电工基础 第9章 动态电路的时域分析

1、第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 第第9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.1 换路定律与初始值换路定律与初始值 9.2 一阶电路的响应一阶电路的响应 9.3 一阶电路的三要素法一阶电路的三要素法 9.4 一阶电路的阶跃函数与阶跃响应一阶电路的阶跃函数与阶跃响应 9.5 二阶动态电路的分析二阶动态电路的分析 习题习题9 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.1 换路定律与初始值换路定律与初始值 引起过渡过程的电路变化叫换路。 为了表示简化 起见， 通常认为换路是在瞬间完成的， 若把换路瞬间 作为计时起点， 即t0， 那么换路前的终了时刻记为

2、t=0-， 换路后的初始时刻记为t=0+， 换路经历的时间为 00。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.1.1 换路定律 1. 具有电容元件的电路 对于线性电容元件， 在任意时刻t， 设q、 uc和ic 分别为电容上的电荷、 电压和电流， 且电流由电容的 正极板指向负极板， 电压与电流是关联方向。 由 得 dt dq ic dtitqtq dtidtidtitq c t t c t t c t c t 0 0 0 )()( )( 0 （9-1） 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 由 得 dt du ci c c dti c tutu dti c dt

3、i c dti c tu c t t cc c t t c t c t c 0 0 0 1 )()( 111 )( 0 （9-2） 令t0=0-， t=0+， 代入式（9-1）和式（9-2）得 dti c uu dtiqq ccc c 0 _0 0 _0 1 )0()0( _)0()0( （9-3） （9-4） 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 如果在换路瞬间， 即0到0瞬间， 电流ic(t)为有 限值， 则式（9-3）和式（9-4）中积分项 ， 此时电容上的电荷和电压不发生跃变， 即 0 0 _0 dtic q(0+)=q(0-) （9-5） uc(0+)=uc(0-)

4、（9-6） 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 由此得出结论： 在换路后的一瞬间， 如果流入电容的电流保持为 有限值， 则电容上的电荷和电压应当保持换路前一瞬 间的原有值而不能跃变。 这就是具有电容元件的换路 定律。 对于一个换路前不带电荷（或电压）的电容来说， 在换路的一瞬间， uc(0+)=uc(0-)=0， 电容相当于短路； 而对于一个换路前携带电荷（或电压）的电容来说， 在换路的一瞬间， uc(0+)=uc(0-)=u0， 电容的电压不变, 相当于电压源。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 2. 具有电感元件的电路 对于线性电感元件， 在任意时刻t

5、， 设、 ul和il 分别为电感上的磁链、 电压和电流, 且电压和电流与磁 链的参考方向满足右手螺旋定则。 由 得 dt d ul dtutt dtudtudtut l t t l t t l t l t 0 0 0 )()( )( 0 （9-7） 即 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 由 得 dt di lu l l dtu l titi dtu l dtu l dtut l u l t t ll l t t l t l t l 0 0 0 1 )()( 111 0（9-8） 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 同样令t0=0-， t=0+， 代入式（9

6、-7）和式（9-8）得 dtu l ii dtu lll l 0 _0 0 _0 1 )0()0( )0()0( （9-9） （9-10） 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 如果在换路瞬间， 即00的瞬间， 电压ul为有 限值， 则式（9-9）和式（9-10）中积分项 ， 此时电感上磁链和电流不发生跃变， 即 0 0 _0 dtul (0+)=(0-) （9-11） il(0+)=il(0-) （9-12） 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 由此得出结论： 在换路后的一瞬间， 如果电感两端的电压保持为 有限值， 则电感中的磁链和电流应当保持换路前一瞬 间

7、的原有值而不能跃变。 这就是具有电感元件的换路 定律。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.1.2 初始值的计算 分析动态电路的过渡过程的方法之一是根据kcl、 kvl和支路的vcr建立描述电路的方程， 建立的方程 是以时间为自变量的线性常微分方程， 然后求解， 从 而得到电路的所求变量（电压或电流）。 此方法称为 经典法， 它是一种在时间域中进行的分析方法。 用经典法求解常微分方程时， 必须根据电路的初 始条件确定解答中的积分常数。 若在t=0时换路， 则 初始值就是指电路中的所求变量（电压或电流）在t=0+ 时刻的值。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域

