么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数 学的精神、思维方法、推理方法和着眼点会学的精神、思维方法、推理方法和着眼点会 随时发生作用，使他们受益终身。随时发生作用，使他们受益终身。” 数学基本思想如何界定？

31、数学基本思想如何界定？ n数学基本思想是指对数学及其对象、数学概 念和数学结构以及数学方法的本质性认识 n数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用 的过程中；它制约着学科发展的主线和逻辑 架构；是数学知识和方法在更高层次上的抽 象与概括。如归纳、演绎、抽象、转化、分 类、模型、结构、数形结合、随机等。 两个前提：1.在数学发展中，自始至终发挥着不可替代 的作用。 2.什么是学数学和不学数学差异，学了数学 就有。 数学的基本思想（重在数学的基本思想（重在“悟悟”） 不是指数学思想方法：等量替换、数形结合、分类、 递归、转换；配方法、换元法、加强不等式。 数学产生与发展所依赖的思想 学习数学以后具有

32、的思维能力 抽象抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强 推理推理：促进数学内部的发展；推理能力强 模型模型：沟通数学与外部世界的桥梁；应用能力强 专家的观点：专家的观点： n“数学发展所依赖的思想在本质上有三个： 抽象、推理、模型，通过抽象，在现实 生活中得到数学的概念和运算法则，通过推 理得到数学的发展，然后通过模型建立数学 与外部世界的联系”（史宁中，数学思想 概论第一辑，东北师范大学出版社， 2008.6，第一页）。 n从数学产生、数学内部发展、数学外部关联 三个维度上概括了对数学发展影响最大的三 个重要思想。 抽象抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。 得到：得到

33、：研究问题的对象概念对象概念和对象之间的关系概念关系概念； 运算方法运算方法和运算之间的运算法则运算法则。 亚里士多德： 数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中 那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的 量的定义，不是作为存在而是作为关系。 引出抽象的两个层次两个层次：直观描述，符号表达。 数量的第一步抽象数量的第一步抽象 数量 数。 2匹马、2头牛 2。 数量的本质多与少 数的本质大与小 自然数：10个符号 + 位数 加法：加一、万的产生 加法 四则运算； 逆运算 数域扩充； 自然数 整数、有理数、实数。 数量的第二步数量的第二步抽象抽象 符号意识：符号可以代表数、关系、规律、

34、逻辑 符号可以进行计算和论证（方程） 通过符号得到的结论具有一般性（交换律） 具体 一般 凡是具体的都会存在反例（函数变量说） 凡是一般的都会存在概念（函数对应说） 图形的第一次抽象图形的第一次抽象 欧几里得几何原本描述定义：点、线、面、角 关系术语：相交、平行、垂直、全等 度量定义：长度、面积、体积、边角关系(三角函数、巴比伦) 带来的问题 点：两条直线交于一点？ 平行：两条永远不相交的直线？ 全等：两个图形重合？ 修改平行：过直线外一点可以有一条（欧几里得几何） 无数（罗巴契夫几何） 没有（黎曼几何） 图形的第二次抽象图形的第二次抽象 希尔伯特几何基础：桌子、椅子、啤酒杯 符号定义：A，a

35、， 五组公理五组公理：两点确定一条直线； 三点（不共线）确定一个平面。 本质是维数本质是维数：0维点；1维线；2维面；3维体。 高维看低维：直线、平面。 推理推理：一种思维过程 思维：形象思维、逻辑思维逻辑思维、辩证思维 命题：可以进行判断的话语 推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程 命题 + 判断的四种形式：是是、是否、非是、非否 逻辑推理：命题主词的内涵之间具有传递性 有逻辑：凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有 死。 无逻辑：苹果是酸的，酸是一种味道。所以苹果是一种 味道。 逻辑推理逻辑推理 = = 演绎推理演绎推理 + + 归纳推理归纳推理 演绎推理演绎推理：从大到小，一般

36、到特殊，结果必然； 已知 A 求证 B：不能发现新东西。 归纳推理归纳推理：从小到大，特殊到一般，结果或然； 已知 a 推断 A：归纳（代数）； 已知 A 推断 A+B：类比（几何）。 归纳教学的例子：尝试。 为得到公式 a2 b2 = (a-b)(a+b) 首先进行化简，令 b=1。变化 a 可以得到： 22 1 = 4 - 1 = 3 32 1 = 9 - 1 = 8 42 1 = 16 - 1 = 15 52 1 = 25 - 1 = 24 62 1 = 36 - 1 = 35 因为 8 = 24，15 = 35，24 = 46 ，35 = 57， 可以想到 a21 = (a-1)(a+

