材料力学--内部习题集及答案

1、精选第二章轴向拉伸和压缩F =4KN，试求此杆的:2-1 一圆截面直杆，其直径 d = 20mm,长L=40m, 的上端固定，下端作用有拉力最大正应力；最大线应变；最大切应力；材料的弹性模量 E=200GPa，容重尸80kN/m 3,杆下端处横截面的位移解：首先作直杆的轴力图最大的轴向拉力为F N,max8010320.0240 4000 5004.8N故最大正应力为:maxFN,maxAFN,max4 FN,max4 5004.823.14 0.0215.94MPa最大线应变为：maxmax4615.94 10200 1090.797104当( 为杆内斜截面与横截面的夹角)45时,max吧

2、7.97MPa2取A点为x轴起点，FnVx Fd2x4(25.12x 4000)N故下端处横截面的位移为：L电dxL 25.12x 4000dx (12.56x2 4000x) 00 2.87mm0 EA0EAEA2-2试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长 L。已知杆横截面面积为 A，长度为L,材料的容重为 。图B-解：距离A为x处的轴力为Fn (x) Ax所以总伸长L :甌L Ax , dx 0 EA2-3图示结构，已知两杆的横截面面积均为EA dx载F作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为的大小。L12EA=200mm2材料的弹性模量E=200GPa。在结点A处受荷5= 4X

3、 10 4，盘=2 X 10 4，试确定荷载P及其方位角9题2 - 3 图解：由胡克定律得1 1E200 109 4 10 4800105Pa9452 2E200 102 1040010 Pa相应杆上的轴力为叫N1in 30，os30 N2|s in 30：N2|cos30】P|si npIcosN11|AN22|A1016KNN1Jn18KN2取A节点为研究对象，由力的平衡方程得解上述方程组得10.89P 21.17KN2-4图示杆受轴向荷载F1、F2作用，且F1= F2= F,已知杆的横截面面积为 A，材料的应力应变关系 为5= c启，其中c n为由试验测定的常数

4、。(1) 试计算杆的总伸长；(2) 如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？(3) 当n= 1时，上述两解答是否相同？由此可得什么结论？(a)(b)(c)FFn 图|+T-|Ffn 图 mn+mwi解：（1）轴力图如图（a）所示。根据 c n11II12F n2nFnac Anl1 J匕 rI2Fn acAAn（2）采用叠加法。单独作用F1时，轴力图如图（b）所示。I1/F、nI1单独作用F2时，轴力图如图（C）所示。nI2I2FnacAFn2acA(3)当3acFnATn=1时，上述两解答相同。结论：只有当2-5试求图示构架点C的铅垂位移和水平位移,与成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。

5、已知两根杆的抗拉刚度均为EAoFcdCCCd(c)题2 - 5 图解:取C点分析受力情况，如图（b）所示，得FcdF,Fbc 0因此只有CD杆有伸长FLCDEA变形几何图如图（c）所示，得 XFLEA2-6刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮G、H。已知钢丝的E= 210GPa,绳横截面面积A = 100mm2，荷载F = 20KN，试求C点的铅垂位移（不计绳与滑轮间的摩擦）世A_P GBCDFlm (b)，解：首先要求绳的内力T。刚性梁ABCD的受力分析如图由平衡方程:解得:KN7绳的原长L绳的伸长量为L企EA808m10396210 10 100 1034.35 10

6、m 在 F 作劉AG PB丿HlCD1用下结构变形如图（C）,J4-C可得:3LbLdL 4.35 10 m (1)再由三角几何关系得：AB 5 LdAD 9由(1)、(2)式联立可得：3Lb 1.55 10 m又因为:LbAB5LcAC8所以，Lc32.49 10 m 2.49mmdi=20mm，Ei=200GPa ;杆 BD 为铜质2-7图示结构中AB杆为刚性杆，杆AC为钢质圆截面杆，直径圆截面杆，直径d2= 25mm, E2=100GPa，试求:(1)外力F作用在何处(x=?)时AB梁保持水平?(2)如此时F = 30kN，则两拉杆横截面上的正应力各为多少? 解：(1).容易求得AC杆、