8、分析 1.初始值的计算步骤 （1） 根据kcl、 kvl和vcr等电路定理及元件约 束关系计算换路前一瞬间的uc(0-)和il(0-)。 （2） 应用换路定律计算独立的初始值uc(0+)和 il(0+)。 （3） 再根据kcl、 kvl和vcr等电路定理及元 件约束关系计算换路后一瞬间的非独立初始值。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 2.应用举例 例9.1 如图9.1（a）所示的电路处于稳态， 当t0 时， 开关s断开， 求开关断开后的初始值i1(0+)、 i2(0+)、 ic(0+)及ul(0+)。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.1 例9

9、.1图 (a) 4 10 v i1 8 2 i2ic uc s a (b) 10 v i2 8 2 uc a (c) 10 v i1i2 8 2 4 ic uc a c 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 例9.2 如图9.2所示的电路， 已知us10 v， r16 ， r24 ， l2 mh， 求当开关s闭合后, t=0+时各支路电流及电感电压的初始值（开关s闭合前 电路处于稳态）。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.2 例9.2图 us i1 r1 l ul il a b s r2 i2i3 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析

10、例9.3 试计算图9.3（a）所示电路中各支路电流及 动态元件电压的初始值， 设换路前电路处于稳态。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 u 8 v i r 2 r1 4 i1 s (t0) ic r2 4 c uc r3 4 il l ul (a) u i r r1 i1 ic uc il (b) r2r3 u i r r1 icil (c) r2r3 uc ul s 图 9.3 例9.3图 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 【思考与练习题】 1. 总结一下， 电感和电容在直流稳态、 交流稳态 及动态电路中的工作状态。 2. 什么叫独立初始值， 什么叫非

11、独立初始值， 为 什么说电容上端电压和电感上的电流是独立初始值。 3. 在图9.4所示电路中， 试求开关s断开后的uc(0+)、 ic(0+)及ul(0+)和il(0+)（已知s断开前电路处于稳态）。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.4 题3图 2 (a) 8 v ic uc 4 s(t0) 2 (b) 8 v il ul 4 s(t0) 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 4. 在图9.5所示电路中， 已知电感线圈的内阻 r2 ， 电压表的内阻为2.5 k， 电源电压us4 v， 其串联电阻r018 。 试求开关s断开瞬间电压表两端 的电压（换

12、路前电路处于稳态）, 并说明， 这样做电压 表是否安全？要想安全断电， 应怎样处理。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.5 题4图 us v r0 r l s(t0) 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.2 一阶电路的响应一阶电路的响应 若一个电路中的独立电源不作用（电压源短路， 电流源开路）， 而最终可以化简成为一个rc回路或rl 回路， 对于这样的电路， 电压和电流的关系满足一阶 微分方程， 我们把这样的电路叫一阶动态电路， 简称 一阶电路。 对于一阶电路， 回路上的响应又可分为零 输入响应、 零状态响应和全响应。 这些响应都遵循固 定的规律

13、， 这一节我们将一一介绍。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.2.1 一阶电路的零输入响应 在换路后， 若电源对动态元件所在回路输入为零， 则动态元件所在回路的响应叫零输入响应。 1. rc串联电路的零输入响应 如图9.6所示的电路在换路前处于稳态， 在t0时， 开关s由1点置于2点, 这时电容c储存电场能量， 电阻r 与电容c构成串联电路。 电阻r吸收电能， 即电容c通 过电阻r放电， 回路中的响应属于零输入响应。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.6 rc零输入响应 u0 s(t0) 12 ucc r ur i 第第9 9章章 动态电路的时

14、域分析动态电路的时域分析 换路后， 根据kvl可得 uc-ri=0 而i=-c duc/dt代入上述方程得 0 c c u dt du rc 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 这是一个一阶常系数齐次微分方程。 令此方程的 通解为uc=aept， 代入上式得 (rcp+1)aept=0 相应的特征方程为 rcp+1=0 其特征方程的根为 rc p 1 代入uc=aept得 t rc c eu 1 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 由如图9.6所示的电路可得uc(0-)=u0， 由于电容上 电压不能跃变， 电压uc的初始值uc(0+)=uc(0-)=u0,

