三、多维随机变量及其分布

1、概率论与数理统计练习题系专业班 姓名学号第三章多维随机变量及其分布（一）一、填空题：f2Axy ,0X1,0cy 0 t2、设二维随机变量（X ,Y ）的联合分布函数为F （x, y）=，则吊数0,其他4A r 。二、计算题：1 在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X, Y如下：0 若第一次岀的是正品0 若第二次岀的是正品X, Y =J 若第一次岀的是次品J 若第二次岀的是次品试分别就（1） , （2）两种情况，写出 X和Y的联合分布律。解：（1）放回抽样（2）不放回抽样01025/365/3615

2、/361/3601015/225/3315/331/662.设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求13(1) P 一 X ，0 CY 4,12342 211 / 4001/16(2)P1 兰 X 兰2,3 兰丫兰 421 /161/401 /4301/161/160解:1 3(1)PX,0 :：: Y ：: 42 2=P ( X =1 , Y=1 ) - P ( X 日,Y =2 ) - P ( X 1 , Y 3 )14(2)P1 乞 X 2,3 Y 4=P ( X = 1, Y = 3) P ( X = 1, Y = 4) P ( X = 2，丫 = 3) P ( X = 2 , Y =

3、 4) 115=+-=1 6 416-1011/41/421/6a3 .设随机变量(X ,Y )的联合分布律如表：求：(1) a值；(2) (X ,Y)的联合分布函数F(x,y)(3) (X ,Y)关于X，Y的边缘分布函数Fx (x)和Fy (y)1 1 1解：(1) 由归一性二：芝.Pja =1ij4461解得 a=3(2) (X ,Y)的联合分布函数为0x0或y -11一1兰X2，一 1兰y c045F ( x, y)x _ 2 ,1 _ y ：: 0121x _ 2 , y _ 0（3） （X,Y）关于X, Y的边缘分布函数为:01x 1Fx (x)=丿1 兰X 221x 3 25Fy

4、(y)121y ： _11 乞 y : 0y _oI k （6 - x - y ）4 .设随机变量（X,Y）的概率密度为f（x,y）=00x2,2vyv 4其他，求:(1)常数 k；( 2)求 P X ：: 1, Y :：: 3；(3) PX ： 1.5；(4) P X Y _ 4解：（1 ）由归一性4dx k (6xy )dy= k (62x) dx=8k=1所以 k =1(2)P X ：:1 ,Y : 31 131 1 73dx (6 x y)dy( - x)dx =8 028 0 28(3) PX : 1.51 1 . 541 1 .52 7dx (6 - x - y)dy(6 - 2

5、x)dx =8 028 032(4)P X4.(6x y )d xd y18(12 -8x x2 )dx011 623概率论与数理统计练习题系专业班 姓名学号第三章多维随机变量及其分布（二）、选择题：1、设随机变量X与Y独立，且X L N（7,G2）, YN （2,二22），则Z =x 7仍服从正态分布,且有(A)2 2z N (._1 亠 J，二1 亠2 )(B)z L N (亠2,二12(C)2 2z N ( 4 72, ；1 -C2 )(D)z L N( 4二2 ,；：2 C2 )2、若(X ,Y)服从二维均匀分布，则(A)随机变量X，丫都服从均匀分布(B)随机变量X，丫不一定服从均匀分

6、布随机变量X，丫 一定不服从均匀分布(D )随机变量X - Y服从均匀分布二、填空题:1、设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为f (x, y)詔0,31361P ( X Y : 1) = 1 _1dx_(x2 竺)dy031(.0 622x2、设随机变量 X ,Y同分布,的密度函数为B =Y a相互独立，且 P(A B)3，则a =4P ( A)= P( X a ) =1 -P( X 辽 a )25x+3632x , 0 ：: x ：: 2f (x) =8,3)d x 二36V4.233xad x = 1 88n 2P(A B)二P(A) - P(B) -P(A)P(B) = 2P(A) -

