自功率谱密度函数互功率谱密度函数

1、 主 要 内 容 信号是信息的载体和具体表现形式，信息需转化为信号是信息的载体和具体表现形式，信息需转化为 传输媒质能够接受的信号形式方能传输。传输媒质能够接受的信号形式方能传输。广义的说，广义的说， 信号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量信号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量 中，才可能含有信息。中，才可能含有信息。 l当信号是一确定的时间函数时，给定某一时当信号是一确定的时间函数时，给定某一时 间值，就可以确定一相应的函数值。这样的间值，就可以确定一相应的函数值。这样的 信号称为确定信号。信号称为确定信号。 l随机信号不是确定的时间函数，只知道该信随机信号不是确定的时间函数，只

2、知道该信 号取某一数值的概率。号取某一数值的概率。 l带有信息的信号往往具有不可预知的不确定带有信息的信号往往具有不可预知的不确定 性，是一种随机信号。性，是一种随机信号。 l除实验室发生的有规律的信号外，通常的信除实验室发生的有规律的信号外，通常的信 号都是随机的，因为确定信号对受信者不可号都是随机的，因为确定信号对受信者不可 能载有信息。能载有信息。 l如果在某一时间间隔内，对于一切时间 值，除若干不连续点外，该函数都能给 出确定的函数值，此信号称为连续信号。 l和连续信号相对应的是离散信号。代表 离散信号的时间函数只在某些不连续的 时间值上给定函数值。 l一般而言，模拟信号是连续的（时间

3、和 幅值都是连续的），数字信号是离散的 f(t) 0 t 0 t f(t) f0 f1 f2 01234 -1t f(tk) (3) (2) (4.5) (1.5) (6) (-1) l用确定的时间函数表示的信号，可以分为用确定的时间函数表示的信号，可以分为 周期信号和非周期信号。周期信号和非周期信号。 l当且仅当当且仅当 则信号则信号f(t)f(t)是周期信号，式中常数是周期信号，式中常数t t 是信号是信号 的周期。换言之，周期信号是每隔固定的的周期。换言之，周期信号是每隔固定的 时间又重现本身的信号，该固定的时间间时间又重现本身的信号，该固定的时间间 隔称为周期。隔称为周期。 l非周期信

4、号无此固定时间长度的循环周期。非周期信号无此固定时间长度的循环周期。 )(tfttft 严格数学意义上的周期信号，是无始 无终地重复着某一变化规律的信号。 实际应用中，周期信号只是指在较长 时间内按照某一规律重复变化的信号。 实际上周期信号与非周期信号之间没 有绝对的差别，当周期信号ft(t)的周期 t 无限增大时，则此信号就转化为非 周期信号f(t)。即 lim( )( ) t t ftf t l表示信号的时间函数，包含了信号的全部 信息量，信号的特性首先表现为它的时间 特性。 l时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅 度变化的特性。 同一形状的波形重复出现的周期长短 信号波形本身变化的速率（

5、如脉冲信号的脉 冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程 度） l以时间函数描述信号的图象称为时域图， 在时域上分析信号称为时域分析。 l信号还具有频率特性，可用信号的频谱函数来表示。在频谱 函数中，也包含了信号的全部信息量。 l频谱函数表征信号的各频率成分，以及各频率成分的振幅和 相位。 频谱：对于一个复杂信号，可用傅立叶分析将它分解为许 多不同频率的正弦分量，而每一正弦分量则以它的振幅和 相位来表征。将各正弦分量的振幅与相位分别按频率高低 次序排列成频谱。 频带：复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限， 但因原始信号的能量一般集中在频率较低范围内，在工程 应用上一般忽略高于某一频率的分

6、量。频谱中该有效频率 范围称为该信号的频带。 l以频谱描述信号的图象称为频域图，在频域上分析信号称为 频域分析。 时域和频域 不同频率信号的时域图和频域图不同频率信号的时域图和频域图 l信号还可以用它的能量特点加以区分。 在一定的时间间隔内，把信号施加在一负载上，负载上就 消耗一定的信号能量。 把该能量值对于时间间隔取平均，得到该时间内信号的平 均功率。 如果时间间隔趋于无穷大，将产生两种情况。 l信号总能量为有限值而信号平均功率为零，称为能量信号； 信号平均功率为大于零的有限值而信号总能量为无穷大，称 为功率信号，周期信号就是常见的功率信号。 dttfe t t 2/ 2/ 2 | )(|