37、1)，然后考虑一般的 b。 从自然数的前 n 项和公式出发，得到平方和、立方和公式。 模型模型：构建数学与外部世界的桥梁。数学的应用 叙述的是一个用数学语言表达的实际故事。 方程、不等式、函数、递推(时间序列)等是语言工具。 比如，方程叙述的是量相等的故事。距离=速度时间 用数学语言定义概念。 F=maF=ma 桥梁双方：数学 + 现实。流行病模型，投入产出模型 各种场合：参数 + 约束。自由落体模型中的重力加速度 (后面具体会讲到模型思想） 四四. . 统计基本思想统计基本思想 统计学与数学有所不同。 立论基础 数学：公理、假设； 统计：数据、模型。 推理方法 数学：演绎推理； 统计：归纳推

38、理。 判断准则 数学：对与错； 统计：好与坏。 一个袋子里有5个球，其中有4个白球和1个红球，让学 生有放回地摸球。 概率：概率：验证出现白球的可能性4/54/5。 统计：统计：不告诉学生背景，预测 1.白球多还是红球多？ 2.比例大概是多少？ 3.如果有5个球，白球有多少？ 估计的好坏与样本量有关，与方法有关。 因此，可以认为： 统计学是一门收集和分析数据的科学与艺统计学是一门收集和分析数据的科学与艺 术术。 科学科学：基础是假说。验证与时间、地点、个性无关。 艺术艺术：基础是标准。因人而异，因价值观而异。 对现有的学科大体可以分类： 自然学科自然学科：科学。物理，化学，生物，地质 人文学科

39、人文学科：艺术。文学，历史，绘画，音乐 社会学科社会学科：科学与艺术。经济，统计，心理， 社会 更一般的：哲学、数学。 注意教材中蕴含的数学基本思想 n在课程内容和教材中，数学基本思想其在课程内容和教材中，数学基本思想其 实是很丰富的，这些思想常常处于潜形实是很丰富的，这些思想常常处于潜形 态，教师要成为有心人。态，教师要成为有心人。 数学基本活动经验：数学基本活动经验： n学习主体通过亲身经历数学学习主体通过亲身经历数学 活动过程所获得的具有个性活动过程所获得的具有个性 特征的经验。特征的经验。 “四基四基”是客观性知识与主观性体验的结合是客观性知识与主观性体验的结合 是结果性知识与过程性活

40、动的结合是结果性知识与过程性活动的结合 经验，在经验，在 哲学上指人们哲学上指人们 在同客观事物在同客观事物 直接接触的过直接接触的过 程中通过感觉程中通过感觉 器官获得的关器官获得的关 于客观事物的于客观事物的 现象和外部联现象和外部联 系的认识系的认识。 “四基四基”与数学素养与数学素养 n掌握数学基础知识掌握数学基础知识 n训练数学基本技能训练数学基本技能 n领悟数学基本思想领悟数学基本思想 n积累数学基本活动经验积累数学基本活动经验 发展学生的数学素养，培养学生的创发展学生的数学素养，培养学生的创 新精神和实践能力新精神和实践能力 为何要强调发现问题、提出问题？为何要强调发现问题、提出

41、问题？ n在数学中，发现结论常常比证明结论更重要 n是培养创新意识的基础，创新性成果始于发 现问题 n传统教学在这方面的不足 n问题解决的全过程是发现、提出、分析、解 决问题的过程 “发现问题和提出问题” n所谓“发现问题”，是经过多方面、多角度 的数学思维，从表面上看来没有关系的一些 现象中找到数量或者空间方面的某些联系， 或者找到数量或者空间方面的某些矛盾，并 把这些联系或者矛盾提炼出来。 n所谓“提出问题”，是在已经发现问题的基 础上，把找到的联系或者矛盾用数学语言、 数学符号集中地以“问题”的形态表述出来 n发现、提出、分析、解决针对的是问题解决 的全程，是数学能力要求 我们需要问题驱

