圆锥曲线知识点总结(供参考)

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持. 圆锥曲线的方程与性质 10文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑. 1. 椭圆 (1) 椭圆概念 平面内与两个定点 F1、 F2的距离的和等于常数 2a (大于 厅店2丨)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆 的焦点，两焦点的距离 2c叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有 | MF1 | |MF2| 2a。 上)。 椭圆的标准方程为: 2 2 xy 2,2 ab 0)(焦点在 x轴上) 2 y_ 2 a 2 x 笃 1 (a b 0) b2 (焦点在 注：以上方程中 a,b的大小 a b 0,其中b2 1两个方程中

2、都有a 0的条件，要分清焦点的位置，只要看 x2 和 y2 的分 母的大小。例如椭圆 2 y n n)当m n时表示焦点在x轴上的椭圆; 表示焦点在y轴上的椭圆。 (2) 椭圆的性质 2 x 范围：由标准方程 a 2 y b2 1知|x| a , |y| b，说明椭圆位于直线 x a , b所围成的矩形里; 对称性：在曲线方程里, 若以 y代替y方程不变，所以若点(x, y)在曲线上时, 占 八、 (x, y)也在曲线上, 所以曲线关于x轴对称，同理，以 x代替x方程不变，则曲线关于 y轴对称。若同时以 x代替x , y代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对

3、称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心; 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 x 0，得y b，则B1(0, b) , B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y 0得x a，即A( a,0), A(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段 AA、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b , a和b分别叫做椭圆的长 半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在Rt OB2F2中，|O

4、B2 | b , |OF2 | c , | B2F2 | a， 222222 且 IOF2 I I B2F21| OB2 |，即 c a b ； c 离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e叫椭圆的离心率。：a c 0, 0 e 1，且e越接近1, c就 a 越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0，从而b越接近于a，这时 椭圆越接近于圆。当且仅当a b时，c 0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2 a2。 2. 双曲线 (1) 双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(| PF1 | | PF2 | 2a )o 注意：式中是差的

5、绝对值，在0 2a | F1F2 |条件下；|PF1 | PF2 | 2a时为双曲线的一支； |PF2| |PF1| 2a时为双曲线的另一支(含 F1的一支)；当2a 厅汀2丨时，| PF11 PF? 2a表示两条射 线；当 2a | F1F21 时,|PF1| I PF21| 2a不表示任何图形；两定点 F1, F2叫做双曲线的焦点, I F1F2 |叫做 焦距。 (2)双曲线的性质 范围：从标准方程 2 2 笃占 1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 a b x a的外侧。即 x2 a2, x a即双曲线在两条直线 x a的外侧。 2 2 对称性：双曲线 务 1关于每个坐标轴和原

6、点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点 a b 22 是双曲线%1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 a b 顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 2 2 笃 与 1的方程里，对称轴是 x,y轴，所 a b 22 以令y 0得x a，因此双曲线和x轴有两个交点 A ( a,0)A2(a,0)，他们是双曲线 % 岭 1的顶点。 a b 令x 0,没有实根，因此双曲线和 y轴没有交点。 1)注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点) 端点。 ，双曲线的顶点分别是实轴的两个 2）实轴：线段A A 2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a, a叫做双

7、曲线的实半轴长。虚轴：线段B B?叫做双 曲线的虚轴，它的长等于 2b,b叫做双曲线的虚半轴长。 渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从 2 2 图上看，双曲线 笃 爲 1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 a b 等轴双曲线： 1） 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b ； 2） 等轴双曲线的性质：（1 ）渐近线方程为：y x ； （ 2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其 他几个亦成立。 3）注意到等轴双曲线的特征 a b，则等轴双曲

8、线可以设为: （0），当 0时交点在x轴, 当 0时焦点在y轴上。 X2 y2y2 x2 注意1与1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标 1699 16 轴也变了。 3. 抛物线 （1）抛物线的概念 平面内与一定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线I上）。定点F叫做 抛物线的焦点，定直线 I叫做抛物线的准线。 方程y2 2px p 0叫做抛物线的标准方程。 注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（卫，0）,它的准线方程是 x -; 2 2 （2）抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有

9、四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其 他几种形式：y2 2px , x2 2py , x22py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如 F表: 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点 离心率 说明：(1)通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；(2)抛物线的几何性质的特点：有一个顶 点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；(3)注意强调p的几何意义：是焦点到准线 的距离。 4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一

10、个二元方程f(x,y)=O 的 实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线 C的方程是f(x,y)=0 ，则点Po(x o,y 0)在曲线C上 f(x o,y o)=0 ;点Po(x o,y o)不在曲线 C 上f(x o,y o)丰 O。 两条曲线的交点：若曲线Ci, C的方程分别为fi(x,y)=O,f 2(x,y)=O,则点Po(x o,y o)是C, G的交点 fi(xo,yo) O方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组

