万能公式推导

1、万能公式推导2 a =2sin a cos a =2sin a cos a /sA2 ( a +sin2 ( a) ) *,(因为 COSA2 ( a) +sinA2 ( a) =1)再把*分式上下同除 cosA2 ( a),可得sin2 a =2a(1+tanA2 ( a)然后用a /2代替a即可。同理可推导的万能公式。的可通过比余弦得到。三倍角公式推导tan3 a =sin3 a /cos3 a=(Sin2 a cos a +cos2 a sin) a/ (cos2 a cos a-sin2 a sin a=(2sin a COSA2 ( a) +cosA2 ( a) sin a SinA

2、3 ( a ) ) / ( cosA3 ( a) cos a sinA2(a ) 2sinA2 ( a) COS a )上下同除以cosA3 ( a)，得：tan3 a= (3tan a tan人3 ( a) ) / (1-3ta门人2 ( a)sin3 a =sin ( 2 a + a) =sin2 a cos a +cos2 a sin a=2sin a cosA2 ( a) + (1 2si门人2 ( a) ) sin a=2sin a 2si门人3 ( a) +sin a 2si门人3 ( a)=3sin a 4sin人3 ( a)cos3 a =cos ( 2 a + a =cos2

3、 a cos a sin2 a sin a=2cosA2 ( a) 1cos a 2COS a S“A2 ( a)=2cosA3 ( a) cos a +2COS a 2COSA3 ( a)=4cosA3 ( a) 3cos a即sin3 a =3sin( 4si门人3 ( a)COS3 a =4COSA3 ( a) 3COS a首先，我们知道 sin （a+b ） =sina*cosb+cosa*sinb, sin （a-b ） =sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin （a+b ） +sin （ a-b） =2sina*cosb所以，sina*cosb=sin（

4、a+b） +sin（ a-b）/2同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=sin （ a+b）-sin（ a-b） /2同样的，我们还知道 cos （ a+b） =cosa*cosb-sina*sinb ， cos （ a-b）=cosa*cosb+s in a*s inb所以，把两式相加，我们就可以得到cos （ a+b） +cos （ a-b）=2cosa*cosb所以我们就得到，cosa*cosb=cos （ a+b） +cos （ a-b）/2同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-cos（a+b）-cos （a-b）/2这样，我们就得到了的四个公式：sin a*cosb=

5、s in（a+b） +sin （ a-b）/2cosa*s in b=s in（a+b） -sin （ a-b）/2cosa*cosb=cos（a+b）+cos （ a-b） /2sin a*s in b=-cos（a+b）-cos （ a-b）/2好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到的四个公式我们把上述四个公式中的a+b设为x, a-b设为y，那么a= （x+y）/2， b= （x-y）把a，b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式：sin x+s iny=2s in（x+y）/2*cos （ x-y）/2sin x-s iny=2cos（x+y）/2*si n

6、 （ x-y）/2cosx+cosy=2cos （x+y）/2*cos （x-y）/2cosx-cosy=-2sin （ x+y） /2*sin （ x-y）/2同角的基本关系式倒数关系a COt a =1a a =1COS a a =1商的关系sin a /cos a =tan a =sec a /CSC aCOS a /sin a =COt a =CSC a /sec a平方关系SinT ( a) +COsA2 ( a) =11+ta门人2 ( a) =secA2 ( a)1+COtA2 ( a) =CSCA2 ( a)同角六角形构造以上弦、中切、下割；、右余、中间 1的为模型。倒数关系上

7、两个函数互为倒数；商数关系(主要是两条虚线两端F面顶点上的三角任意一顶点上的等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。的的乘积，下面4个也存在这种关系。)。由此，可得关系式。平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的等于函数值的平方。两角和差公式sin ( a + 3 =sin a cos 3 +cos a sin 3sin ( a 3) =sin a cos -cos a sin 3cos ( a + 3 =cos a cos -sin a sin 3cos ( a 3) =cos a cos 3 +sin a sin 3tan (a + 3 = (tan a +ta n 3)

8、 / (1 tan a tan )3tan ( a3 ) = (tan a tan 3)/ (1+tan a tan )3二倍角的、和公式sin2 a =2sin a cos acos2 a =cosA2 ( a) sin2 ( a) =2cosA2( a) 1=1 2sin2 ( a)tan2 a =2tan a/( 1 tanA2 ( a)tan /1/2* a = / sin a) / / 1+cos a) = / 1-cos a) /sin a半角的正弦、余弦和正切公式si门人2/ a 12=/ 1 cos a )/2cosA2/ a /2=/1+cosa )/2tanA2/ a /2

9、=/ 1 cos a )/ /1+cos a )tan /a /2 =(1 cos a) /sin a =Sin a /1+cos asin a =2ta n (a / / 1+ta 门人2 / a )cos a= /1 tanA2 / a /2 ) / / 1+ta门人2 / a /2 )tan a= / 2ta n (a )/ /1 tan 人2 / a /2 )三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a =3sin( 4si门人3 / a)cos3 a =4cosA3 / a) 3COS atan3 a= / 3tan a tanA3 / a) ) / /1 3ta门人2 / a )三角函数的和差化积公式sin a +sin 3 =2si( ( a + p 12)cos ( a 3)/2)sin a sin 3 =2cos ( a + 3/2)sin ( a 3) /2)cos a +cos 3 =2cos ( a + 3 /2 ) COS ( a 3 ) /2 ) cos a cos 3= 2sin ( a + 3 /2) sin