7、BD杆的轴力分别为F N12rx 匚xF -F,F N222从而AC杆、BD杆的伸长量F N 1丨14F1 14FI1 I x122E1AEd 1Ed丨FN 2丨 24 FN 21 24FI2X222E2AE2d2E2d2l若要AB梁保持水平，则两杆伸长量应相等，即hI2 .4 FI2x2Ezdzl4Fl1 l x于是,2Ed丨21囲2丨2 2hE2d2I 2 E1d1921.5 100 100.025292921.5 100 100.0251 200 100.0201.08m.当F 30kN, x 1.08m时，两拉杆横截面上的正应力分别为2 x F -22d132 30 10 2 1.08

8、23.14 0.0244MPa2-8截面面积(1)xF -22-d230310 1.08MPa23.14 0.0254图示五根杆的铰接结构，沿其对角线A = 500mm2， L = 1m，试求：AC之间的相对位移Aac，若将两力F改至BD点，贝U BDAC方向作用两力F = 20 kN，各杆弹性模量 E=200GPa，横点之间的相对位移Abd又如何?解：（1）取A节点为研究对象，受力分析如图（b）(a)由平衡方程:Fay0, F sin 450, F cos45Fab 0F AD 0(b)得Fab Fad尹同理，可得：F cdF cb 10 显 2kNB节点受力分析如图（c）10 2kNFx

9、0，Fbd 汕 20kNcos45AB , BC , CD , DA四杆材料相同，受力大小相同,可求得整个杆件应变能为：2Fbd2LBD 6.82J所以四个杆的应 变能相同,F 2AB4 -2EA2EA(c)题2 - 8图力F作的功为:所以BD从而BD2-9由弹性体的功能原理得:If2ACac 6.826.82 2202当两力103 02mmF移至B.D两点时，可知，只有 BD杆受力，轴力为F2f2l2EA2FL960.283mmEA 200 10500 10已知三根杆 AF、CD、CE的横截面面积均为 A=200mm2,2 20 103图示结构，上的应力及荷载作用点 B的竖向位移。E=200

10、GPa,试求每根杆横截面故Fx0 ,即FNDFnE ,Fy0,即FFna 2Fnd Sin30 0 ,于是得FF NAF ND ，Ma0，即3 2Fnd sin30 6F 0，于是Fnd2F 21020KN，解得：F NE20KN，F NA10KN所有构件的应变能为10030 460 202FaFb010 16020 2 3604 304 68Fb 0FsS*Fs 1h212 70103maxb0.7MPa1MPaIzbIzb 240.5 80.3由功能原理得，F作的功在数值上等于该结构的应变能1即：一F b V2所以2V2 42.53-10 108.5mm.2-10图示结构，已知四根杆 AC

11、、CB、AD、BD的长度均为a抗拉刚度均为EA,试求各杆轴力，并求下 端B点的位移。(b)解：（1）以B结点为研究对象,由Fx0受力图如图（a）所示得 F3F4(d)得 F3F4以刚性杆为研究对象，受力图如图（b）所示由Fx0得 FiF2由Fy0得 FiF2=- F由于1, 2杆的伸长变形，引起 CD刚性杆以及B结点的下降（如图（C）Bi2li 2l2 2EA 害由于3，4杆的伸长引起B点的继续下降（如图（d)IB22 I3则 Ib IB2Ea厂2Fa2EAFaEAIB24 FaEA290N 的2-11重G=500N,边长为a=400mm的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。已知此麻绳在 拉

