材料力学精品课课件第三章 扭转

1、目录目录 刘鸿文主编刘鸿文主编( (第第4 4版版) ) 高等教育出版社高等教育出版社 第三章第三章 扭扭 转转 第三章第三章 扭扭 转转 3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 3.3 3.3 纯剪切纯剪切 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念 汽车传动轴汽车传动轴 3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 汽车方向盘汽车方向盘 3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 杆件受

2、到大小相等杆件受到大小相等, ,方向相反且方向相反且作用平作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用面垂直于杆件轴线的力偶作用, , 杆件的横截杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。面绕轴线产生相对转动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴圆轴 扭转扭转。 扭转受力特点扭转受力特点 及变形特点及变形特点: : 3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 直接计算直接计算 1.1.外力偶矩外力偶矩 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 按输入功率和转速计算按输入

3、功率和转速计算 电机每秒输入功：电机每秒输入功： 外力偶作功完成：外力偶作功完成： 1000(n m)wp 60 2 n mw e 已知已知 轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟 输出功率输出功率p p 千瓦千瓦 求：力偶矩求：力偶矩m me e pp 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 t = me 2.2.扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 用截面法研究横用截面法研究横 截面上的内力截面上的内力 扭矩正负规定扭矩正负规定 右手螺旋法则右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方

4、向为正正(+),(+),反之为反之为负负(-)(-) 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 扭矩图扭矩图 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 解解: : (1)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩 例题例题3.13.1 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 传动轴传动轴, ,已知转速已知转速 n=300r/min,n=300r/min,主动轮主动轮a a输入功率输入功率 p pa a=45kw,=45kw,三个从动轮输出功率分别为三个从动轮输出功率分别为 p pb b=10kw,p=10kw,pc

5、 c=15kw,=15kw, p pd d=20kw.=20kw.试绘轴的扭矩图试绘轴的扭矩图. . 9549/ e mp n 由公式由公式 (2)(2)计算扭矩计算扭矩 (3)(3) 扭矩图扭矩图 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 max 1432tn m 传动轴上主、传动轴上主、 从动轮安装的位从动轮安装的位 置不同，轴所承置不同，轴所承 受的最大扭矩也受的最大扭矩也 不同。不同。 b m c m a a b b c cd d a m d m 3 1432 a tmn m a a

6、a m 3 t 318n318n. .m m 795n795n. .m m 1432n1432n. .m m 3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 3.3 3.3 纯剪切纯剪切 一、薄壁圆筒扭转时的切应力一、薄壁圆筒扭转时的切应力 将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆 周线划分；周线划分；两端施以大小相等方向相反两端施以大小相等方向相反 一对力偶矩一对力偶矩。 圆周线大小形状不变，各圆周线间距圆周线大小形状不变，各圆周线间距 离不变；离不变；纵向平行线仍然保持为直线且纵向平行线仍然保持为直线且 相互平行，只是倾斜了一个角度。相互平行

7、，只是倾斜了一个角度。 观察到：观察到： 结果说明横截面上没有正应力结果说明横截面上没有正应力 3.3 3.3 纯剪切纯剪切 采用截面法将圆筒截开，横截面采用截面法将圆筒截开，横截面 上分布有与截面平行的切应力。由于上分布有与截面平行的切应力。由于 壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀 分布。分布。 2 e mrr 由平衡方程由平衡方程 ，得，得 0 z m 2 2 e m r 二、切应力互等定理二、切应力互等定理 3.3 3.3 纯剪切纯剪切 在相互垂直在相互垂直 的两个平面上，的两个平面上， 切应力必然成对切应力必然成对 存在，且数值相存在，且数值相 等；两者都

8、垂直等；两者都垂直 于两个平面的交于两个平面的交 线，方向则共同线，方向则共同 指向或共同背离指向或共同背离 这一交线。这一交线。 纯剪切纯剪切 各个截面上只有切应各个截面上只有切应 力没有正应力的情况称为力没有正应力的情况称为 纯剪切纯剪切 切应力互等定理：切应力互等定理： 3.3 3.3 纯剪切纯剪切 三、切应变三、切应变 剪切胡克定律剪切胡克定律 在切应力的作用下，在切应力的作用下， 单元体的直角将发生微小单元体的直角将发生微小 的改变，这个改变量的改变，这个改变量 称称 为切应变。为切应变。 当切应力不超过材料当切应力不超过材料 的剪切比例极限时，切应的剪切比例极限时，切应 变变 与切

9、应力与切应力成正比，成正比， 这个关系称为这个关系称为剪切胡克定剪切胡克定 律律。 g g 剪切弹性模量剪切弹性模量(gn/m2) 各向同性材料，各向同性材料， 三个弹性常数之间的三个弹性常数之间的 关系：关系： 2(1) e g 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 1.1.变形几何关系变形几何关系 观察变形：观察变形： 圆周线长度形状不变，各圆周线间圆周线长度形状不变，各圆周线间 距离不变，只是绕轴线转了一个微小角距离不变，只是绕轴线转了一个微小角 度；度；纵向平行线仍然保持为直线且相互纵向平行线仍然保持为直线且相互 平行，只是倾斜了一个平行，只是倾斜了一个微小微小角度。角度。