7、 P( A)336aa 2a3=2(1)( 1) = 1 -8864 4二、计算题:a1 .已知 P X = kkb,P Y - _k厂(k =1,2, 3) , X与Y独立，确定a, b的值，求出(X ,Y )k-Y的概率分布。的联合概率分布以及XP (X解：由归一性Zkaa=k) = a -231 1a166所以a二一1 1bb49b36由归一性ZP (Y二 _k ) = b -1所以b二一k493649(X ,Y)的联合概率分布-3-2-1X、124/53954/539216/539212/53927/539108/539由于 P (X +Y= _2) = 2438/53918/5397

8、2/53966 6P (X Y = _1)5394925112672P (X Y =0)P (X Y =1)P (X Y =2)539539539X Y的概率分布为：2 .随机变量X与Y的联合密度函数为 f(x,y)=*1 2e_3x _4 y,x，0, y ,0，分别求下列概率密度函0,数：(1) Z =X Y ;(2) M = max X ,Y；(3) N = m in X ,Y。X +Y-2-1012P24662511 2672539539539539539解：(1) Fz (z) =P(Zffxy迄f (x, y )dxd ydx0 0z _x_3x -4 y12e dy3x4(z x

9、 )e_ (1 _e_-)dxz|03 z4 z=1 -4e 一 3e -所以Fz(z 1_4e3ezZ的概率密度函数为fz ( z):0:03 z2e_-12当 z ：:：0 时，fz(Z)=0fz-0时，f ( x, -zx) d xz)=J JOOz二.012e_3x _4(z jx)dx4z=1 2e_所以4z=1 2e_z(e -1)Z的概率密度函数为fz ( Z):0由于fx ( X)=-bo.f(X,y)dy .3 z2e-12_4z e8 亠亠1 2edy 二 3e_3xfY(y)二.；f(X，y)dy容/ Ay1 2 ed x = 4e则X与Y相互独立。当 z ：:0 时，F

10、m (z) =0当 z _0 时，FM (z) = P(M 乞 z)二 P (X 乞 z, 丫空 z) = P(X 乞 z)P(丫乞 z)3z4 z=Fx (z)Fy (z) =(1 e )(1 e)所以fM 二 3ei _ez)04 z+ 4e - (1_3_ )z：0z 03 z=3e 一4z+ 4e_7z-7e _z:0z 0(3)当 z：0 时，Fn(z)=0当z _0时，Fn(z)=P(N 乞 z)=1_P(N .z)=1_P(X . z,Y .z)=1_P(X=1 一1 Fx (z)1-Fy(z)_3z _4 z=1 e - e -z)P(Y . z)7 zZ: 0Z . 00所以

11、 f n (z)7zl7e3 .设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布U (0,1)。试求(1) Z =X Y的分布函数与概率密度函数；(2) U =2X -Y的概率密度函数。be解：(1) f Z (z) = fx (x) fY ( x)dx ( 0 ：: x ：: 1 , 0 ：: z x : 1当 z : 0 或 Z 2 时，fZ (z) =0Z当 0 ：: z ：: 1 时，fZ (Z) = o dx = z1当 1 : z ：: 2 时，fZ (z)二 dx =2 -z&丄z 0 ：: z ：: 1所以，fZ (Z) = 2 z 1 一 z ：: 20其他(2)当 u ：

12、 1 时，Fu (u) =0 ;当 u _2 时，Fu (u) =1i Lt当 _1 I ：0 时，Fu (u)二.dy。2 dxy u2dy2(1 2u u2ody.o当 0 乞u ：1 时，Fu （u）dx1(1 - 2u);41 2 x _u当 13 :：: 2 时，Fu (u) =1 二 dx 一 dy =u2-(1即U =2X Y的分布函数为:Fu (u)-(1-2u )u ：: -1一1 空 u : 00 乞 u : 11 u : 2u亠2所以u =2X -Y的概率密度函数为： u+ -1cuc02 21”0 Cu 1fu (u) =Fu (u) = 2u1 一一 1 C u C 220其它4.设X和Y相互独立，其概率密度函数分别为10 _ x _ 1Aey 0fx （X）二，fY（y）才1其它1 0y _ 0求：（1）常数A,（2）随机变量Z =