解析几何常用公式结论

1、1 斜率公式 k 里 览(Pi(x1,y1)、P2(x2,y2) X2 Xi (1)点斜式 y yik(x xj (直线1过点(x., yi)，且斜率为k). (2) 斜截式 y kx b (b 为直线1在y轴上的截距). (3) 两点式 y yix Xi (yiy2)(Pi(xi,yi)、P2(X2,y2)(xiX2) y2 yiX2 Xi (4)截距式 x y 1( a. b分别为直线的横、纵截距，a、b 0) a b (5) 一般式 Ax By C 0(其中A、B不同时为0). 2、直线的五种方程(熟练掌握两点和截距式、一般式) 点法式和点向式在求直线方程时较直观 其中k是待定的系数；经

2、过定点F0(x0,y0)的直线系方程为A(xxJB(yy0)0,其中A, B 是待定的系数. (2) 共点直线系方程：经过两直线1. : A.x B1y G 0, l2: A2x B2y C2 0的交点的直线 系方程为(Ax Biy CJ(A2x B2y C2) 0(除l2)，其中入是待定的系数. (3) 平行直线系方程：直线y kx b中当斜率k 一定而b变动时，表示平行直线系方程.与 直线Ax By C 0平行的直线系方程是 Ax By 0(0)，入是参变量. (4)垂直直线系方程：与直线 Ax By C 0 (A工0 , Bm 0)垂直的直线系方程是 Bx Ay 0,入是参变量. 6、点

3、到直线的距离 d 1 Ax0 2By0 2 Cl (点 P(X0,y。),直线 l : Ax By C 0). A B 3、两条直线的平行和垂直 (1)若 li: ykix bi， I2: yk?x d 7、两条平行线：h：Ax By G 0与l2 : Ax By C2 0之间的距离是: li|l2 ki k?, bib?: li I2kik? 1. 若li : Ax Biy Ci 0 ,2 ： A2xB2 y C2 0 ,且 Ai、 A?、Bi、B2都不为零 li|l2 去 旦C1; li与 l?重合 A1Bi C1 A2 B2 C2 A?b2 C2 li 12 a.a?b.b20 ； 4、

4、到角公式和夹角公式 li到12的角公式 2 B1B2(A1x C1)( A2X B?y C2 ) A1A2(A1x C1)( A2X B?y C2 ) A1A2(A1x C1)( A2X B?y C2 ) 15、圆的四种方程 (1)圆的标准方程 (x a) 2 (y b)2 (2)圆的 般方程 2 2 x y Dx Ey x a r cos (3)圆的参数方程 y b r sin (4 )圆的直径式方程(x X1)(X X2) 0所表示的平面区域上下、下上两部分. 0所表示的平面区域是左左、右右两部分； 0所表示的平面区域左右、右左两部分 2 r . F 0( D2 E2 4F 0). (y

5、y1)(y y2) 0 (圆的直径的端点是 A(x1, y-i) 20、圆的切线方程 2 2 (1)已知圆 x y Dx Ey F 0 . 若已知切点(沧，丫0)在圆上，则切线只有一条，其方程是 X0Xyy D(X0 x) 2 E(y。y) F 2 0. Bg, y2). 圆系方程 (1)过点A(X1,yJ, B(X2,y2)的圆系方程是 丫2)(x 丫2)(ax 16、 (x xj(x X2) (y yj(y (x 为)(x X2) 入是待定的系数. 过直线I ： 2 2 x y Dx Ey (3)过圆C1： 系方程是x2 (y Ax yi)(y xi)(yi by c) y2)(y %)(

6、为 x?) 0 0 ,其中ax by c 0是直线AB的方程， By C (Ax I 2 y D1X D1x E1 y F1 0与圆C : By C) EF1 1(x2 0, 22 x y 入是待定的系数. 2 0与圆C2： X Dx Ey F 0的交点的圆系方程是 2 y D2x E2 y F2) D2x E2y F20的交点的圆 0 ,入是待定的系数. 17、点与圆的位置关系 2 点 P(xo,y)与圆(x a) (y 若 d .(a X0)2 (b y。)2 , 点P在圆 b)2 2 r的位置关系有三种 d r 点P在圆外；d r 18、直线与圆的位置关系 直线 上；d 其中d Ax B

7、y C 0与圆 相离0 ； d Aa Bb C| (x a)2 (y r 相切 b)2 0; r2的位置关系有三种： d r 相交0. 当(X0,y。)圆外时，X0X yy D 耳 旦也 刃F 0表示过两个切点的切点弦方 2 2 程. 过圆外一点P(x。，y。)的切线方程可设为yy。k(xx。)，再利用相切条件求k,这时必有 两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线. 斜率为k的切线方程可设为 y kx b，再利用相切条件求 b，必有两条切线. 已知圆x2 y2 r2. 过圆上的F0(X0,y0)点的切线方程为X0X : 斜率为k的圆的切线方程为 y kx r X2 y2 21、椭圆二 21(a

8、 b 0)的参数方程是 a b X2 y2 22、椭圆二 21(a b 0)焦半径公式 a b 2 2 aa PF1e(x ), PF2 e( x). cc 23、椭圆的的内外部 2 2 (1) 点 P(xo,yo)在椭圆芯 1(a b a b 2 2 (2) 点 P(x0, y0)在椭圆冷 1(a b a b 24、椭圆的切线方程 2 2 丄xyx0 x y0y (1)椭圆r 2 1(a b 0)上一点P(x0,y)处的切线方程是 一202 1. abab 22 k2 a cos bsin 0)的内部 0)的外部 2 凶 2 a 2 _Xq 2 a 2 Yq b2 y b2 A2 B2 19