15、代入 uc=ae-(1/rc)t中得 0 0 /0 )0( )0( uua uaeu c rc c 即 这样， 求得满足初始值的微分方程的解为 t rc t rc cc eueuu 1 0 1 )0( （9-13） 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 这就是电容在零输入电路中的电压表达式。 电路中的电流 t rc t rc c e rc cu dt eud c dt du ci 1 0 1 0 1)( 即 t rc cr t rc euuu e r u i 1 0 1 0 电阻上的电压 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 由uc、 ur和i的表达式可以看出，

16、 它们都按照同样 的指数规律衰减, 其衰减的快慢取决于指数中的1/rc的 大小。 若电阻r的单位为， 电容c的单位为f， 则rc 的单位为s。 而式rc只与电路结构和电路参数有关， 一旦电路 确定下来， rc就为一个常数。 令=rc， 称为rc串 联电路的时间常数。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 引入后， 电容电压uc和电流i可以分别表示为 t tt cc e r u i eueuu 1 0 1 0 1 )0( 时间常数反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 因此， 它是一阶电路的一个非常重要的参数。 当t0时， uc=u0e0=u0; 当t=时， uc=u0e-1=0.3

17、68u0。 表9-1列出了t取不同值时， 电容电压uc的值。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 表9-1 电容电压与时间关系表 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 在理论上， 需要经过无限长的时间， 电容的电压 uc才衰减到零， 电容放电结束。 但从表9-1可以看出， 当t=3或t=5时， 电容的电压已经衰减到原来电压的 5%或0.7%, 因此在工程上一般认为换路后， 经过35 的时间就可以认为过渡过程基本结束了。 图9.7给出了 uc和i随时间变化的曲线。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.7 uc和i随时间变化的衰减曲线 0

18、 (a) 2 0.368u0 u0 i t (b) uc , ur 0t r u0 r u0 368. 0 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.8 的几何意义 0t bc a u0 uc 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 时间常数也可以从uc或i的衰减曲线上用几何法求 得。 如图9.8所示, a为曲线上任意一点， ac为过a点 的切线。 由图可知 0 0 00 00 1 | )( tan t t tt c c eu eu dt du tuab bc 对于时间常数=rc， 理论计算时可以扩展。 其中电容 c可扩展到多个电容串、 并联的等效电容。 电阻r

19、可以 看成是电路中所有电源都不作用， 从电容c两端等效的 等效电阻。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 例9.4 试求图9.9所示电路的时间常数。 已知 c1=c2=c3=300 f， r1400 ， r2600 ， r3260 。 图 9.9 例9.4图 (a) us s (t0) r1r3 c1 r2c2c3 (b) r3 r1cr2 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 解 换路后等效电路 f ccc ccc c200 )300300(300 )300300(300 )( )( 321 321 若电路中电源不作用， 图9.9（a）可等效成图9.9（b）

20、， 从c两端等效的等效电阻 500 600400 600400 260 21 21 3 rr rr rr 时间常数 =rc=50020010-6=0.1 s 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 在rc串联零输入整个过渡过程中， 电容储存的电 场能量将全部被电阻消耗， 直到电容的端电压为零。 这时电容的储能为零， 电路上电流为零， 电阻不再耗 能， 电路进入新的稳定状态， 即 2 0 0 2 2 0 2 0 2 0 2 1 0 0 2 0 2 1 | )( 2 1 cu ecudte r u rdte r u rdtiw t rc t rc t rc r 第第9 9章章 动态电

21、路的时域分析动态电路的时域分析 图9.10 例9.5图 s(t0) u0 uc c r1 i r2r3 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 例9.5 图9.10所示电路中， u010 v， c10 f， r110 k， r2r320 k， 在t0时, 开关s闭合。 试求 （1） 放电时的最大电流； （2） 时间常数； （3） uc(t)。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 解 （1） 根据换路定律得 uc(0+)=uc(0-)=u0=10 v 当t=0+时, 电容端电压最大， 故放电电流也最大， 从电容两端等效的等效电阻 ma r u i k rr rr

22、rr 5 . 0 20 10 20 2020 2020 10 0 max 32 32 1 (2） =rc=201031010-6=0.2 s （3） veeeutu t tt c 5 2 . 0 0 1010)( 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 2. rl串联电路的零输入响应 如图9.11所示电路， 开关s闭合时电路处于稳态， 电感上的电流il(0-)=u0/r0， 设i0=il(0-)。 在t0时， 开 关s打开， 电阻r与电感l组成串联回路， 且电源输入 为零， 因此， 电路的响应属于rl串联电路的零输入响 应。 当t0时， ur+ul=0 将ur=-ril， ul=