10、 圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转的平面假设： 圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍 保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线； 且相邻两截面间的距离不变。且相邻两截面间的距离不变。 m me e x x p p q q m me e x x p p q q m me e m me e 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 _ 扭转角（扭转角（radrad） _d dxdx微段两截面的微段两截面的 相对扭转角相对扭转角 边缘上边缘上a a点的错动距离：点的错动距离： aarddx d r dx

11、 边缘上边缘上a a点的切应变：点的切应变： 发生在垂直于半径的平面内。发生在垂直于半径的平面内。 me p pq q me x d o d c a b r dx a b p p q q 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 dx d d r 距圆心为距圆心为的圆周的圆周上上e e点的错动距离：点的错动距离： ccddx 距圆心为距圆心为处的处的切应变：切应变： d dx 也发生在垂直于也发生在垂直于 半径的平面内。半径的平面内。 d dx 扭转角扭转角 沿沿x x轴的变化率。轴的变化率。 d o d c a b r dx a b p p q q e e 3.4 3.4 圆轴扭转时

12、的应力圆轴扭转时的应力 2.2.物理关系物理关系 根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律 g d gg dx 距圆心为距圆心为 处的处的切应力：切应力： 垂直于半径垂直于半径 横截面上任意点的切应力横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离 成正比。成正比。 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 3.3.静力关系静力关系 a tda 2 a a tda d gda dx dai a p 2 横截面对形心的极惯性矩横截面对形心的极惯性矩 p i d g dx p d tgi dx p t i 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 公式适用于：公式适用于： 1

13、1）圆杆）圆杆 2 2） maxp 令令抗扭截面系数抗扭截面系数 p t i w r max t t w 在圆截面边缘上，在圆截面边缘上， 有最大切应力有最大切应力 横截面上某点的切应力的方向与扭横截面上某点的切应力的方向与扭 矩方向相同，并垂直于半径。切应力的矩方向相同，并垂直于半径。切应力的 大小与其和圆心的距离成正比。大小与其和圆心的距离成正比。 实心轴实心轴 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 与与 的计算的计算 p i t w / tp wir 3 1 16 d p i t max t w t 空心轴空心轴 令令 则则 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力

14、/(/2) tp wid 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 实心轴与空心轴实心轴与空心轴 与与 对比对比 p i t w / tp wir 3 1 16 d/(/2) tp wid 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 扭转强度条件：扭转强度条件： t max max w t max maxmax () t t w max max t t w 1. 1. 等截面圆轴：等截面圆轴：2. 2. 阶梯形圆轴：阶梯形圆轴： 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 强度条件的应用强度条件的应用 max max t t w （1）校核强度）校核强度 t max max

15、 w t （2）设计截面）设计截面 max t t w （3）确定载荷）确定载荷 tmax wt 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 例例3.23.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径 d d=89=89mmmm、壁厚壁厚 =2.5=2.5mmmm，材料为材料为2020号钢，使用号钢，使用 时的时的最大扭矩最大扭矩t=t=19301930n nm m, , =70=70mpampa. .校核此轴校核此轴 的强度。的强度。 3434 0.945 0.2(1)0.28.9 (10.945 )29 t d d wd 6 max 6 1930 66.7 1

16、0 pa 29 10 66.7mpa 70mpa t t w 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 例例3.33.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求如把上例中的传动轴改为实心轴，要求 它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。 并比较实心轴和空心轴的重量。并比较实心轴和空心轴的重量。 解：解：当实心轴和空心轴的最大应力同当实心轴和空心轴的最大应力同 为为 时，两轴的许可扭矩分别为时，两轴的许可扭矩分别为 3 11 16 t twd 3434 2 (1) (90) (1 0.944 ) 1616 td 若两轴强度相等，则若两轴强度相等，则t

17、t1 1=t=t2 2 ， ，于是有于是有 334 1 (90) (1 0.944 )d 1 53.10.0531dmmm 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 22 42 1 1 (0.0531) 22.2 10 44 d am 223 23 242 2 ()(90 10 )(85 10 ) 6.87 10 44 addm 在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面 积之比。积之比。 4 2 4 1 6.87 10 0.31 22.2 10 a a 可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的可见在载荷

18、相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的3131% % 。 实心轴和空心轴横截面面积为实心轴和空心轴横截面面积为 已知：已知：p p7.5kw, 7.5kw, n n=100r/min,=100r/min,最大切应力最大切应力不不 得超过得超过40mpa,40mpa,空心圆轴的内外直径之比空心圆轴的内外直径之比 = = 0.50.5。二轴长度相同。二轴长度相同。 求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外直径和空心轴的外直径d d2 2；确；确 定二轴的重量之比。定二轴的重量之比。 解：解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 实心

