揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考试(理数)

1、揭阳市2018届高中毕业班高考第一次模拟考试（理数）揭阳市2018届高中毕业班高考第一次模拟考试数学（理科）本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效3. 回答第n卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回第I卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有

2、 一项是符合题目要求的.(1 )已知集合A x| x3，By|yJx2 3，则 Al B(A) (,3)(B)(3,)(C) h/3,3)(D) (,V6)2(2 )已知复数z 3 i，则:z(a ) 4(B)6(C) 8(D) 10rrrrr r（3）已知向量a x,1 ，b1, 2，若ab，则 a b(A) (2,0)(B)(3,1)(C) (3,1)(D) ( 1,3)（4 ）一个圆柱形水桶，底面圆半径与咼都为2 （桶底和桶壁厚度不计），装满水后，发现桶中有个随处悬浮的颗粒，用一个半径为1的半球形水瓢（瓢壁厚度不计）从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为/八1111(A)(B)-(C)-

3、(D)12643(5)已知 f x sinxCOSX，实数满足f3f，则tan2/八4334(A)(B)-(C)(D)3443（6）与中国古代数学著作算法统宗中的问题类似，有这样一个问题：四百四十一里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其大意为:有一个人走441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人最后一天行走的路程为（A） 3.5 里（B） 7 里（C） 14 里（D） 28 里1 / 13揭阳市2018届高中毕业班高考第一次模拟考试(理数)(7)函数y xln | x |的部分图象大致为(8

4、)已知两条直线|1 : x 面积为3y 2 0与l2：x 、3y 6 0被圆C截得的线段长均为2，则圆C的(A)5(9)某几何体三视图如图(A) 416(C) 48(B)4( C)31示，则此几何体的表面积为(B)2( . 2 2)16(D)2(.、22)8(D)2 2- * 1正视图侧视图(10)已知F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，线段PF1的垂直平分线经过点 F2,且 PF1F2，则此双曲线6C的离心率为1(A) . 3 1( B) . 321 n图1俯视图(C)、3(11)某地铁站有(D)B、C、D、E五个自动检票口，有4人一同进站，恰好 2人通过同一检票口结束图2/输入X

5、 /否y=2xy=xlog 32+1丁输出y检票进站，另2人各自选择不同的检票口检票进站，则不同的检票进站方式的种数为(A) 60(B) 180(C) 360(D) 720(12)已知x0是函数fx sinx的极值点，2且满足f 2018X02018 :x0，则符合要求的X。的个数为(A) 2015(B)2016(C) 2017(D)2018本卷包括必考题和选考题两部分.第(佝题第(21)题为必考题，每个试题考生都必 须做答.第(22)题第(23)题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题 卡相应的横线上.(13)图2是一个算法流程

6、图，若输入 x的值为log 2 3，则输出的y的值是.y 2(14 )已知实数x, y满足约束条件 x y 1，则3x y的x y 1取值范围为是.2 / 13揭阳市2018届高中毕业班高考第一次模拟考试(理数)5 / 13(15 )已知数列an满足印a2an2n 1，设数列an的前n项和为Sn,贝yS. 、 16(16)已知抛物线y2 4x的焦点为F，抛物线上的动点 P (不在原点)在y轴上的投影为E，点 E关于直线PF的对称点为E，点F关于 直线PE的对称点为F，当| EF|最小时， 三角形PEF的面积为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分) AB

7、Csin B sinC(I)求角(nA的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c,已知.3 sin A cos(B C) 1 ,8sin A , a 7.A的值；BABC的面积.(18) (本小题满分12分)如图3，在三棱锥 P-ABC中，平面 PAC丄平面 PAC都是正三角形，AC 2 , E、F分别是AC、PD丄AB于D.(I)证明：平面 PEF丄平面PED;(n)求二面角 e PA D的正弦值.(19) (本小题满分12分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每

8、个250为数此搜集并整理了100台这种机器在三年使用元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,期内更换的易损零件数，得图 4的条形图：记x表示1台机器在三年使用期 内需更换的易损零件数，y表示1台机器在 购买易损零件上所需的费用(单位：元) ，n表示购机的同时购买的易损零件数.(I)若n =19，求y与x的函数解析式;(II )以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件发生的概率.(i) 若要求 需更换的易损零件数不大于n 的概率不小于0.5，求n的最小值；(ii) 假设n取19或20,分别计算1台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望，以此作为决策依据，购买 1台

9、机器的同时应购买19个还是20个易损零件？(20) (本小题满分12分)X21已知A是椭圆T : +y2 1上的动点，点P(0-)，点C与点A关于原点对称42(I)求 RAC面积的最大值；uuunPD，证明:uuu uuu uuu(II)若射线AP、CP分别与椭圆T交于点B、D，且AP mPB，CPm n为定值.(21)(本小题满分12分)已知a 0,函数f xx ee ex ax.(1)讨论f x的单调性；(II)已知当ae时，函数fx有两个零点x1和x2 (为 x2),求证：f (x1x2) a e请考生在第(22)、( 23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分(22)(

