《三维设计》1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.

1、第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词iUi基础知iR襄打牟J I C H U Z H I $ H I Y A 0 A L A 0强双基固本源得基础分I 钿程度、简单的逻辑联结词知识能否忆起1 用联结词“且”联结命题2 用联结词“或”联结命题3.对一个命题p全盘否定，p和命题q,记作p A q，读作“ p且q”. p和命题q,记作p V q，读作“ p或q”.就得到一个新命题，记作綈P，读作“非p”或“ p的否定”.4. 命题pA q, p V q,綈p的真假判断:pA q中p、q有一假为假，p V q有一真为真丄p与非p必定是一真一假.二、全称量词与存在量词1. 全称量词与全称命题(1)

2、 短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“L ”表示.(2) 含有全称量词的命题，叫做全称命题.全称命题“对 M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为 ? x M ,p(x)，读作“对 任意 x属于 M，有 p(x)成立”.2. 存在量词与特称命题(1) 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“乙”表示.(2) 含有存在量词的命题，叫做特称命题.(3) 特称命题“存在 M中的一个xo,使p(xo)成立”可用符号简记为 ? xo M , P(X0),读 作“存在 M 中的元素 X0,使卩(乜)成立”.三、含有一个量词的命题的否定命题命题的否

3、定? x M , p(x)? x0 M ,綈 p(xn)? xo M , p(xo)? x M ,綈 p(x)小题能否全取1. (2011北京高考)若p是真命题，q是假命题，则()A . pA q是真命题B . pV q是假命题C.綈p是真命题D .綈q是真命题答案：D1A . ? x R, xo+ = 2B . ?冷 R, sin Xo=- 1xoC. ? x R, x20D . ? x R,2x0答案：C3. （2012湖南高考）命题“ ？ x ?rQ, x3 Q”的否定是（）33A . ? xo?rQ, xo QB . ? xo ?rQ , xo?QC. ? x?rQ, x3 QD .

4、? x ?rQ , x3?Q解析：选D 其否定为？ x ?rQ, x3?Q.4. （教材习题改编）命题p:有的三角形是等边三角形.命题綈p: .答案：所有的三角形都不是等边三角形5. 命题“ ？ xo R,2 3axo+ 90”为假命题，则实数 a的取值范围为 .解析：？ X。取,2x0 3axo+ 9 0 恒成立，有= 9a272 0,解得2 2 a 2 2.答案：2 2, 2 2 1逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.2. 正确区别命题的否定与否命题“否

5、命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.含有逻辑联结词命题的真假判定&典题导入例1 （2012齐齐哈尔质检）已知命题p： ? x R,使tan x0= 1,命题q： x2 3x+ 20的解集是x|1x2，给出下列结论：命题“ pA q”是真命题；命题“ pA （綈q）”是假命题；命题“（綈p） V q”是真命题；命题“(綈p) V (綈q)”是假命题.其中正确的是 ()A .B.C.D.自主解答

6、命题p： ? xR，使tan xo= 1是真命题，命题 q : x2 3x+ 20的解集是x|1xex”，命题 q：“ ？ x R, x2 +4x+ a= 0”，若命题“ pA q”是真命题，则实数 a的取值范围是()A . (4,+ )B . 1,4C. e,4D. i,1解析：选A “非p或非q”是假命题? “非p”与“非q”均为假命题? p与q均 为真命题.选C“pAq”是真命题，则p与q都是真命题.p真则？ x0,1, aex,需ae； q 真则 x2 + 4x+ a= 0 有解，需 = 16 4a 0,所以 a 4.pAq 为真，则 e a 4.z1全称命题与特称命题的真假判断i典题

7、导入例2下列命题中的假命题是()A . ? a, b R, an = an+ b,有an是等差数列B. ? xo ( m,0), 2xo3x, B不正确；对于C,易知3 0,因此C正确；对于D，注意到Ig 1 = 0,因此D正确.答案B由题悟法1. 全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;(2)要判断一个全称命题是假命题, 不成立即可.只要能举出集合M中的一个特殊值 x= X0,使p(X0)2. 特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中，找到一个x= X0，使p(X0)成立即可，否则这一特称命题

8、就是假命题.以题试法2. (2012湖南十二校联考)下列命题中的真命题是A . ? X0 R，使得 sin xcos X0 = 35B. ? x ( s, 0), 2X012C. ? x R, X X 1D. ? x (0, n, sin xcos x解析：选C 由sin xcos X= 55,得sin 2x=才1，故a错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B , D错误；因为X2 x+ 1 =x 1 2+ 30恒成立，所以C正确.1全称命题与特称命题的否定例3 (2013武汉适应性训练)命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( )A 所有能被2整除的整数都是奇数B 所有不能被2整除