23、-l dil/dt， 代入上式得 0 l l ri dt di l 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.11 rl零输入响应 s(t0) u0 r il r0 ur l ul 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 这是一个一阶常系数齐次微分方程。 令il=aept， 代入上式得特征方程 lpaept+raept=0 即 lp+r=0 其特征根为p=-r/l， 将其代入il=aept中得 t l r l aei 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 根据il(0+)=il(0-)=i0， 代入上式得 0 0 )0( )0( iia aei

24、l l r l 故 t l r t l r ll eieii 0 )0(（9-14） 由此得电阻电压 t l r l l t l r lr eri dt di lu eririu 0 0 电感电压 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 与rc电路类似， 令=l/r， 若电感l的单位为h， 电阻r的单位为， 则的单位为s。 它是一个只与电 路结构和电路参数有关的物理量， 因此， 我们把叫 做rl串联电路的时间常数。 代入上述各式得 t l t r t l eriu eriu eii 0 0 0 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 有关rl串联电路的物理意义与rc

25、串联电路的完全 相同， 这里不再赘述。 图9.12给出了il、 ur和ul随时 间变化的曲线。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.12 rl电路的零输入响应曲线 0 i0 ri0 il ul ur ri0 t il , ur , ul 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.2.2 一阶电路的零状态响应 动态元件初始储能为零， 叫零初始状态。 电路在 零初始状态下， 由外加激励引起的响应叫零状态响应。 1. rc串联电路的零状态响应 如图9.13所示的电路中， 在tu0电容充电； (b) usu0电容放电； (c) us=u0电容稳态 0t i 0

26、us u0 uc ur us u0 u0 uc t ur i ur , uc , i ur , uc , i 0 (b)(a) u0 uc i ur us u0 us ur , uc , i t r uu 0s (c) r uu 0s 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 例9.7 如图9.21（a）所示的电路中， 已知 us20 v， r1r21 k， c2 f。 当开关s打开时 电路处于稳态， 在t0时， 开关s闭合。 试求开关s闭 合后， uc和ic的表达式， 并画出其曲线图。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.21 例9.7图 (a) us

27、r1r2 s(t0)c ic uc (b) r1r2 sc c i c u (c) us r1r2 cs c i c u 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.22 例9.7的uc , ic曲线 0 10 v 20 v 20 ma ic uc uc , ic t 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 【思考与练习题】 1. 已知图9.23所示的电路在换路前处于稳态， 试 判断换路后各电路的响应属于零输入响应、 零状态响 应还是全响应？ 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.23 题1图 (a) r1 us s c r2 (b) r

28、1 us s c r2 (c) r1 us s c r2 (d) r1 us s c r2 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 2. 试写出上述四个电路的电容c上的电压表达式。 3. 若图9.23各图中的电容c分别用电感l代替， 试 重新判断各电路在换路后的响应类型，并写出电感上 的电流表达式。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.3 一阶电路的三要素法一阶电路的三要素法 通过上一节的学习， 可以看出， 若电路中只有一 个存储元件， 这时根据kvl列出的方程为一阶微分方 程。 我们把这样的电路叫做一阶电路。 分析一阶电路 的过渡过程， 就是求微分方程的特

29、解（稳态分量）和 对应齐次微分方程的通解（暂态分量）的过程。 稳态 分量是电路在换路后达到新的稳态时的解； 暂态分量 的形式通常为ae-t/， 常数a由电路的初始条件来确定， 时间常数由电路的结构和参数来计算。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.24 rc串联电路 us r s cuc 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 一阶电路的过渡过程通常是电路变量由初始值向 新的稳态值过渡， 并且是按照指数规律逐渐趋向新的 稳态值。 指数曲线弯曲程度与反映趋向新稳态值的速 率与时间常数密切相关。 这样， 我们找出一种方法， 只要知道换路后的稳态值、 初始值和时

30、间常数这三个 要素就能直接写出一阶电路过渡过程的解， 这就是一 阶电路的三要素法。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 我们还是以rc串联电路为例， 如图9.24所示， 设 uc(0-)=u0， 开关s在t0时闭合。 由上一节推导知 t ssc euuuu )( 0 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 上式中的us为电路在换路后进入稳态时的电容电 压， 记为uc()。 u0为电路在换路前电容两端的电压， 根据uc(0+)=uc(0-)=u0， 可记为uc(0+)， 即为电容电压 的初始值。 这样， 电容电压就可以表示为 t cccc euuuu )()0()

