误差理论和实验数据处理.

1、误差理论和实验数据处理物理学是一门实验科学。物理概念的确定物理规律的发现、建立和检验，都是通过 实验结果概括出来的。因此，从古至今物 理实验在物理学的创立和发展上都占有十 分重要的地位。的和任务1 对学生进行“三基”的训练。使学生获 得物理实验的基本知识，进行基本实验方 法和基本实验技能的训练。培养学生的 阅读理解能力、动手操作能力、分析判 断能力.书写表达能力以及初步的实验 设计能力。2. 加深对物理概念的掌握和理解。1.测量及其分类:测量基人如对3. 具备初步的从事实验工作的基本素质。体取潯定量概愈班數字褻征的过程。测査巧疾分君嵐接测量和间接测量两大类。2误差及其来源和“消除”方法一个待测

2、的物理量，在一定的条件下总有一 个客观存在的量值，这个量值我们称之为真值。在实际的测量中，测量结果和真值之间总存 在一定的差值。这个差值就称之为误差。误差是不可避免的，真值是测不出的。测量的目的在于尽量减少误差之后，得出一个 在一定条件下待测物理量的最可信赖值，并对其 精确度作出正确的估计。系统误差和偶然误差(1)系统误差：特征：A有规律，自成系统：B.可以消除。仪器误差1 , U ,iii, 环境和条件误差iv, 个人误差可以采取一些措施来消除或减少这些系统误差。方法误差(2)偶然误差:特征：A.随机产生，无规律;(a)精密度高，准确度差。(b)准确度高，精密 度差。(c).精密度.准确度都

3、高，就是精确度3精密度、准确度和精确度i .环境原因 ii个人原因 偶然误差也有其必然性。 测量次数无穷多时，偶然 误差满足正态分布。正态 分布具有单峰性.对称性 性三个特点。测量结果的农示. 宜接测量泯1,算术平均值一测量结果的最可信赖值：偶然误差的性质告诉我们nX（）= lin（n T oo）n实际测量中，测量次数总是有限的。 算术平均值只是真值的近似值称为最佳估 计值（最可信赖值）。用它来表示测量结 果。n2多次等精度测量的误差估算:某次测量值的误差:“x, x。某次测量值的偏差:u = X, XIV(1) 标准误差和标准偏差:测量列的标准误差: (Xj xJI n上述公式只有理论上的意

4、义。测量列的标准偏差：n_工(X厂乂)2 i=l_(n-1)-白塞尔公式(2)算术平均值的标准偏差:算术平均值的标准偏差应小于测量列的标准 偏差。(x厂刃彳r 一 65_了一n(n 一 1)由上式可以看到，增加测量次数对提高测量 精度是有益的。n28 n3测量结果及其物理意义测量结果可以表示为X = X 偏差落在（-区间的概略约68. 3%。(XV偏差落在（-2o（片）,+2o（牙）区间的概略为95.5%。）区间的概略为99. 73%。- 3cr（片）,+3cr 简实验中粗差的剔除1. 拉依达准则I I 3o-s2. 肖维涅准则|q|cbS4单次直接测量结果的误差估算仪器误差 川 仪器误差满足

5、平均分布可以方便得计算5绝对误差.相对误差及百分差绝对误差：crcr-)相对误差：E = xlOO%, = -xlOO%X X。X。X100%百分差:误差传递的基本公式：N=f（xn 乂2、 X3、.xn）单次测量时误差传递公式绝对误差：A/V=塹4+堂X+ +堂4OXox2(JXn相对误差：A7V Sin / Adn fdn f=Ar. + Ar0 + +N8x1dx2dxn附表：常用函数关系的误差传递公式直軸数关系式俱差传递公式Ml对谋差1N =+ y + iAN = |2| + Ay| r 14p _ 1业1 T 14 + |X| 卄y +1toN = 丁 一 y= |Axj + Ay|