9、、两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 Q, 外离 外切 i r1 r2 r1 d r2 d r2 r1 D 内切 2 内含 2, Q,半径分别为r1, 4条公切线； 3条公切线； 相交2条公切线； 1条公切线； 无公切线. O1O2d a b XqX yy 1 2, 21. ab 2 2 (3)椭圆 y .2 1(a b 0)与直线Ax By C 0相切的条件是 A2a2 B2b2 c2 a b2 2 2 25、双曲线2 _y_ 2 1(a 0,b 0)的焦半径公式 a b (2)过椭圆 勺 召 1(a b 0)外一点P(X0,y)所引两条切线的切点弦方程是 0 4 2 a |e(x )

10、|， c 26、双曲线的内外部 PF1 2 a PF2 |e( X)|. b 4ac b一 (,)；(2)焦点的坐标为 2a 4a 34、抛物线的内外部 b 4ac b2 2a， 4a 1) ；( 3)准线方程是 4ac b2 1 4a x2 (1)点P(x0, y0)在双曲线 一2 a 2 x 点P(x0, y)在双曲线 a 27、双曲线的方程与渐近线方程的关系 2 y b2 b x a (1 )若双曲线方程为 2 X 2 a 若渐近线方程为 2 若双曲线与笃 a 焦点在y轴上) 2 y b2 28、双曲线的切线方程 2 X (1)双曲线 a (2 )过双曲线 2 y 2 X 2 a Xx

11、2_ a YgY 1. (3)双曲线 2 x 2 a 29、 30、 2 y_ b2 2 y_ b2 1(a0,b 1(a0,b 0)的内部 0)的外部 渐近线方程: 2 y_ b2 b 0双曲线可设为 1有公共渐近线，可设为 2 x -2 a 2 y b2 2 2 a 2 Xq 2 a 2 yc 2 Yq b2 2 x -2 a 2 y b2 0，焦点在x轴上, (1)点 P(x0, y0)在抛物线 y2 2px(p 0)的内部y2 2px(p 0). 点 P(Xo, yo)在抛物线 y2 2px(p 0)的外部 y2 2px(p 0). 点P(x0, y0)在抛物线y22 px( p 0)

12、的内部 y22 px( p 0). 点 P(Xo, yo)在抛物线 y22 px( p 0)的外部y22px(p 0). 点P(Xq, yo)在抛物线x2 2 py( p 0)的内部x2 2py( p 0). 点 P(Xo,yo)在抛物线 x2 2py(p 0)的外部x2 2py(p 0). 22 点P(x0, y0)在抛物线x 2py( p 0)的内部 x 2py( p 0). 22 点 P(xo, yo)在抛物线 x 2py(p 0)的外部 x 2py(p 0). 35、抛物线的切线方程 (1)抛物线y2 2px上一点P(xo, yo)处的切线方程是yoy p(x x。). (2)过抛物线

13、y2 2px外一点P(x0, y0)所引两条切线的切点弦方程是yoy p(x xJ. 1(a0,b0)上一点P(xo, yo)处的切线方程是 X0Xyy 1. 2 每 1(a 0,b0)外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是 b 22 (3)抛物线y 2px(p 0)与直线Ax By C 0相切的条件是 pB 2AC. 36、两个常见的曲线系方程 (1)过曲线f1(x, y) 0, f2(x, y) 0的交点的曲线系方程是 1(a 椭圆、双曲线的心准距是: 0,b 0)与直线Ax By C 0相切的条件是A2a2 B2b2 c2. fdx, y)f2(x,y) 0(为参数). 2 2 (

14、2)共焦点的有心圆锥曲线系方程甘 牛 1 ,其中k maxa2,b2.当 a k b k 2 2 2 2 2 2 k min a ,b 时，表示椭圆；当min a ,b kmax a ,b时，表示双曲线. 37、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB-(x1x2)2 (y1y2)2 |AB|匕L =0 k L (前者适用于前消去 y,剩下X,后者适用于消去X,剩下y) |a|a/| 或 AB . (1k2)(x2x1)2|x1x2| “1tan2|y1y21，1 cot2 y kx b2 (弦端点A(x1, y1), B(x2, y2)，由方程消去y得到ax bx c 0 ,0,为 F(x,y)

15、0 直线AB的倾斜角，k为直线的斜率). 38、圆锥曲线的两类对称问题 (1) 曲线F(x,y) 0关于点P(xo,yo)成中心对称的曲线是 F(2x-x,2yo y) 0. (2) 曲线F(x, y) 0关于直线Ax By C 0成轴对称的曲线是 2 2 b，通径长是：2- ca 2ab2 2 2ab 2，过顶点的弦长为: | a2 c2 cos2| (是锐角或直角或钝角都可以). 2 ，焦准距是: c 过椭圆、双曲线的焦点的弦长为: 其中 是弦与长(实)轴所成的一个角 31、抛物线 2 y2px的焦半径公式 抛物线y2 过焦点弦长 32、抛物线 2px(p CD X1 0)焦半径CF X2 x X1 y2 2px上的动点可设为 33、二次函数 y ax2 bx c a(x 2ab2 2 cos c cos X2P. 2 p(話,y)或 P(2pt2,2pt)或 P(XH)，