7、dttf t p t tt 2/ 2/ 2 | )(| 1 lim 时域分析 信号时域分析（线性系统叠加原理） 卷积积分的应用及其数学描述 频域分析 周期信号的频域分析(三角与指数傅立叶级 数） 非周期信号的频域分析（傅立叶积分） 信号在频域与时域之间的变换（正反傅立 叶变换式） 频谱与时间函数的关系 系统的输入信号称为激励，输出称为响应 激励与响应都是时间的函数 激励函数s(t) 响应函数r(t) 系统对激励的的响应称为冲激响应函数 h(t) 对激励的响应是激励函数与系统冲激响对激励的响应是激励函数与系统冲激响 应函数的应函数的卷积卷积 利用线性系统的叠加原理，把复杂的激励在时域中分解成 一

8、系列单位激励信号，然后分别计算各单位激励通过通信 系统的响应，最后在输出端叠加而得到总的响应。 图2-4是时域分析法示意图。其中 (a)表示将激励函数分解为若干个脉冲函数，第k个脉 冲函数值为s(kt) (b)表示系统对第k个脉冲的冲激响应，该响应的数值 是 (c) 是系统对于(a)所示的激励函数的总响应，可近似 地看作是各脉冲通过系统所产生的冲激响应的叠加。 该总响应 tkthttkstkr n k tkthttkstr 0 0 0 0 0 t t t s(t) r(kt) r(t) kt kt kt s(kt) r(kt) ttks tkthttks 激励函数激励函数(输入输入 信号信号)

9、的分解的分解 第第k个脉冲的个脉冲的 冲激响应冲激响应(输输 出信号出信号)波形波形 冲激响应叠加冲激响应叠加 后的总响应后的总响应(输输 出信号出信号)波形波形 第第k个脉冲函数之面积个脉冲函数之面积 （当（当t 0，脉冲函数脉冲函数 可近似表示为冲激函数）可近似表示为冲激函数） 系统对第系统对第k个冲激函数个冲激函数 的冲激响应函数的冲激响应函数 式中h(t)是单位冲激函数(t)对应的响应，称为单位冲激 响应函数。 单位冲激函数(t) 也称狄拉克函数或函数，其定义是： 在t0时，函数值均为0；在t=0处，函数值为无穷大，而 脉冲面积为1，即 当t无限趋小而成为d时，上式中不连续变量kt成了

10、连 续变量，对各项求和就成了求积分。于是有 这种叠加积分称为卷积积分卷积积分。 0t0,t 0t1,dtt dthstr t 0 考察信号考察信号 式中式中1 1=2=2f f1 1。1 1称为称为基波频率基波频率，简称基频，简称基频， 1 1的倍数称为的倍数称为谐波谐波。 对于周期信号而言，其频谱由离散的频率成分，对于周期信号而言，其频谱由离散的频率成分， 即基波与谐波构成。即基波与谐波构成。 tttttf 1111 7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 sin 狄利希莱条件 要将一周期信号分解为谐波分量，代表这一周期 信号的函数f(t)应当满足下列条件： 在一周期内，函数是

11、绝对可积的，即在一周期内，函数是绝对可积的，即 应为有限值；应为有限值； 在一周期内，函数的极值数目为有限；在一周期内，函数的极值数目为有限； 在一周期内，函数在一周期内，函数f(t)或者为连续的，或者具有有限或者为连续的，或者具有有限 个这样的间断点，即当个这样的间断点，即当t从较大的时间值和较小的时从较大的时间值和较小的时 间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的 函数值。函数值。 测试技术中的周期信号，大都满足该条件。 dttf tt t | 1 1 lim()lim()f tf t 根据傅立叶变换原理，通常任何信号都可表示成各种频率成

12、 分的正弦波之和。 对于任何一个周期为t、且定义在区间（- t/2, t/2）内的周 期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示： a0是频率为零的直流分量（如图），式中系数值为 傅立叶级数的这种形式称为三角函数展开式或称正弦-余弦 表示，是用正交函数集来表示周期信号的一种常用方法。 1 110 )sincos( n nn tnbtnaatf tdtntf t b tdtntf t a dttf t a t t n t t n t t 1 2/ 2/ 1 2/ 2/ 2/ 2/ 0 sin 2 cos 2 1 01 1 00 22 ( )cos() tan nn n nnn n n

13、 n f taant aa aab b a 式中： an-，n-分别称为 幅值谱和相位谱，统 称为频谱。 带有直流分量的信号带有直流分量的信号 指数傅立叶级数指数傅立叶级数 用正交函数集来表示周期信号另一种更常用的方法 是傅立叶级数的指数表示法，称为指数傅立叶级数。 三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两种不同 类型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方 法。指数级数形式比三角级数形式更简化更便于计 算。 根据欧拉公式 11 11 1 1 cossin 1 cos 2 1 sin 2 j t jntjnt jntjnt etjt ntee jntee 000 22 11 (),() 22 1