10、本小题满分10分)选修4 4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线11的参数方程为x 4t 2(t为参数)，直线12的参数方y ktx m 2程为y m(m为参数)，当k变化时，设h与l2的交点的轨迹为曲线 C.y k(I)以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程;(II)设曲线C上的点A的极角为一，射线OA与直线l3 : Sin( )2 20 (06的交点为B，且|OB| 7 | OA |，求 的值.(23)(本小题满分10分)选修4 5:不等式选讲1| a |, a为实数. xf (x)3的解集；1已知函数f(x) |a - |x(I)当a 1时，求不等

11、式(II )求f (a)的最小值.揭阳市2018届高中毕业班高考第一次模拟考试（理数）数学（理科）参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答 有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.、选择题题序123456789101112答案CDBAABCABDCB解析：（9）由三视图知

12、，该几何体是一棱长为2的正方体和一底面半径为 .空、高为1的圆柱的组合体，其表面积S表=5 222.2 12 2)2222(、2 2) 16.（10 ）不妨设点P在第一象限，依题意有|PF11 2| F1F2|cos30o 2 3c , | F1F2 | | PF2 |，又由|PF1| |PF2|2a 得 2. 3c 2c 2ac3 1ea2(11) C4C5A4360 -XXn（12）法1：由Xo是函数f x sin 的极值点可得f（X。）0，即cos 00，故22【法:2 : 由m题意知X0k ,2 2得X02k1x 0或x 1，即 12018 |X0 |X0 |2017 ,因 X0 2k

13、 1(k Z）故X。1, 3丄,2015 时，共 2016个.】、填空题1 ( k Z )；由f (x)图象得f (x) x的解为0 或 2018 |x| 1 ,即 2018 |x| 2019 或2018 |x| 2019 无解，由 | 2017 得Xo1, 3,5丄因 f 2018Xo1,1，当Xo1, 3丄,2015 时，2018X。2,f 2018X02018X成立；当X02017, 2019 时，f 2018X02018X0当 X02021,2023,L时,2018X03, f 2018X02018X0；综上知，满足题意的x01, 3,L , 2015 时，共 2016个.题序1314

14、1516答案2(,31 4+2-9解析（16）显然EF PF PE PF PE 1，即EF的最小值为1，仅当P、E、F 共9 / 13EPF 120o，即直线PF的斜率为(取,3也可)，联立S1S PEF二12、32339 .三、解答题(17)解：(I)由已知及cos(B C)cos A ,线且点E在P、F之间时取等号，此时E PF FPE1，y y；34： 1，可得哙爭，故得.3 sin A cos A即 2sin(A得 sin(A -)(n)由已知及正弦定理得8a 8,7由余弦定理a2b2c22bccosA ,得 49 (b c)2 2bc bc 64 bc,解得bc 15,101 15亦

15、 ABC的面积为一bcsin A :.2 4/ E、F分别是AC、BC的中点,(18)解：(I) EF/AB,12在正三角形PAC 中，PE 丄AC,又平面 PAC丄平面 ABC，平面 PAC门平面ABC=AC, PE丄平面ABC, PE 丄 AB,又 PD 丄 AB, PE QPD=P, AB丄平面PED ,又 EF/AB , EF 丄平面 PED ,又EF 平面PEF，平面PEF丄平面PED.(n)解法 1 : V平面 PAC丄平面 ABC，平面PAC n平面 ABC=AC, BE丄AC , BE丄平面PAC ,以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标

16、系如图示，则 E(0,0,0), A(1,0,0), B(0 3,0), P(0,0 3)，- uuuuuu一 uuu-EB(0,3,0), PA(1,0,3), AB( 1, 3,0),it设m (a,b,c),为平面PAB的一个法向量，LT uuu LT uuu 则由m AB, m AP得a 3C 0，令 c 1，得 aa 、3b 0即 m (.3,1,1),设二面角E PA D的大小为，则 cosir uuum EB-u_uuuur|m|EB|355.35sin . 1 cos2即二面角E PAD的正弦值为【解法2 :由（I）知 EF丄平面PED , EF 丄 ED,以点E为坐标原点，E

17、D所在的直线为/ AE=1，/ EAD=60 , AD=又PE3, D (仝2,0,0), A(uujrV31厂uur则AP(，丄3)(,AD建立空间直角坐标系如图示,PAC丄平面 ABC，平面平面2 2于,0),B(于,|,0),P(0,0,. 3),分】12x轴，EF所在的直线为B1 uuu(0，,0), EB2(于3 ),PAC 门平面 ABC=AC, BE 丄 AC ,uuu BE丄平面PAE，故EB3,0）为平面PAE的法向量,2uuuAP得irirumr ur设m （a,b,c）,为平面PAD的一个法向量，则由 m AD,m揭阳市2018届高中毕业班高考第一次模拟考试(理数)13

18、/ 1331 .a b2 2“ 023c 0，令c1 得 a 2，故 m (2,0,1),10 分设二面角E PA D的大小为 ，则cosir uunm EB-tr_tuikfi|m|EB|3、5.5.35sin 一 1 cos22、. 55即二面角E PA D的正弦值为亠5512 分】8 分CFGE-B【解法3:二面角E PA D即二面角C-PA-B，在平面PAB内过点B作BG PA于G,连结GE,平面 PAC丄平面 ABC，平面 PAC门平面 ABC=AC, BE丄AC , BE丄平面 PAC,. BE PA,又 BG PA, BEI BG B, PA 平面 BEG , PA 丄 GE,/