9、的整数都不是奇数C.存在一个能被2整除的整数是奇数D存在一个不能被 2整除的整数不是奇数自主解答命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2 整除的整数不是奇数”，选D.答案D一题參变若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为 答案：所有能被2整除的整数都不是奇数-由题悟法1 弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提.2 注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定.3要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断0”的真假，p与綈p的真假相反.4 常见词语的否定形式有：原语句是都是至少有一个至多有一个对任意x A使p(x)真

10、否定形式不是不都是一个也没有至少有两个存在X0 A使p(X0)假3. (2012 宁高考)已知命题 p： ? xi, x2 R, (f(X2) f(xi)(x2 %)0,则綈 p 是()A ? xi, R,B ? xi, X2 R,C. ? Xi, R,(f(X2) f(Xl)(X2 Xi)W 0 (f(X2) f(Xl)(X2 Xi)W 0(f(x2) f(Xi )(X2 xi)0D ? Xi, X2 R,(f(X2) f(Xi)(X2 Xi)0解析：选 C 命题 p 的否定为 ？ Xi , X2 R , (f(X2) f ( Xi)(X2 Xi)0凰解题训练要高救孤速虞拒逖狠禹手低A级I全

11、员必做题1. 将a2 + b2 + 2ab= (a + b)2改写成全称命题是()A . ? a, b R, a2+ b2+ 2ab= (a+ b)2B. ? a0, a2 + b2 + 2ab= (a+ b)2C. ? a0, b0, a2 + b2 + 2ab= (a+ b)2D. ? a, b R, a2+ b2+ 2ab= (a+ b)2解析：选D 全称命题含有量词“ ？ ”，故排除 A、B，又等式a2+ b2+ 2ab= (a+ b)2 对于全体实数都成立，故选D.n2. (2012 东高考)设命题p:函数y = sin 2x的最小正周期为？；命题q :函数y= cos x 的图象关

12、于直线x=；对称则下列判断正确的是()A . p为真B. q为真C. p A q为假D . pV q为真解析：选C 命题p, q均为假命题，故pA q为假命题.3. (2013 州模拟)已知命题p:所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A .(綈p)V qB .pAqC.(綈p)A (綈q)D .(綈p) V (綈q)解析：选D 不难判断命题 p为真命题，命题 q为假命题，所以綈p为假命题，綈q 为真命题，所以(綈p)V (綈q)为真命题.4. 下列命题中，真命题是()A . ? m R，使函数 f(x)= x2 + mx(x R)是偶函数B. ? m R

13、，使函数f(x)= x + mx(x R)是奇函数C. ? m R，函数 f(x) = x2 + mx(x R)都是偶函数D. ? m R，函数 f(x) = x2+ mx(x R)都是奇函数解析：选A 由于当m= 0时，函数f(x)= x2 + mx= x2为偶函数，故“ ？ m R，使函数 f(x) = x2 + mx(x R)为偶函数”是真命题.5 . (2012福建高考)下列命题中，真命题是()A . ? xo R, exw 0x 2B. ? x R,2 xaC. a + b = 0的充要条件是= 1D. a 1, b 1是ab 1的充分条件解析：选D 因为？, ex 0,故排除A ；

14、取x= 2,贝U 22= 22,故排除B ; a + b= 0,a取a= b = 0,则不能推出a= 1,故排除C.b6. （2012 石家庄质检）已知命题 p1： ? xo R , x2 + x+ 1 0. 以下命题为真命题的是（）A .（綈p1）A（綈p2）B . p1 V （綈 P2）C.（綈p1）Ap2D . p1 A P2解析：选C 方程x2+ x+ 1 = 0的判别式 = 12 4= 30,.x2+ x+ 1 0,得x 1或xw 1,？ x1,2 , x2 10, 故命题P2为真命题，綈P2为假命题.T綈P1为真命题，P2为真命题，（綈P1）A32为真命题.7. （2012 “江南

15、十校”联考）下列说法中错误的是（）1 1A .对于命题p: ? x R，使得x0+2，则綈p： ? x R，均有x+W 2LX0LXB. “ x= 1 ”是“ x2 3x+ 2= 0”的充分不必要条件C. 命题“若x2 3x+ 2= 0,则x= 1”的逆否命题为：“若xm 1，则x2 3x+ 2工0”D .若p A q为假命题，则p, q均为假命题解析：选D 显然选项A正确；对于B,由x= 1可得x2 3x+ 2 = 0;反过来，由x2 3x+ 2= 0不能得知x= 1,此时x的值可能是2,因此“x= 1 ”是“x2 3x+ 2= 0”的充分不 必要条件，选项 B正确；对于 C,原命题的逆否命