14、1 22 nnnnnn nnnnn caa cajbcajb ccaab 1 /2 /2 1 ,0, 1, 2,. t jnt n t cf t edt n t 1 jnt n n f tc e 如果在表示周期信号f(t)的傅立叶级数中令周期t， 则在整个时间内表示f(t)的傅立叶级数也能在整个时间 内表示非周期信号。 f (t)的指数傅立叶级数可写为 式中 fn是复数振幅，将其代入f(t),得到 1 jnt n n ftc e 1 / 2 / 2 1 t jnt n t cftedt t tjn n t t tjn edtetf t tf 11 2/ 2/ )( 1 )( 当t 增加时，基频

15、1变小，频谱线变密，且各分量的振幅也 减小，但频谱的形状不变。在t的极限情况下，每个频率 分量的幅度变为无穷小，而频率分量有无穷多个，离散频谱 变成了连续频谱。这时，f(t)已不是n1的离散函数，而是 的连续函数。 以上过程可以用计算式说明。由于相邻频率分量间隔为 =(=(n n+1)+1)1 1- -nn1 1=1 1 周期t 可写为 于是，有 22 1 t tjn n t t tjn edtetftf 11 2/ 2/ )( 2 1 )( 当t 时，求和变成了取积分，变成d d ，n1用表 示。因此有 式中方括号是原函数f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数，它 具有单位频带振幅的量纲，记作

16、f() 。即 将原函数写成 dedtetftf tjtj )( 2 1 )( deftf tj 2 1 )( dtetff tj )()( 傅立叶变换可将时域上较复杂的运算简化为相对简单的频域 运算。 作为时域上卷积积分例子的函数r(t)对应的频域函数为 上式即卷积定理卷积定理，激励s(t)通过频率特性为h()的系统时， 响应r(t)的频谱函数r()等于s(t)的频谱函数s() 和h()的 乘积运算。 ( ) () j t j t j t j t rr t edt sh tdt ed sh tedt d seh jd sh 几种典型信号的傅立叶变换几种典型信号的傅立叶变换 数字信号中典型的波形

17、是矩形窗函数（矩形脉冲 函数）。矩形脉冲g(t)及其对应的频域函数为 g()分别如图和下面两式： 其它0 2/2/ ta tg 22 /2 /2 2 2 sin/2 /22 sin sin sin, j tj t jj a gg t edta edt a ee aa sinc x c x x （ ）称为抽样函数 (t)函数的性质函数的性质： 1.抽样性抽样性 00 ( ) ( )( ) (0)(0) () ( )( ) t x t dtt xdtx ttx t dtx t 2. 单位脉冲函数的积分等于阶跃函数单位脉冲函数的积分等于阶跃函数 ( )( ) t t dtu t 3. 函数与其他函数

18、的卷积函数与其他函数的卷积 ( ) t ( )( )( ) ()( ) ()( ) ( )()( ) ()() f ttftdf tt dtf t f tttfttdf tt 4. 函数的频谱函数的频谱( ) t 随机信号分析随机信号分析 二、随机信号的统计特性二、随机信号的统计特性 要完整地描述一个各态历经随机过程，理论上要要完整地描述一个各态历经随机过程，理论上要 有无限长时间记录。但实际上这是不可能的。通常有无限长时间记录。但实际上这是不可能的。通常 用统计方法对以下三个方面进行数学描述：用统计方法对以下三个方面进行数学描述： 1）幅值域描述）幅值域描述: 均值、方均值、方差、概率密均值、方均值、方差、概率密 度函数等。度函数等。 （2）时间域描述）时间域描述:自相关函数、互相关函数。自相关函数、互相关函数。 （3）频率域描述）频率域描述: 自功率谱密度函数、互功率自功率谱密度函数、互功率 谱密度函数。谱密度函数。 自相关函数性质自相关函数性质 自相关函数的应用自相关函数的应用 当延时当延时 很大时，随机噪声的自相关函数趋于零，而周期信号很大时，随机噪声的自相关函数趋于零，而周期信号 的自相关函数仍是周期函数，且其周期不变。的自相关函数仍是周期函数，且其周期不变。 互相关函数描述一个信号的取值对另一个信号的依互相关函数描述一个信号的取值对另一个信号的依 赖程度。赖