19、 EGB为二面角C-PA-B的平面角,/ BE.3 ,GE AEsin603 ,2BGBE2 GE2、15,sin2EGBBEBG2511 分即二面角E2应PA D的正弦值为55(19)解：(I)依题意得y1900,X 19, (x N )250x 2850,x 19,12 分】3 分(n) ( i)由条形图知,P(n16)0.06, P(n 17)0.16, P(n 18)0.24 , P(n 19)0.24 ,故 P(n 18)P(n 16) P(n 17) P(n 18)0.46 ,5 分P(n 19) P(n 18) P(n 19)0.46 0.240.70 , 6 分由上可知，需更换

20、的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故n的最小值为19.7 分(ii) n取19或20,即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为y1元和y2元，贝V y1的可能取值为：1900,2150,2400.且 P(y1 1900) 0.7,P(y1 2150) 0.2, P(y1 2400) 0.1 ,故Ey11900 0.7 2150 0.22400 0.12000(元)9 分y2的可能取值为：2000,2250.且 P(y22000)0.9, P(y22250)0.1,故 Ey22000 0.9 2250 0.12025

21、 (元)11 分Ey1 Ey2，所以购买1台机器的同时应购买 19个易损零件. 12 分(20)解:()设 A片，y1，依题意得点 C X1, y ,1 分11则 SPac -|OP|2|X1| -|X1|2 分222x点 A 在椭圆 T : +y21 上， |x1 | 2 , 3 分41- S PAC|X1 | 1 (当且仅当x,2时等号成立)2 PAC面积的最大值为 1.4分1(n)证法1 ：当直线AP的斜率存在时，设其方程为 y kx ,22XA2y1由4，消去 y，得 1+4k2 x2 4kx 3 0 ,1ykx2X1X24k设B x2, y2，由韦达定理，得1 4k2LdLumruu

22、u1而由AP mPB，得 治，y12m X2,y2，故X-|2mx2 , x22X1m揭阳市2018届高中毕业班高考第一次模拟考试（理数）17 / 13代入、，得两式相除，得kx-i12X1m4x1-4kJ L L L L L Lm1+4 k2yL L L L L L L L 1+4k2，代入，整理得9m2230m 4x-| +90 ；C重合于点（0.-1），D、A 重合,uuu 由APmu uur uuu1mPB , CP nPD，得 m ,n 3,这时 m n310 ；311对于射线CP，同样的方法可得 9n230n 4x；+9故m, n是方程9x230x 4x； +90的两个根,1010

23、由韦达定理， m n ；3当直线AP的斜率不存在时，点 A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0,1）时,10若点A为椭圆T的下顶点（0,-1），同理可得 m n 10 ；3综上可知m10n为定值，该值为 一312【证法2:当直线AP的斜率存在时，这时点 A不在y轴上，即X1M0设其方程为y2Xkx 1 由 42 yy2 1，消去 y，得 1+4k2 x2 4kx 3 0 ,B X2,y2 ，由韦达定理，得X1X232 ，1 4k2y112，代入上式得X23x1X12X14(y1uuuAPmumPB，得1X， 2y1X2, y2-，故 X| mx2 ,2X12X14(y1X29 分2 1 2

24、2 1 2 (XJ2 4( % -)2 为4(% -)2对于射线CP，同样的方法可得 n332 22(Xi4yi ) 2 103310 分当直线AP的斜率不存在时，点 A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0,1 ）时，则B、C重合于点（0.-1),D、A重合,uuu 由APmu mPBuuu uuu,CP nPD，得1m , n 3,这时 m n311若点A为椭圆10T的下顶点（0,-1），同理可得 m n 10 ；3综上可知m10n为定值，该值为 一312分】(21)解:若a 0，显然f x若2e a0，当X若a 2e,e eX axax e,2eX axe,x 1x 1,a,2eX a,

25、0恒成立,1时，fa 0,当上单调递增;1 时，f X2eX a 0,1上单调递减，在1 时，f X1,上单调递增;当X1时，由2eXa0，得 1 xIna由 2eX a 0，得 x Ina22故fX在,lna上单调递减,在Ina ,上单调递增；-6 分22（n）证法1: Vae,故f 1 a e0 ,结合fX的单调性知，f X的两个零点X1和X2满足ax-! e 0 以及 2eX2ax2e 0,且 X|1X2,-7 分-ae 2eX2,X1eex2于是Xt2ex2-8 分于是Xc?X2a 2e2 e2e2 eex2令 gX /，( X 1)则h xx exex 0, h x 在(1,）上单调递减，h x h 10，故gx 0,即函数g x在（1,）上单调递减，g x g 11 , x-|x21,-11分又f x在（-,1）上单调递减，二 f x1x2a e12分【证法2: Ta e，故 f 1 a e0，结合f x的单调