11、没有实数解，曲线就没 f2(x),yo) o 2、方程： 标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a) 2+(y-b) 2=r2 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2 线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离 没有公共点。 直线和圆的位置关系的判定: (i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d Aa Bb C 、A2B2 一般方程：当 D2+W-4F 0时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为 (,)半径 2 2 是 D2 E24F。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为(x+D ) 2+(y

12、+空)2=E ?- 4F 2224 当D2+E2-4F=O时，方程表示一个点(-D，- E); 2 2 当D2+W-4F V 0时，方程不表示任何图形. (3) 点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x o,y o)，则丨MC| V r 点M在圆C内，丨 MC| =r 点 M在圆 C上，| MC| r 点 M在圆 C内，其中丨 MC| = ；(x0 - a)2(y0 -b)2。 有两个公共点；直 (4) 直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 与半径r的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点 P(x,y)到一个定点F(

13、c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线I称为准线，正常数 e称为离心率。当0 v ev 1时，轨迹为椭圆；当 e=1时，轨迹为抛物线；当 e 1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线: 椭圆 双曲线 抛物线 定义 1 .到两定点Fl,F2的距离之 和为定值2a(2a|F 1F2I)的 点的轨迹 2 .与定点和直线的距离之 比为定值e的点的轨迹. (0e1) 1. 到两定点F1,F 2的距离之差的 绝对值为定值2a(02a1) 与定点和直线的距离相等的 点的轨迹. 轨迹条件 点集：(M

14、| | MF+ | MF | =2a, | F 1F2 | v 2a. 点集：M| MF | - | MF | . = 2a, | F2F2 | 2a. 点集M | MF | =点M到直 线1的距离. 图形 方 程 标准 方程 x2y2 p 勺 1(a b0) ab x2 y2 =J 1(a0,b0) ab 参数 方程 X 2 pt (t为参数) y 2pt 范围 a x a, b y b |x|a , y R x 0 中心 原点0( 0, 0) 原点O (0, 0) 顶点 (a,0), ( a,0), (0,b) , (0, b) (a,0), ( a,0) (0,0) 对称轴 x轴，y轴；

15、 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴； 实轴长2a,虚轴长2b. x轴 焦占 八 、八、 Fi(c,0), F2( c,0) Fi(c,0), F2( c,0) 准线 2 ,a x= c 准线垂直于长轴，且在椭圆 外. 2 ,a x= c 准线垂直于实轴，且在两顶点的 内侧. x=-2 2 准线与焦点位于顶点两侧， 且到顶点的距离相等. 焦距 2c (c=Ja2 b2 ) 2c (c=Ja2 b2 ) 离心率 e=1 【备注1】双曲线：等轴双曲线：双曲线x2 y2 a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y x，离心率e . 2 . 2 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做

16、已知双曲线的共轭双曲线 .A a 2 2 亠L 0. a2 b2 2 2 2 共渐近线的双曲线系方程：务与(0)的渐近线方程为笃 a ba 2 2 它的双曲线方程可设为 筈上(0). a b 【备注2】抛物线：(1)抛物线y2 =2 px(p0)的焦点坐标是(卫，0) 2 2 2 x y -2 a b 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: 2 詁0如果双曲线的渐近线为I 0时, 准线方程x=-，开口向右；抛物线 2 y2 =-2px(p0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，开口向左; 2 2 2 抛物线 x =2py(p0)的焦点坐标是 (0,号)， 准线方程y=-，开口向上; 2 抛物

17、线x2=-2py (p0)的焦点坐标是(0,罟),准线方程 开口向下 2 (2)抛物线y =2px(p0)上的点M(xO,yO)与焦点F的距离 MF Xo p2 ；抛物线y =-2px(p0)上的点 2 M(x0,y0) 与焦点F的距离MF X。 (3)设抛物线的标准方程为 =2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 卫，顶点到准线的距离 2 卫焦占 ) 八 、八、 2 到准线的距离为 p. (4)已知过抛物线 y 2=2px(p0) 焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2), 则弦长AB=X! x2 +p或AB 2p 2 sin (a为

18、直线AB的倾斜角),yy 2 2pp p , x-|x2 ,AF x-i ( AF 42 叫做焦半径）. 五、坐标的变换: （1） 坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换.实施 坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程 （2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平 移，简称移轴。 ，在新坐标系 x O, y x h 亠 1 x x h 或 y k y y k （3） 坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y） 中

19、的坐标是（x,y）.设新坐标系的原点 O在原坐标系xOy中的坐标是（h,k），则 y 叫做平移（或移轴）公式 （4）中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程见下表: 方程 焦占 八、八、 焦线 对称轴 椭圆 2 2 (x-h) +(y-k) a点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的外角 PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 b2 ( c+h,k) 2 丄a x= +h c x=h y=k 2 2 (x-h) +(y-k) b2a2 (h, c+k) 2 丄a, y= +k c x=h y=k 双曲线 2 2 (x-h) _ (y

