圆锥曲线与方程知识点详细(word文档良心出品)

1、A1 Ca，） , A2（a，）,B1（0,-b） , B2（0,b）。线段A1A2 , B1B2分别叫做椭圆的 长轴和短轴，A A2 = 2a , B1B2 = 2b。椭圆1、 椭圆的第一定义：平面内一个动点P到两个定点F2的距离之和等于常数(PR | +|PF2 | = 2a F1F2), 这个动点P的轨迹叫椭圆这两个定点叫 椭圆的焦点，两焦点的距离叫作 椭圆的焦距。注意：若(PFj ”PF2 |= Fi F2 )，则动点P的轨迹为线段 RF2 ；若(PFi | ”PF2 |c|FiF2)，则动点P的 轨迹无图形.2、椭圆的标准方程2 21) 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：jX2 y2

2、 1 (a b 0)，其中C2二a2 - b2 ；a b2 22) 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：爲笃=1 (a . b - 0),其中c2二a2 -b2 ；a b注意：在两种标准方程中，总有 a b 0,并且椭圆的焦点总在长轴上；2 2两种标准方程可用一般形式表示：= 1或者mx ?+ny2=1。m n223、椭圆：x-=1 (a b 0)的简单几何性质a2 b22 2(1) 对称性：对于椭圆标准方程 笃-2 =1 (a b 0):是以x轴、y轴a b为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对 称中心称为椭圆的中心。(2) 范围：椭圆上所有的点都位于直线x二a和y

3、 =b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x a , y 0）ab2 2与+ 冷=1 （ab：0）ab图形yL 站3 .1性质焦占八、八、R（-c,0） , F2（c,0）Fg-c）, F2（0,c）焦距| F1F2 =2cF1 F? | = 2c范围| x 兰 a ,y 0,mtn)这样可以避免讨论及繁杂的计算，当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。AA但是需要注意的是 m和n （或者一和一）谁代表a2，谁代表b2要分清。不要忘记隐含条件和方程，例如：m n222Ca -b c，e等等。不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程，切勿弄混。a2. 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分析，

4、即使画不出图形，思考时也要联想图形，注意数形结合法的使用，切勿漏掉一种情况。【典型例题】1、椭圆的定义例1、已知Fi（-8, 0），F2（8，0），动点P满足|PFi|+|PF2|=16,则点P的轨迹为（）A圆B椭圆C线段D直线2、椭圆的标准方程例2、求满足以下条件的椭圆的标准方程长轴长为10，短轴长为6；长轴是短轴的2倍，且过点（2，1） ；（3）经过点（5，1），（3，2）3、离心率x y例3、椭圆2 =1（a b 0）的左右焦点分别是 F1、F2,过点F1作x轴的垂线交椭圆于 P点。a b若/ F1PF2=60,则椭圆的离心率为4、最值问题X22例4、椭圆匚+y2 =1两焦点为F1、F2

5、,点P在椭圆上，贝V IPF1I |PF2|的最大值为，最小值为5、直线和椭圆2 2例10、已知直线l:y=2x+m，椭圆C： =1，试问当m为何值时：42（1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点.双曲线、知识点讲解(1) 双曲线的定义：平面内与两个定点F, F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F, F2 |)的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：1 pF, | -1 PF2 |= 2a 与 | PF2 | - | PF, = 2a ( 2a F, F2 |)表示双曲线的一支。2a H F, F2 表示两条射线；2a - F

6、, F2 没有轨迹;(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:中心在原点，焦点在 x轴上中心在原点，焦点在 y轴上标准方程2 2X2y2 -论沁小沁)a b22yx22 ,(aA0,b0)ab图形7i y顶点A,(a,0), A2(a,0)B, (0a), B2(0, a)对称轴X轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a焦占八、八、F,(y,0), F2(c,0)F,(0c), F2(0,c)焦距2 2 2| F, F2 |=2c(c 0)c = a + b离心率e(e。(离心率越大，开口越大)a渐近线y7xaTx通径2b2a(3)双曲线的渐近线：222 2求双曲线2X_ _.y_ =,的渐近线，可令其

7、右边的 为0,即得_Y_ =0，因式分解得到 A =0。 a2 b2a2 b2a bx2a2222与双曲线 笃-笃共渐近线的双曲线系方程是a b(4)等轴双曲线为x2 - y2 =t2，其离心率为-2注意定义中“陷阱问题,已知F,(-5,0), F2(5,0)，曲线上的动点 P到F,F2距离之差为6,则双曲线的方程为 32注意焦点的位置：问题2:双曲线的渐近线为 vx，则离心率为y 2【典型例题】1. 定义题：i某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时 听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该