42、动、分析探究的课堂 n研究始于问题，同样，教学也应该始研究始于问题，同样，教学也应该始 于问题于问题 n没有问题的课堂是没有思想、没有生没有问题的课堂是没有思想、没有生 命力的课堂命力的课堂 思想是课堂的生命！思想是课堂的生命！ 问题是课堂的灵魂！问题是课堂的灵魂！ 通过这样的课堂培养学生的问题意识 n发现问题、提出问题是创新的基础发现问题、提出问题是创新的基础 n诺贝尔奖金获得者李政道教授认为诺贝尔奖金获得者李政道教授认为“我们我们 学习知识，目的是要做到学习知识，目的是要做到学问学问。学习，。学习， 就是学习问问题，学习怎样问问题。就是学习问问题，学习怎样问问题。” ” 做学问与做学问与

43、学问学问 n教师要善于将陈述性知识的教材进行二度 设计转换成一系列问题序列，使教学成为 问题解决的活动过程。（首先自己能提问 题，鼓励学生质疑，提问题） n教师更要善于创设问题情境，引导学生自 己去发现、提出、分析解决问题 课程总目标中提出：增强数学的联系 n学生要体会三个方面的联系： n数学知识之间的联系（系统性、综合性） n数学与其他学科之间的联系（相关性、 工具性） n数学与生活之间的联系（应用性） 目标强调：目标强调：数学学习习惯数学学习习惯 n第一次提出“培养学生良好的数学学习 习惯” n标准在“情感与态度”目标中具体 指明了其含义： “养成认真勤奋、独立思考、合作交 流、反思质疑等

44、学习习惯。” 为什么要提出培养学习习惯？ n学习习惯指在长期的学习中逐渐养成的、较 稳固的学习行为、倾向和习性。 n之所以提出数学学习习惯： 一是因为在长达九年的义务教育学习阶 段，一个人在学习上的习惯总是处于不断的 养成过程中，它是与学习行为相伴而行的， 客观存在的；在的； 在日常教学中刻意诱导，潜移默化，点滴在日常教学中刻意诱导，潜移默化，点滴 积累，通过长时间的磨练，方能习以为常。积累，通过长时间的磨练，方能习以为常。 n二是二是良好的数学学习习惯具有很强的心理良好的数学学习习惯具有很强的心理 内驱力和学习目标达成的惯性力，它有利内驱力和学习目标达成的惯性力，它有利 于学生通过自主学习形

45、成学习的正向迁移，于学生通过自主学习形成学习的正向迁移， 提高学习效率；提高学习效率； n三是三是良好的数学学习习惯能帮助学生逐步良好的数学学习习惯能帮助学生逐步 实现由实现由“学会学会”到到“会学会学”的转变，使学的转变，使学 生今后在适应终身学习上受益。生今后在适应终身学习上受益。 课程目标的四个维度：课程目标的四个维度： 知识技能 数学思考 问题解决 情感态度 “数学思考” ： 学会思考，学会表达与交流，独立思考 强调它的过程性 n标准中标准中核心概念核心概念的解读的解读 为什么要设计核心概念为什么要设计核心概念 1.如何从四个维度整体把握课程内容（整 体把握）。 2.如何在标准中凸显出

46、最本质的的数学内 容（突出重点） 核心概念有何意义？核心概念有何意义？ n首先，标准将这些核心概念放在课程内 容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不 是设计者超乎于数学课程内容之上外加的， 而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中的。 从这一意义上看，核心概念往往是一类课程 内容的核心或主线，它有利于我们体会内容 的本质，把握课程内容的线索，抓住教学中 的关键。 n第二，这些核心概念都是数学课程的目标 点，也应该成为数学课堂教学的目标，仅 以“数学思考”和“问题解决”部分的目 标设定来看，标准就提出了：“建立 数感、符号意识和空间观念，初步形成几 何直观和运算能力”；“发展数据分析观 念，感受随机

47、现象”；“发展合情推理和 演绎推理能力”；“增强应用意识，提高 实践能力”；“体验解决问题方法的多样 性，发展创新意识”。这些目标表述几乎 涵盖了所有的核心概念。 n第三，深入一步讲，很多核心概念都体现 着数学的基本思想 。数学基本思想集中反 映为数学抽象、数学推理和数学模型思想。 n比如，与“数与代数”部分内容直接关联 的数感、符号意识、运算能力、推理能力 和模型思想等核心概念，就不同程度的直 接体现了“抽象、推理和模型”基本思想 的要求。这启示我们，核心概念的教学要 更关注其数学思想的本质。 n第四，核心概念涉及的都是学生在数学 学习中应该建立和培养的关于数学的感 悟、观念、意识、思想、能