20、-k) a2b2 ( c+h,k) 2 丄a, x= +k c x=h y=k 2 2 (y -k)(x- h) 2 .2 ab (h, c+h) 2 丄a, y= +k c x=h y=k 抛物线 2 (y-k) =2p(x-h) (-+h,k) 2 x=- +h 2 y=k (y-k) 2=-2p(x-h) (-+h,k) 2 xP +h 2 y=k 2 (x-h) =2p(y-k) (h,卫 +k) 2 y=- +k 2 x=h 2 (x-h) =-2p(y-k) (h,-卫 +k) 2 y= +k 2 x=h 六、椭圆的常用结论: 文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载

21、支持 两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 5. 若Po(x,yo)在椭圆 2 X -2 a 2 古1上，则过Po的椭圆的切线方程是a2 XoX yoy 1. 6. 若Po(xo, yo)在椭圆 2 每 1夕卜，则过F0作椭圆的两条切线切点为 b P、巴 则切点弦PR的直线方程是 XoX a yoy 1. 7. 2 椭圆冷 a (a b 0)的左右焦点分别为 F, F2,点P为椭圆上任意一点 F1PF2 ，则椭圆的焦点 角形的面积为 S F1PF2 b2%. 1 12文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑 2

22、 (a b 0)的焦半径公式 8. 椭圆笃 a IMF1I a eXo, IMF2 | a eXo( F, c,0) , F2CO) M (x, y). 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M N两点，贝U MFL NF. 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ交于点M AP和AQ 交于点N,贝U MFL NF. 2 2 X y 11. AB是椭圆2 1的不平行于对称轴的弦，M(xo,yo)为AB的中点，贝U kOM kAB a b K ab b2x a

23、2yo 2 X 12.若 Po(xo, yo)在椭圆 a 2 b 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是 XoX yy 2 Xo 2 yo a2 b2 a2 b2 【推论】： 2 2 卄x y 仁右Po(Xo, yo)在椭圆2 a b 1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 2 X 2 a b2 XoX T a yoy b2 2 X 。椭圆一2 a b2 P、Pa时AP与A2P2交点的轨迹方程 (abo)的两个顶点为 A1( a,o) , A2(a,o),与y轴平行的直线交椭圆于 文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持. x2y 2、 过椭圆 2 1 (a 0, b 0)上任一点

24、A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直 a b 线BC有定向且kBC 咔(常数) a yo 2 2 X y 3、 若P为椭圆 牙1 (ab 0) 上异于长轴端点的任一点,Fi, F 2是焦点，PF/?,PF2R a b 则-_c tan- cot , a c 22 2 2 X y 4、设椭圆 書 1 (a b 0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在PFF2中，记 a b F1PF2 PF1F2 F1F2P ，则有 sin sin sin c e. a 2 5、若椭圆笃 a b2 1 (a b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为

25、L,则当0vew2 1时，可在椭圆上 20文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑. 求一点P,使得PR是P到对应准线距离 d与PF的比例中项 2 2 X y 6、P为椭圆2 1 (a b0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则 a b 2a | AF2 | |PA| |Ph| 2a ARI,当且仅当 代F2,P三点共线时，等号成立 7、椭圆 (x X。)2 2 a 2 (y y)1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是 b2 2 2 B b(Ax 2 By。 C). 2 x 当 M (x, y)在左支上时，MF,eX0a , | MF2 |eX0a。 9、 设过双曲

26、线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于 焦点F的双曲线准线于 M N两点，贝U MF丄NF. MF丄 NF. 10、 过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、Q, A、A为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M, A2P 和AQ交于点N,贝U 2 X 11、AB是双曲线 a 2 y_ b2 1(a0,b 0)的不平行于对称轴的弦，M(x0,y)为AB的中点，则K OM K AB b2Xg y。， 即Kab b X0 。 a y 12、若F0(Xo, yo)在双曲线 2 古(a,b 0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是a2 Xo

27、X 2 X0 b2 a2 2 b2 2 ”X 13、右P0( x0, y0)在双曲线 a 22 yx 2 1 (a 0,b 0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2 ba X0X a y0y 2 【推论】：1、双曲线与 a 2 y 1 (a0,b 0)的两个顶点为 A( a,0), A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线 2 于P1、P2时AR与A2P2交点的轨迹方程是 与 a 2 2、过双曲线务 a 2 占 1 (a0,b o) 上任一点 A(X0,y)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 b B,C两点, 则直线BC有定向且kBC 礬(常数). a 乂 2 X 3、若P为双曲线 a 1 (

28、a 0,b 0) 右(或左)支上除顶点外的任一点 ,F 1, F 2是焦点， PF1F2 PF2 F1，则 tan cot (或 2 2 口 tan cot). c a 2 2 X 4、设双曲线 a 2 y b2 (a0,b 0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点, 在厶PF1F2 中，记 f1pf2 PF1F2 F1F2P ，则有 sinc e. (sin sin ) a 2 2 5、若双曲线X2 y2 1 (a0,b 0)的左、右焦点分别为 Fi、F2,左准线为L,则当10,b 0) 上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则 b 2 7、双曲线笃 a2 1 (a 0,b