8、巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)V 1V图2【解题思路】时间差即为距离差，至俩定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.2 22.如图2所示，F为双曲线C : - V 1的左916焦点，双曲线C上的点R与P7丄i =1,2,3关于V轴对称，则 RF| +|BF + RF P4F P5FI RF| 的值是()A. 9 B. 16 C. 18D. 272 2F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c,则.PF1F23. P是双曲线 务-占=1(a0,b0)左支上的一点,a b的内切圆的圆心的横坐标为()(A) a(B) b(C) c(D) a b-

9、c2. 求双曲线的标准方程21.已知双曲线C与双曲线162=1有公共焦点，且过点(43.2 , 2).求双曲线C的方程.2.已知双曲线的渐近线方程是U，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 3. 与渐近线有关的问题2 21若双曲线 务=1(a0,b0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为()a bA. . 2B. . 3C.5D. 24.几何21.设P为双曲线x2y1上的一点，F1, F2是该双曲线的两个焦点，12若 |PF1|:|PF2=3:2，则 PFE的面积为（）A . 6、. 3B. 12C.12、3D. 245求弦1.双曲线x2 - y2 :=1的一弦中点为（

10、2, 1）,则此弦所在的直线方程为( )3.焦点为（0, 6）,且与双曲线2宁_y2 =1有相同的渐近线的双曲线方程是A.12242 2C. 12412D.2124124过点（1 , 3）且渐近线为_-x的双曲线方程是2A. y =2x -1 B.y = 2x -2 C. y = 2x -3 D.抛物线知识点1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线:(1) 在平面内；(2) 动点到定点F距离与到定直线I的距离相等;(3) 定点不在定直线上.知识点2 .抛物线的标准方程和几何性质标准方程y = 2px(p 0)y = 2px(p 0)x2 2py(p0)x2- 2py(p0)p的几何意

11、义：焦点 F到准线1的距离图形1卄n1 K11*1顶点0(0,0)对称轴y= 0x 0焦占八 、八、噜0)F ( 2, 0)F(0, DF0，-1)离心率e= 1准线方程x= p2px 2卫y 2卫y 2范围x0, y Rx0, x Ryw 0, x R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(xo, yo)p|PF|= X0+ 2p|PF - X0+ 2p|PF| y + 2p|PF|- y+_2【典型例题】A0VXx=-1X例1设P是抛物线y2 = 4x上的一个动点.(1) 求点P到点A 1,1)的距离与点P到直线x=- 1的距离之和的最小值;(2) 若 B(3,2)，求 |PB|+ |PF

12、|的最小值.变式练习1.若点P到直线y= 1的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨迹方程是 .过抛物线y2= 4x的焦点作直线I交抛物线于A,B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于.变式练习2.(1 )已知直线I过抛物线C的焦点，且与 C的对称轴垂直，I与C交于A, B两点，|AB|= 12, P为C的准 线上一点，则 ABP的面积为()A . 18B . 24C. 36D . 48变式练习3.1.已知直线y= k(x+ 2)(k0)与抛物线C： y2= 8x相交于A, B两点，F为C的焦点，若|FA|= 2|FB|,求k的值.【归纳总结】4个结论一一直线与抛物线相交的四个

13、结论已知抛物线y2 = 2px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A, B两点，设A(x1, y“, B(x2, y2),则有以下结论：(1) |AB|= X1+ x2 + P或|AB|= sinpa a为AB所在直线的倾斜角)；2(2) X1X2=；2(3) y1y2= P ；(4) 过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.3个注意点一一抛物线问题的三个注意点(1) 求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置 (或开口方向)判断是哪一种标准方程.(2) 注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问

14、题.(3) 直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1.到两定点Fi,F2的距离之和为定 值2a(2a|FiF2|)的点的轨迹1.到两定点F1,F2的距离之差的 绝对值为定值2a(02a|F1F2| )的 点的轨迹2 .与定点和直线的距离之比为定 值e的点的轨迹.(0e1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹方标准方程2 2xyd_ + =( a b 0) ab2 2xy-7 = 1(a0,b0)ab2y =2px程参数方程：x =acosB v y =bsinT (参数日为离心角)：x = asecQ=y = bta nB (参数日为离心角)“2pt (t为参数) J = 2 pt范围aax 令，一bby功|x| a, yRx垃中心原点0 (0, 0)原点0 (0, 0)顶点(a,0),( a,0) (0,b) , (0, b)(a,0),( a,0)(0,0)对称轴x轴，y