6、E_ IM + 1与1 兀一 3W = |j忧 Al + zx y 卡 by Az；E =7|+愕Hvl4.v = - y側 _ |g ； 1 d Al rE =Az+ |於N =才、N n 1 A,rjE = n土J1Ife. = 7 Xi 11齐：A：n11Xj - sin x4h |cas j AjJL.Icon才乂|匕一sin r8v cos rAy|sinr 山 |Ibirt Ar|cosx多次等精度测量时误差传递公式标准偏差的误差传递公式 绝对误差：Sfdx生dXn相对误差:序号函数关斥式协准値教的伦遥公式1VC +，+ * V、江三+戸。十V3V才 y哽7；野）W呼）4V三 y警

7、（警）+（兮）SV上警-J航瞬r+罰弩）+川警6VJLzog - MB 瞬2 =宥27Vyrd(N)1 。(丘)W F h8Vsin jtaNcqs x|r(x)9VInx2 误差分析的应用实际测量中，为了保证总误差在限定要求 以内，就要进行误差分配，选择合理的测量 方法和恰当的测量仪器.以单摆实验为例T 二 2兀=T2 =4=g = 4兀 SST2要求总误差小于0.4%,7=80cm - 100cm，误差可估计/=0lcm於 对课差为0 13% (1/80. 0)至0 1 ( 1/100. 0) 用秒表测量T、测量一次误差为厶t=0. 2s周 期大约为2秒，相对误差为10% (0.2/2 )

8、必 须采用多周期累计测量，测量100个周期，相 对误差为0.1% (0.2/ (100*2)。总误差冬“耳+ = 0.36%g 100x280 小于 0.4%1 有效数字的概念:1.325450.5790.2106Z重要概念：24.675658900.000982A有效位数B.和小数点无关C. 一位可疑数字2 有效数字的有关规定：(1 ) 有效数字中的“0数值前的“o”不是有效数字。(2 ).单位涣算保持有效位数不变例如：3. 71tn=3. 71 x io2cm (371cm)=3. 71 x io3mm(3 )直接测量的读数规则i .可以估读的仪器一定要估读。ii 按最小分度值的1/2、1

9、/5、或1/10估读。(4 )关于误差的规定：i误差的有效位数一般取一位，最多取两位。ii测量结果的最后一位应该和误差位对齐。四舍六入五凑偶。1 mm举例：读数规则2mm 3 mm 4mm5 mm6mm7 mm（4.7mm按1/10估读，正确）lmm 2mm 3mm 4mm 5 mm 6mm 7 mm 8mm（4.70mm按1/10估读，不正确）3.有效数字的运算规则：気（1）加减运算：W最后结果的小数点位数和加数中小数位数最少的对齐。 y（2 ）.乘除运算：1最后结果的有效位数和乘（除）数中有效位数最少的相同。（3 ）.乘方.开方运算：最后结果的有效位数和底数的有效位数相同。（4 ）.对数运

10、算：对数的有效位数和真数相同。（5 ）.常数运算：运算中它们的有效位数是任意的。（6 ） 三角函数运运算：三角函数的可疑数和角度的最小单位对应的那一位对齐。例如1 1.389+17.2+&67+94.12=121.4。1.38917.212.385x 2224770+ 2477027. 25708.67 + 9412 121.3792 12.385 x 2.2=27 o3. 56.473.188 x 1O3;V79.256 = 8.9264. %586=4.07;5. u4.52=64；n45.2132=6.4220 x io36. S/t60 5*=0.866751708 （查表）=0.00

11、02908882045:.S/n60 5*=0.866801.列表法： 设计表格排列顺序记录方便观看清楚2 作图法：直观、形象，准确度要差一些. 实验图线的绘制： 图纸大小的选择坐标的标记和分度实验点的标志图线的描绘图线的注解和说明图纸的描绘注意点：00不正规do lEfift1 坐标轴的起点坐标不一定为零，原则是使作 的图线充满整个图纸。2坐标轴的分度：作图纸的最小分屈代表有效数字准确数的最后一位。3实验点的标识必须明显、突出。例如，可以用，区 ”等符号。图解法:外推法：可以方便地得到实际上难于测量的点 的量值。求经验公式:用解析法和图解法可以求得经验公式, 也可以利用图解法求得截距和斜率，