12、力作用下将被拉断（1）如麻绳长为1.7m时，试问此时绳是否会拉断？（2）如改变a角使麻绳不断，则麻绳的长度至少应为多少？解：（1）取整体作为研究对象，经分析得本受力体系为对称体系.由于箱子重G=500N,由竖直方向的受力平衡可知，每根绳子竖直方向受力为F=250N.精选2902答：(1)N=417N(2)L=1.988m即 F cos 250而cos(J2(0：)2170.972则 F257N290N0.972于是,此时绳子不会被拉断(2)绳子被拉断时Fu cos 250其中Fu 290N则cos2500.862(024)解得：L 0.789m精选解：如图所示，取整体为研究对象，对 A点取钜，

13、由Ma 0得:题2 -11 图2-12图示结构，BC为刚性杆，长度为L, 且6=2 a，荷载可沿梁BC移动，其移动范围 大,题2 - 12 图杆1、2的横截面面积均为 A,其容许应力分别为a和a,0 520 0得Fa15kN2、列剪力、弯矩方程CA段:Fs(x)5M(x)5x(0x 1)AD段:Fs(x)10M (x)10x15(1 xAFa1m1m2mFb(b)DB 段：Fs(x)10x 30M (x)25x 30x 40(2 x 4)3、作剪力、弯矩图(c)1、计算支反力由平衡方程:Ma 0 即 Maqa2qaqa3a2qa 2a5qa2Ma2M= 2|a q qP=qaY 0 即 Faq

14、aqaqa得Faqa2、列剪力、弯矩方程FaAB段:Fs(x) qx qaBC 段:Fs(x)qx 3qa2qxqax22M(x)坐2M(x)5qa23qax3、作剪力、弯矩图2qaqa. iii Iqafs 图jMLMUmBMLW(d)1、计算支反力(c)由平衡方程:Ma0 即 FB 3a qa 3a qa20得Fb5qa6(04qa2Y 0 即 Fa Fb qa得Faqa62、列剪力、弯矩方程AC 段:Fs(x)qa6M(x)qax6(0 x a)CD段:Fs(x)qx7qa6M(x)DB 段:5qa6作剪力、弯矩图Fs(x)M(x)65qa5qa2x2(e) 1、计算支反力由平衡方程:M

15、e 0 即 Meqaaqa a2qa 0得M22Y 0 即 Feqaqa0得Fe2qa3、2、列剪力、弯矩方程AB 段：FS(x)0M(x)qa2(0x a)x a)(a x 2a)qa6Fs 图(2！ qa(c)5qaPqa25qa26+|i (d)62 qa2(2a2qa(a x3a)(d)2 a)A1 .Bha%qaqFc(e)MeBC 段：Fs(x)qx2M(x)答2qa(ax 2a)3、作剪力、弯矩图0.51Fs图mniip+nniimw qaqa川川川 lll-llll2qaqa2.d-(f) 1、计算支反力(e)由平衡方程:Ma0即Fb4.52.5 1.2得Fb即Fa得Fa0.5

16、1kNFs图(kN)M图(kN 0.51kN2 16 368(f)CA 段:Fs(x)0M(x)1.2x(0 x1.8)AD 段:Fs(x)0.51M(x)0.69x0.92(1.8 x 4)DB段：Fs(x)0.51M(x)0.51x3.22(4 x 6.3)列剪力、弯矩方程2、3、作剪力、弯矩图4-3已知简支梁的剪力图如图所示，试作此梁的弯矩图和荷载图 梁内若有集中力偶，则作用在右端。円1kN1Fs2kN2kN(a)解：依据剪力与弯矩的微分关系作图10M 图 一一0.17M 图，|川-1(kN-m ) H|lll0.5(kN川 l + IIW 2.57荷载图q=3kN/m(a)(b)4-4