31、( 也就是说， 电容电压是由初始值、 新稳态值和时间常 数决定的。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 同理， 可以推导出一阶电路的响应， 它们的形式 和电容电压的表示形式完全相同。 若用f(t)表示电路的 响应， f(0+)表示该量的初始值， f()表示该量的新稳 态值， 表示电路的时间常数， 则三要素表示法的通 式为 t effftf )()0()()( 当f()=0时， 上式f(t)=f(0+)e-t/， 此为零输入响应。 当f(0+)=0时， 上式f(t)=f()-f()e-t/, 此为零状态响应。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 例9.8 在图

32、9.25所示的电路中， us10 v， is2 a， r2 ， l4 h。 试求s闭合后电路中的电 流il。 图9.25 例9.8图 us r s(t0) l ilis 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 例9.9 如图9.26所示的电路中， 当t0时， 开关s 置于位置1； 当t=2 ms时， 开关s又置于位置2。 求两 个时间区间内的电流i(t)， 并画出i(t)的曲线。 图9.26 例9.9图 1 100 v 2 20 v s 100 0.2 h i 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.27 例9.9的i(t)曲线 02 0.2 0.632 t

33、/ ms i / a 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 例9.10 如图9.28（a）所示的电路中， t0时开关s 闭合， 已知uc(0+)=-2 v， is=1 a， r1=1 ， r2=2 ， c= f， 求电容电压uc。 6 1 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.28 例9.10图 (a) is r1u1 r2 0.5u1 s(t0) c uc (b) is r1u1 r2 0.5u1 u i c uc ro uoc (c) 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 例9.11 如图9.29（a）所示的电路为rl电路在正弦 激励

34、下的零状态响应情况， t0时开关s闭合， 正弦电 压源满足us=um sin(t+u)， u的取值由t0时电源电 压的值决定， 称为接入初相。 求电路中的电流i。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.29 例9.11图 (a) us r s(t0) (b) l i 0t i i i i 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 【思考与练习题】 1.试用三要素法写出图9.30所示电压曲线的表达 式uc。 图 9.30 题1图 0 36912 t / s 5 15 11.32 uc / v 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 2. 已知全响

35、应 。 试在同一坐标平 面下分别作出其稳态分量、 暂态分量、 零输入响应、 零状态响应和全响应曲线。 veu t c 10 1520 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.4 一阶电路的阶跃函数与阶跃响应一阶电路的阶跃函数与阶跃响应 9.4.1 单位阶跃函数 单位阶跃函数是一种奇异函数(见图9.31), 其数学 表达式为 0 _0 1 0 )( t t t 它在（0-, 0+）时域内发生了单位阶跃。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.31 单位阶跃函数 0t (t) 1 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 单位阶跃函数可以用来描述

36、1 v或1 a的直流电源 在t=0时接入电路的情况， 如图9.32所示。 对于图9.32(a)来说， 若开关s在t=0时闭合到“2”， 则一端口电路n的端口电压可写为 u(t)=(t) 对于图9.32(b)来说， 若开关s在t=0时闭合到“2”， 则一端口电路n的端口电流可写为 i(t)=(t) 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.32 单位阶跃电压与电流 n 1 2 s(t0) 1 vu(t) (a) n 1 2 s(t0) i(t) (b) 1 a 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 如果在t=0时接入电路的直流电源幅值为a， 则电 路受到的激励

37、可表示为a(t)， 其波形如图9.33(a)所示， 称为阶跃函数。 如果单位直流电源接入的瞬间为t0， 则可写为 0 0 0 1 0 )( tt tt tt 称其为适时阶跃函数， 其波形如图9.33(b)所示。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.33 阶跃函数和适时阶跃函数 0 a t a(t) (a) 0 (b) tt0 (t t0) 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 利用阶跃函数和适时阶跃函数可以方便地表示某 些信号。 图9.34(a)的矩形脉冲信号可看作是图9.34(b) 和图9.34(c)所示的两个阶跃信号之和， 即 f(t)=(t)-(