12、进 而求得相应的物理量。注意：不能用实验点求斜率。3 逐差法两个测量值成y=a+bx线性关系时，利 用逐差法可以方便地求得斜率和截距。并 能充分地利用测量数据。设x. y之间有线性关系，实验测得一列对应 x2Xn和力、y2 yny = a +bxy2 = a +bx2yn=a+ bxn根据一般的逐项取差法，X =儿一风=b（X2 - X ）Ay2 =儿一儿=b（x3-x2）儿-必兀”一州所以几i =儿 一 Xi = bg 一二 0=4+4 +人儿G -石 （勺一兀J + （勺一勺）+（心一 Vi）这样的计算方法是不可取的。逐差法的基本方法 是把测量数据分为前后个数相等的两组，后面一 备个数据减

13、去前面一组中相应的数据，再将 丈取平均求斜率b ,取平均求得bx =儿+1 2儿=儿一+2 2- y n =方（兀 -）2 2 2b = （ . 一兀） +1 2n2,可以运用累加法求截距a_X =心” 1 一“）4-12-y2 = b（xn - ）2+2工兀=必+返无1=1 1=1n旦（/ = 1,2,3, ,/!）*4.最小二乘法与曲线的拟合:图解法处理数据时，人工拟合的曲线不是最佳 的。科研工作中常用最小二乘法来拟合曲线。用最小二乘法求得变量之间的函数关系称为 回归方程，因此用实验数据寻求最佳拟合线的问题 也常称为方程的回归问题。这里只讨论一元线性 回归问题。变量x、y之间存在线性关系y

14、=a+bx。将它们 录程，为使方程成立，必须引入偏差项V,、儿=a + bx2+v2Ji =a+bxx +v,y = a + hx2 + v2假设，每个测量值都是等精度的，而且只有y有明 显的随机误差。即X （d + 站）=比,、歹2 （ + bx2 ） = v2,yn-a + bxj=vn最理想的是常数a. b应使上式中的偏差V 1 V 2，., V.的绝对值最小。即2 = Ev/2 二工（必-。-站），/=!的值取最小值的条件是普I/松dQdad2Q d2Q一阶导数等于0,得正规方程。解正规方程可求得条件下的参量a. b的值称为最佳拟合值，亠=工兀2工X 工“工兀必a九工斤一（工勺）2 一

15、工兀2 _（工引2。“工3-孑壬-）n$”=工3-亍）工分甲工（“-匚）（X -亍）=工“ ”一为兀偏差项的平方和对a, b的二阶偏导大于零，因此, 上式即为满足最小二乘原理所求得的最佳拟含直线的 两个参数，即斜率和截距。扌艮据最小二乘法，用回归 法求a. b时，结果是唯一的。我们必须指出，这样求 得的斜斜率和截距仍然有误差，为其中CFy为测量值的标准偏差工（兀-ci-bx；）2常用相关系数r来判断X与y之间到底是否符合线性 关系，或符合到什么程度？对于一元线性回归的情 况，常称r为线性相关系数。其定义如下r = 为（兀7）（/ -刃 =吕，-齐工3-亍）平关系数r的值在1之间。越接近1,说明拟合得线性关系（相关系数）对某物理量作等精度多次测量时，每个测量 结果的可信度都一样，可用简单的算术平均值来 得到结果。在一列非等精度测量中，必须引入一 个数必来表示某个测量结果 心的可信度刃越大 标准偏差 乙越小，测量结果/1最后实验结果的 贡献也就越大，可以证明，实验结果的加权平均i= INd/ 1(z) jfj非等精度测量