17、已知简支梁的弯矩图如图所示，试作此梁的剪力图和荷载图精选2解:解:M(c)L/3L 1 +FL/3L/3依据剪力与弯矩的微分关系作图FFs图Fs图qL+J|l|荷载图一 qL2F 1荷载图jL FLy. _jr(a)Fs图F TT + IIFTT+(b)1荷载图(c)4-5试作图示简单刚架的内力图。qa(a)(b)(c)(d)q(a) 1、计算支反力由平衡方程:Ma即Maqaqa即Faxqa即FAyqa2、列内力方程q0 得Ma得 Fax qa得 FAyqa2qa精选AB段：Fn(x)qaFs(x)qaBC段：Fn (xi )qaFs(x)qx3、作内力图M(x)M(xi)qax2qxi2 q

18、a 2(0 x a)(0 Xi a)qaqaFs图2(b) 1、计算支反力由平衡方程得Fax 2qaFAyqaM a 3qa2、列内力方程AB段:Fn (x)qaFs(x)qx2qaM(x)BC 段:3、Fn (xi)0作内力图Fs(x) qaM(x)qax2qx2(02qax 3qa2(0 x 2a)(c) 1、计算支反力AB段：匚M卜N2aBC段：Fn (x)0CD 段:F N (x1 )M2a3、作内力图列内力方程2、FS 0MFs(x)qaFs图x a)由平衡方程得FaM2aF S (xi)0Fn图M2aM2aM (x)x2a0M(x) “MM2aFs图(0x2a)(0xa)(ax2

19、a)MMM图（d）1、计算支反力2、列内力方程AB段：Fn(x)BC段：Fn (xi)CD 段:F N ( x2 )3、作内力图qa3qaqa2qa解:由平衡方程得Fax qaFs(x)qaFsX)FS (X2)4-6试作图示梁的内力图。qxqa03qa2(0(a3qaFAy3qaFqa厂Dy22M (x)qax(0 x2a)M(xJ2qN23qax122qa2a)qax?2qaX2x2 2a)(a(0(0X2Xi 2a)X2 a)2a)2qa22qa22qaqaqa2Fs图q(a)(b)qL题4-6FeaBFa. Jjiil|+|ini，,rqL2 (L- 2a)2古2 2qL (L 2a)

20、28 (L a)2令时，最大弯矩值最小,解得 a 0.293L 或 a 1.707L (舍去)4-12独轮车过跳板,如跳板的支座A是固定铰支座，试从最大弯矩考虑，支座B放在什么位置时，跳板的受力最合理?题 4 - 12|FFa5CLJF/2IIL+-：1F/2F BFaFsFFxrrTTmTrTnrlTnTHT T 啓ilkF位于AB中点C或者位于跳板的右端点 D时，会在跳板上产生最大的弯矩。F( L)/4当F位于C处时：Fy 0所以FaF:B0又Ma0所以FL xFb (L2x) 0所以FaFB f此时弯矩图如图（b）所示。当F位于D处时：Fy0所以FaFb F 0MA 0所以Fb(Lx)

21、F L 0解：如图（a）所示，当精选得FbFLUx因此FaF FbFxUx此时弯矩图如图(c)所示最合理时MmaxlMmax2 ,即 FXF(L x)4得x舟，因此当x +时最合理4-13开口圆环，其受力如图所示，已知环厚为1-1上的弯矩。h (垂直于纸面)，p为均匀压强，试求此环在任意截面0，解：如图，在任意截面1-1处,在1-1截面与开口之间取一小段长为Rd ，宽为h，则所受合力F pdS phRd2对截面1-1处的弯矩为 mFRsinphR sin d所以对整段环的合弯矩为M 0 phR sin d phR (1 cos )4-14如图所示，已知bx h的矩形截面杆，其弹性模量为E,承受三角形分布载荷P (x)，其方向与x轴夹角为 ，试导岀杆的内力与载荷的微分关系。x处的横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为Fn(x)、Fs(x)解：取坐标为x和dx处的两横截面，设坐标为m n dxL题4 - 14 图和M(x)。该处的荷载集度为q(x)，则在坐标为x dx处 横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为Fn(x) d