38、t-t0) 图9.35(a)的矩形信号可看作是图9.35(b)、 (c)和(d) 所示的三个阶跃信号之和， 即 f(t)=(t)-2(t-1)+(t-2) 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 0 1 t0t f (t) (a) 0 1 t (t) (b) 0 (t t0) t0 t (c) 1 图9.34 矩形脉冲信号 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 利用单位阶跃函数还可“起始”任意一个f(t)。 设 f(t)是对所有t都有定义的一个任意函数， 如图9.36(a)所 示， 若想使其在t0时为零， 则可乘以(t), 写为f(t)(t)， 波形如图9.36(

39、b)所示。 若要使其在tt0时为零， 则可 乘以(t-t0)， 写为f(t)(t-t0)， 波形如图9.36(c)所示。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.35 矩形信号 012 1 t f (t) (a) 0 1 (t) t (b) 2 01t 2 (t1 ) (c) 0 1 2t (t2 ) (d) 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.36 单位阶跃函数对任意信号f(t)的起始作用 0t f (t) (a) 0t f (t) (t) (b) t0 (c) t0 f (t) (t t0) 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分

40、析 9.4.2 阶跃响应 当激励为单位阶跃函数(t)时， 电路的零状态响应 称为单位阶跃响应， 简称阶跃响应， 用s(t)表示。 由 于单位阶跃函数作用于电路时， 相当于单位直流电源 接入电路， 因此求阶跃响应就是求单位直流电源（1 a 或1 v）接入电路时的零状态响应， 即有 (t)s(t) 根据线性电路的性质， 若激励扩大a倍， 则响应 也要扩大a倍， 即有 a(t)as(t) 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 若电路激励延时了t0时间接入， 那么， 其零状态 响应也延时t0时间， 即有 (t-t0)s(t-t0) 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析

41、图9.37 例9.12图 1 2 uc s us r c 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 例9.12 如图9.37所示的电路中， 开关s置在位置1 时， 电路已达到稳定状态。 t=0时， 开关由位置1置于 位置2， 在t=rc时， 又由位置2置于位置1。 求t0时 的电容电压uc(t)。 解 此题可用两种方法求解。 方法一： 将电路的工作过程分段求解。 在0t区间为rc电路的零状态响应， 则有 uc(0+)=uc(0-)=0 )1 ()( t sc eutu 其中， =rc。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 在t区间为rc电路的零输入响应， 则有 t

42、 sc s t scc eutu ueuuu 632. 0)( 632. 0)1 ()()( 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 方法二： 用阶跃函数表示激励， 求阶跃响应。 根据开关的动作， 电路的激励us(t)可以用图9.38(a) 所示的矩形脉冲表示， 按图9.38(b)可写为 us(t)=us(t)-us(t-) rc电路的单位阶跃响应为 )()1 ()(tets t 故 )(1 )()1 ()( )( teuteutu t s t sc 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 当0t时， (t)=1, (t-)=0, 代入上式得 )1 ()( t sc

43、 eutu 当t0时的电感电流il。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.5 二阶动态电路的分析二阶动态电路的分析 当电路包含两个独立的动态元件时， 描述电路的 方程是二阶线性常系数微分方程。 这时，给定的初始 条件有两个， 它们都是由储能元件的初始值决定的。 这一节我们将着重讨论典型的二阶电路rlc串联电 路的零输入响应。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.40 rlc放电电路 1 2 ul s(t0) r l ur uc i 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 如图9.40所示， 已知电容上原有电压为u0， 电感 上原有电流

44、为i0， 在t=0时， 开关s由1置于2点， 此电 路的放电过程就是二阶电路的零输入响应。 根据kvl可得 -uc+ur+ul=0 由于 ， 故 dt du ci c 2 2 dt ud lc dt di lu dt du rcriu c l c r （9-19） 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 把它们代入上式得 0 2 2 c cc u dt du rc dt ud lc（9-19） 式（9-19）是以uc为未知量的rlc串联电路放电过 程的微分方程。 这是一个线性常系数二阶齐次微分方 程。 求解这类方程时， 仍然先设uc=aept， 然后再确定 其中的p和a。 第第9

45、 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 将uc=aept代入式（9-19）， 得特征方程 lcp2+rcp+1=0 解出特征根为 lcl r l r p 1 22 2 根号前有两个符号， 所以p有两个值。 为了兼顾这两个 值， 电压uc可写成 tptp c eaeau 21 21 （9-20） 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 其中 lcl r l r p lcl r l r p 1 22 1 22 2 2 2 1 由上式可见， 特征根p1、 p2仅与电路参数和结构有关， 而与激励和初始值无关。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 由于uc(0+)