48、力等，是学 生在义务教育阶段数学课程中最应培养 的数学素养，是促进学生发展的重要方 面。 n所以，把握好这些核心概念无论对于教 师教学和学生学习都是极为重要的。 核心概念之一：数感核心概念之一：数感 （1）两个实例给人的启示（）两个实例给人的启示（课标解读课标解读p79)： 实例一：实例一：2010年年2月月25日，国家统计局公布的日，国家统计局公布的 2009年国民经济和社会发展统计公报年国民经济和社会发展统计公报显示：显示： 我国我国70个大中城市房屋销售价格同比上涨个大中城市房屋销售价格同比上涨1.5%， 其中新建住宅价格上涨其中新建住宅价格上涨1.3%。此报告一出立刻。此报告一出立刻

49、引起全国一片哗然。公众普遍反映此数据与实引起全国一片哗然。公众普遍反映此数据与实 际状况严重不符。际状况严重不符。 面对公众质疑，国家统计局召开紧急会议， 讨论统计数据来源是否真实可靠？统计方法 是否科学？舆论提出的一个问题是：不论统 计部门统计方式是否科学，为何公众对房价 的感觉与统计结果是大相径庭的呢？ n此例说明数感的确是存在的，它与公众的社 会生活息息相关，并已成为现代社会公民所 具有的基本数学素养的一部分 n实例二：老师给出情境：将一张纸对折32次，它 的厚度有多大呢？结论是其厚度可以超过世界最 高峰珠穆朗玛峰的高度。学生惊讶之余，会表示 出强烈的质疑。 n此例就是学生根据实际操作（

50、将纸对折若干次） 建立起来的 232 的直观感觉与数学计算得出的结 果之间的巨大反差。 n这一实例说明，学生在学习数学概念时，其固有 的数感在起作用。老师若能适时地抓住学生原有 数感形成认知冲突，则能大大提高课堂教学的效 率。 修订后修订后标准标准关于数感的提法关于数感的提法 n标准标准的提法是的提法是：“数感主要是指关于数感主要是指关于 数与数量、数量关系、运算结果估计数与数量、数量关系、运算结果估计等方等方 面的面的感悟感悟。建立数感有助于学生理解现实建立数感有助于学生理解现实 生活中数的意义，理解或表述具体情境中生活中数的意义，理解或表述具体情境中 的数量关系。的数量关系。” 将数感表述

51、为将数感表述为“感悟感悟” n原课标原课标：未作内涵解释，多强调直觉、感知、：未作内涵解释，多强调直觉、感知、 潜意识、经验潜意识、经验在教学中常常感在教学中常常感“虚虚” ， 找不到教学支点找不到教学支点。 n修改后：关于修改后：关于数与数量数与数量，数量关系数量关系，运算结运算结 果估计果估计等的等的“感悟感悟” n两重属性：两重属性： “感感” 如感知如感知;悟悟” 如悟性、领如悟性、领 悟。悟。 n感悟是既通过肢体又通过大脑，因此，感悟是既通过肢体又通过大脑，因此，既有既有 感知的成分又有思维的成分感知的成分又有思维的成分 n标准标准将这种对数的感悟归纳为三个将这种对数的感悟归纳为三个

52、 方面：方面：数与数量、数量关系、运算结果数与数量、数量关系、运算结果 估计估计，这主要是基于义务教育阶段数学这主要是基于义务教育阶段数学 课程内容的范围并根据学生的实际所作课程内容的范围并根据学生的实际所作 出的要求，这有利于教师在教学中更好出的要求，这有利于教师在教学中更好 地把握数感培养的几条主线。地把握数感培养的几条主线。 n美国首届总统华盛顿生于1732年2月22日，按美 国惯例写成2221732.现将该7位数字任意排序， 从中任取两个（如：7322212,1732222）用较大 的减去较小的，得到5589990，再将这个差的各 个数字相加，直到所得的和为一位数为止，即有 5+5+8

53、+9+9+9+0=45,4+5=9. n马克思生于1818年5月5日，毛泽东生于1893年 12月26日（写成18931226），邓小平生于1904 年8月22日，按上述的方法计算，你会发现什么？ n用你自己的出生年月日得到的数字，再试试。你 又发现了什么？ 1.应结合每一学段的具体教学内容，逐步提升和发 展学生的数感。在第三学段，可以引导学生在较复 杂的数量关系和运算问题中提升数感，发展更为良 好的数感品质。 2.紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感 3.让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感 经验(如：某一学生对一层楼房的高度的认识） 如何培养学生的数感？（课标解读P82) n比