16、题是：“若xm 1,则x2 3x+ 2m 0”，因此选项C正确；对于D，若p Aq为假命题，则p, q中至少有一个为假命题，故选项 D错 误.8. （2013 石家庄模拟）已知命题 p： ? x 1,2, x2 a0，命题 q： ? x0 R,坊+ 2ax+ 2 a = 0,若“ p且q”为真命题，则实数 a的取值范围是（）A . a= 1 或 aw 2B. aw 2 或 1 w aw 2C. a1D. 2w a w 1解析：选A 若命题p： ? x1,2 , x2 a 0真，贝U aw 1.若命题 q ： ? X。R, X。+ 2ax + 2 a= 0 真，贝U = 4a 4（2 a）0,

17、a1 或 aw 2,又p且q为真命题所以a= 1或a-”，命题p的否定为命题 q，贝y q是“” qx的真假为（填“真”或“假” ）* 1 1解析：q: ? xo N , xo ,当Xo= 1时，Xo=成立，故q为真.xoxo* 1 答案：？ x N , xoo，解11. 若命题“存在实数 xo,使x2+ axo+ 12 或 a o.又一1 sin 0 1,.sin 0= 1.0= 2k n+ 2（kZ）.故cos12.答案：122 113. 已知命题 p: ? ao R，曲线 x2 + = 1为双曲线；命题 q： x o的解集是aox 2x|1xo.则命题“ pA （綈 q）” 是 假命题;

18、 已知直线1仁ax + 3y 1 = 0, 12 ： x+ by +1 = 0,贝V 11丄I?的充要条件是=3;b “设a、b R，若b 2,贝V (2012 “江南十校”联考)命题p:若a b0，则a与b的夹角为锐角；命题 q：若函 数f(X)在(汽 0及(0 ,+ )上都是减函数，则f(X)在(-m,+m )上是减函数.下列说法中正确的是()A .“ p或q”是真命题B.“ p或q”是假命题C.綈p为假命题D .綈q为假命题解析：选B T当a b0时，a与b的夹角为锐角或零度角，.命题p是假命题；命题+ b24”的否命题为：“设a、b R，若b2，则2+ b2 2，则a2+ b24”的否

19、命题为：设a、b R，若ab2，贝U a2 + b2 4”正确.答案：B级I重点选做题i .下列说法错误的是()A .如果命题“綈p”与命题“ p或q”都是真命题，那么命题q 定是真命题B. 命题“若a = 0，则ab= 0”的否命题是：若“ a 0,贝U ab 0”C. 若命题 p: ? x R, In (x2 + 1) 0D. “ sin 0= 1 ”是“ 0= 30的充分不必要条件1q是假命题，例如f(x) =x+ 1, x+ 2,XW 0,x0,综上可知，“ p或q”是假命题.解析：选D sin 0=扌是0= 30的必要不充分条件，故选D.3. 已知命题p：“ ？ X0 R,4x0 2

20、x0+ 1 + m= 0 ，若命题 綈p是假命题，则实数 m的取值范围是解析：若綈p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x 2 2x+ m= 0有实数解,由于 m = (4x 2 2)= (2x 1)2+ K 1 ,：mw 1.答案：(3 14. 下列四个命题:？ x0 R，使 sin x0+ cos x0= 2;对？ x R,1sin x+ 2;sin x对？ x 0，tan1x+ 2 :？ x R，使 sin x+ cos x= 2.tan xv解析：sin x+ cos x= 2sin x+ 才 2,2 ;其中正确命题的序号为 .故？ xo，使 sin xo + cos xo = 2 错误; ？ xo R，使 sin xo+ cos xo= 2正确;11sin x+2 或 sin x+2错误；sin x对？x 0, n , tan x0, 盒0 ,由基本不等式可得 tan x+ 盒2正确.答案：5.设命题p :实数x满足x2- 4ax+ 3a20,命题q :实数x满足x2- x 60.(1) 若a = 1，且p A q为真，求实数x的取值范围；(2) 綈p是綈q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.解：(1)由 x2 4ax+ 3a20，得(x 3a)(x a)0,所以 ax3a,当a = 1时，1x3,即p为真命题时，1x3.lx2 x 60,2 x