46、=uc(0-)=u0, 代入式（9-20）得 a1+a2=u0 又由于 ， i(0+)=i(0-)=i0， 因此有 dt du ci c c i dt du t c0 0 | 代入式（9-20）得 c i apap 0 2211 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 与上式联立解得a1、 a2。 若u00, i0=0， 即已充 电电容c通过r、 l放电情况。 这时， 可解得 12 02 2 12 02 1 pp up a pp up a 将a1、 a2代入式（9-20）， 就可求得rlc串联电路的零 输入响应的表达式。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 1.

47、 , 非振荡放电过程 当(r/2l)2-1/lc0， 即 时， 特征根 p1、 p2是两个不等的负实数， 电容上的电压为 crr/2 clr/2 )( )( 21 21 2121 12 0 12 12 0 tptp c tptp c eppepp pp u c dt du ci epep pp u u （9-21） 电流为 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 因为p1p2=1/lc， 代入上式得 )( )( )( 21 21 21 12 0 12 0 tptp l tptp epep pp u dt di lu ee ppl u i 电感电压为 （9-22） （9-23） 第

48、第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.41给出了uc, ul, i随时间t变化的曲线。 从图中 可以看出， uc0, i0, 表明电容在整个过程中一直释放 储存的电能。 我们把电容的这种放电过程称为非振荡 放电， 也称为过阻尼放电。 电流i从零增大， 达到最大值时再减小， 最后， 当t时， i0。 由图可以看出， 当ttm时， 电感释放能量， 磁场 逐渐衰减， 直到为零。 其中， 电流达到最大值的时刻 tm可由di/dt=0决定。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.41 非振荡放电过程中uc, ul, i的曲线 0t i uc ul tm uc ,

49、 ul , i 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 tm点正是电感电压过零点。 12 2 1 21 1 2 lnln pp p p t pp p p t mm 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 例9.13 如图9.42所示的电路中， 已知us=10 v， c=1 f, r=4 k, l=1 h， 开关s原来闭合在触点1处， 在t=0时， 开关s由触点1接至触点2处。 求（1） uc, ur, i和ul； （2） imax。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.42 例9.13图 12 ul s us r l ur uc i 第第9

50、9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 2. ， 振荡放电过程 当(r/2l)2-1/lc0， 即 时， 特征根 p1、 p2是一对共轭复数。 若令 clr/2 clr/2 j lcl r l r lcl r 2 2 2 2 1 2 2 1 , 2 则 于是有 p1=-+j, p2=-j 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 令 ， 即 , , 则 lc 1 2 0 22 0 arctan =0 cos, =0 sin p1=-0e-j, p2=-0ej 这样 )sin( 2 2 )( 00 )()( 00 )( 0 )( 0 0 12 12 0 11 te u j ee

51、 e u eeee j u epep pp u u t tjtj t tjjtjj tptp c 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 根据式（9-22）得电路电流 te l u i t sin 0 根据式（9-23）得电感电压 )sin( 00 te u u t l 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.43 欠阻尼振荡中uc, i, ul的波形图 0 i uc uc , i , ul ul 22t 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 在理想情况下， 如果电路中没有电阻， 即r=0， 则衰减常数及振荡角频率分别为 0 2 1 2 1 0

52、 2 lcl r lc l r 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 例9.14 在由l=40 h, c=250 pf, r=6 三个元件组 成的串联回路中， 试求其振荡放电时的振荡角频率和 衰减系数。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 3. ， 临界情况 当(r/2l)2-1/lc=0， 即 时， 特征根 p1=p2=-r/2l=-。在此情况下电容电压的通解为 uc(t)=(a1+a2t)e-t 电流为 clr/2 clr/2 t c eataac dt du cti )()( 221 将初始条件uc(0+)=u0, i(0+)=0, 代入得 a1=u0

53、a2=a1=u0 于是得 uc(t)=u0(1+t)e-t 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 由以上两式可以看出， uc的变化是从u0开始保持 正值， 逐渐衰减到零； i是从零开始保持正值， 最后 为零。 由di/dt=0可以求得i达到极值的时间 ttt te l u teu lc cteucti 0 00 2 1 )( r l t m 2 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 例9.15 在图9.40所示的电路中， 已知r=2 k， l=0.5 h,c=0.5 f, uc(0-)=2 v, il(0-)=0。 求uc, i的零输入 响应。 第第9 9章章