54、如：交通流量的调查统计比如：交通流量的调查统计 n比如，组织学生针对一周出版的某种报纸讨论中比如，组织学生针对一周出版的某种报纸讨论中 间出现了哪些与数、数量、运算有关的数学问题，间出现了哪些与数、数量、运算有关的数学问题， 分别表述这些问题中关于数的意义作用，如何用分别表述这些问题中关于数的意义作用，如何用 数来解决这些具体问题等等。数来解决这些具体问题等等。 n这样的数学活动有利于学生在相互交流中从多角这样的数学活动有利于学生在相互交流中从多角 度去感悟数，丰富自己的数感经验。度去感悟数，丰富自己的数感经验。 核心概念之二：符号意识核心概念之二：符号意识 （1）何为符号意识？）何为符号意识

55、？ n所谓所谓符号符号就是针对具体事物对象而抽象就是针对具体事物对象而抽象 概括出来的一种简略的记号或代号。数概括出来的一种简略的记号或代号。数 字、字母、图形、关系式等等构成了数字、字母、图形、关系式等等构成了数 学的符号系统。学的符号系统。 n符号意识符号意识是学习者在感知、认识、运用是学习者在感知、认识、运用 数学符号方面所作出的一种主动性反应，数学符号方面所作出的一种主动性反应， 它也是一种积极的心理倾向。它也是一种积极的心理倾向。 符号感为何改为符号意识？符号感为何改为符号意识？ n符号感主要的不是潜意识、直觉；符号感主要的不是潜意识、直觉； n符号感最重要的内涵是运用符号进行符号感

56、最重要的内涵是运用符号进行 数学思考和表达，进行数学活动，这数学思考和表达，进行数学活动，这 是一个是一个“意识意识”问题，而不是问题，而不是“感感” 的问题。的问题。 （2）符号意识的含义）符号意识的含义（课标解读（课标解读P84) n其一，其一，符号理解符号理解 n能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化 规律。规律。 其二，其二，符号符号“操作操作” 知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具 有一般性。有一般性。这一要求的核心是基于运算和推理的符这一要求的核心是基于运算和推理的符 号号“操作操作”

57、意识。这涉及到的类型较多，如对具体意识。这涉及到的类型较多，如对具体 问题的问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、 模型抽象及模型解决模型抽象及模型解决等等等等 n其三，其三，符号表达符号表达与与符号思考符号思考 n使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思 考的重要形式。考的重要形式。这又引出了两个除符号理解和操这又引出了两个除符号理解和操 作之外的要求，即符号的表达与思考。作之外的要求，即符号的表达与思考。 n概括起来，符号意识的要求就具体体现于概括起来，符号意识的要求就具体体现于符号理符号理 解、符

58、号操作、符号表达、符号思考解、符号操作、符号表达、符号思考四个维度。四个维度。 n例例9：在下列横线上填上合适的数字，字母或在下列横线上填上合适的数字，字母或 图形，并说明理由。图形，并说明理由。 1,1,21,1,2；1,1,21,1,2； ， ， ； A,A,BA,A,B；A,A,BA,A,B； ， ， ； ， ， ；， ； ， ， ； n通过观察规律，使一学段学生能够感悟到：对通过观察规律，使一学段学生能够感悟到：对 于有规律的事物，无论是用数字还是字母或图于有规律的事物，无论是用数字还是字母或图 形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同 而已。而

59、已。 符号表达的多样性符号表达的多样性 发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思 考，我们不妨把这种思考称为考，我们不妨把这种思考称为“符号思考符号思考” n例例3131：“房间里有房间里有4 4条腿的椅子和三条腿的凳子共条腿的椅子和三条腿的凳子共 1616个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有6060个，个， 那么有几个椅子和几个凳子？那么有几个椅子和几个凳子？” 如果学生没有经过专门的如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼鸡兔同笼”解题解题 模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号

60、进 行数学思考，找到解题思路。如可以用行数学思考，找到解题思路。如可以用表格表格分析分析 椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律， 直接得到答案；也可采用直接得到答案；也可采用一元一次方程一元一次方程或或二元一二元一 次方程组次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。的、关于字母的思考方式来加以解决。 核心概念之三：空间观念核心概念之三：空间观念 n空间观念空间观念是指对物体及其几何图形的形状、大是指对物体及其几何图形的形状、大 小、位置关系及其变化建立起来的一种感知和小、位置关系及其变化建立起来的一种感知和 认识，空间想象是建立空间观念的重要途径认