54、动态电路的时域分析动态电路的时域分析 【思考与练习题】 1. 二阶动态电路有什么特点？ 2. 什么是非振荡放电、 振荡放电、 临界放电状态？ 3. 振荡衰减系数如何计算？振荡放电的快慢与衰 减系数有何关系？ 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 习习 题题 9 9.1 电路如图9.44所示， 在t0时， 开关s位于“1”， 已处于稳态， 当t=0时， 开关s由“1”闭合到“2”， 求 初始值il(0+), ul(0+)。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.44 题9.1图 1 2 ul s il 1 h 30 10 20 5 a 第第9 9章章 动态

55、电路的时域分析动态电路的时域分析 9.2 图9.45所示电路原处于稳态， t=0时， 开关s断 开， 求ic(0+), uc(0+)。 9.3 图9.46所示电路在t0时处于稳态， 当t=0时， 开关s闭合。 求ic(0+), uc(0+)及il(0+), ul(0+)的值。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.45 题9.2图 uc s ic 100 f 35 15 50 v 5 10 v 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.46 题9.3图 ul s il 3 5 5 a l ic ucc 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分

56、析 9.4 如图9.47所示， 已知us=100 v, r1=10 , r2=20 , r3=20 , s闭合前电路处于稳态， 当t=0时， 开关s闭合。 求i2(0+), i3(0+)。 9.5 如图9.48所示， 开关s原是断开的， 电路处于 稳态， 当t=0时， 开关s闭合。 求初始值uc(0+), il(0+), ic(0+), ir(0+)。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.47 题9.4图 l us r1 s(t0) r2 r3 i3 ci2 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.48 题9.5图 6 v 200 s 400 il

57、 ir ic uc0.01 f 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.49 题9.6图 (a) 10 v 3 k 6 k s 5 f (b) 20 v 10 k s 200 f 20 k 6 4 s 6 8 mh 2 a (c) 3 7 6 50 mh 50 ma (d) s (e) 8 k 2 k s 50 f c 6 k 4 k 100 v 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.6 求如图9.49所示的电路在换路后的时间常数。 9.7 一个高压电容器原先已充电， 其电压为10 kv， 从电路中断开后， 经过15 min它的电压降为3.2 kv，

58、问 （1） 再过15 min电压降为多少？ （2） 如果电容c=15 f， 那么它的绝缘电阻是多少？ （3） 需经多少时间， 可使电压降至30 v以下？ （4） 如果以一根电阻为0.2 的导线将电容接地放电， 最大放电电流是多少？ 若认为在5时间内放电完毕， 那 么放电的平均功率是多少？ 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.8 一个具有磁场储能的电感经电阻释放储能， 已知经过0.6 s后储能减少为原先的一半， 又经过1.2 s 后， 电流为25 ma。 试求电感电流i(t)。 9.9 图9.50所示电路为一标准高压电容器的电路模 型， 电容c=2 f， 漏电阻r=10 m

59、。 fu为快速熔断 器， us=2.3 sin(314t+90) kv， t=0时熔断器烧断。 假 设安全电压为50 v， 问从熔断器断开之时起， 经历多 少时间后， 人手触及电容器两端才是安全的。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.50 题9.9图 fu rcus 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.10 如图9.51所示， 开关s位于“1”时， 电路处 于稳态， 当t=0时， 开关s由“1”闭合到“2”， 求il(t), ul(t)。 9.11 如图9.52所示， 当t=0时， 开关s闭合。 闭合 前电路处于稳态， 求t0时的uc(t)，

60、并画出其波形。 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图 9.51 题9.10图 1 h 10 20 5 a 30 il ul 2 1 s 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 图9.52 题9.11图 18 ma 3 k3 k 3 ks3 k1 fuc 第第9 9章章 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 9.12 在日常测试中， 常用万用表r1 k挡检查 电容量较大的电容器的质量。 方法是测量前， 先将被 测电容器短路使它放电完毕。 测量时， 若指针摆动后， 再返回万用表无穷大刻度处， 则说明电容器是好的； 若指针摆动后， 返回速度较慢， 则说明被测电容器的