19、轴实心轴 3 1 6 16 716 2 0 045m=45mm 40 10 . .d 例题例题3.43.4 7 5 95499549716 2n m 100 . . x p mt n max1 3 11 16 40mpa p tt wd 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 空心轴空心轴 d20.5d2=23 mm 3 2 46 16 716 2 0 046m=46mm 1-40 10 . .d max2 34 2 2 16 40mpa 1 p tt wd 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，

20、二轴的重量之比即为横截面面积之比：长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比： 28. 1 5 . 01 1 1046 1045 1 2 2 3 3 22 2 2 1 2 1 d d a a 实心轴实心轴 d d1 1=45 mm=45 mm 空心轴空心轴 d d2 246 mm46 mm d d2 223 mm23 mm p p1 1=14kw, =14kw, p p2 2= = p p3 3= = p p1 1/2=7 kw/2=7 kw n n1 1= =n n2 2= 120r/min= 120r/min 360r/minr/min 12 36 120 3 1 13 z z n

21、n 解：解：1 1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速 2 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩 例题例题3.53.5 3 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 求求: :各各轴轴横截面上的最大切应力；横截面上的最大切应力； 并校核各轴强度。并校核各轴强度。 已知：已知：输入功率输入功率p p1 114kw,14kw,p p2 2= = p p3 3= =p p1 1/2/2， n n1 1= =n n2 2=120r/min,=120r/min, z z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1=70mm, =70mm, d d 2 2=50mm, =50

22、mm, d d3 3=35mm.=35mm. =30=30mpampa。. . t t1 1=m=m1 1=1114 n m=1114 n m t t2 2=m=m2 2=557 n m=557 n m t t3 3=m=m3 3=185.7 n m=185.7 n m 1 max 3-9 1 16 1114 epa16.54mpa 7010 t t w 2 max 3-9 2 16 557 hpa22.69mpa 5010 t t w 3 max 3-9 3 16 185.7 cpa21.98mpa 3510 t t w 3 3、计算各轴的横截面上的、计算各轴的横截面上的 最大切应力；最大切

23、应力；校核各轴校核各轴 强度强度 3 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 相对扭转角相对扭转角抗扭刚度抗扭刚度 3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 n i pi ii gi lt 1 单位长度扭转角单位长度扭转角 扭转刚度条件扭转刚度条件 3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 max 许用单位扭转角许用单位扭转角 p dt dxgi rad/mrad/m 180 p t gi / /m m 扭转强度条件扭转强度条件 扭转刚度条件扭转刚度条件 已知已知t t 、d d 和和 ，校核强度校核强度 已知已知t t 和和 ，设计截面设计截面 已知已知d d 和和

24、 ，确定许可载荷确定许可载荷 已知已知t t 、d d 和和 / / ，校核刚度校核刚度 已知已知t t 和和 / / ，设计截面设计截面 已知已知d d 和和 / / ，确定许可载荷确定许可载荷 3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 max t t w 3 1 16 t wd max p t gi 4 1 3 2 p id 例题例题3.63.6 3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 max t wt 某传动轴所承受的扭矩某传动轴所承受的扭矩t=200nmt=200nm，轴的直径轴的直径d=40mmd=40mm，材料的材料的 =40mpa=40mpa， 剪切弹性模量剪切

25、弹性模量g=80gpag=80gpa，许可单位长度转角许可单位长度转角 / /=1 =1 / /m m。试校核轴的强度和刚试校核轴的强度和刚 度。度。 传动轴的转速为传动轴的转速为n=500r/min，主动轮，主动轮a a 输入功率输入功率p1=400kw，从动轮，从动轮c c，b b 分别输出功率分别输出功率p2=160kw，p3=240kw。已知。已知=70mpa，=1/m， g=80gpa。 (1)(1)试确定试确定ac ac 段的直径段的直径d d1 1 和 和bc bc 段的直径段的直径d d2 2； (2)(2)若若ac ac 和和bc bc 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直

26、径，试确定直径d d； (3)(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? ? 1e m a b c 2e m 3e m 1 d 2 d 1 11 9549 e p tm n mn7640 500 400 9549 231 240 4580n m 400 e tmt 解：解： 1.1.外力偶矩外力偶矩 例题例题3.73.7 3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 2.2.扭矩图扭矩图 mm2 .82m102 .82 1070 764016 16 3 3 6 3 1 t d 按刚度条件按刚度条件 mm4 .86m104 .86 11080 180764032 18032 3 4 29 4 2 1 g t d 3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件 mn7640 mn4580 mm4 .86 1 d 1e m a b c 2e m 3e m 1 d 2 d 3 1 max 16 d t 18032 4 1 max dg t 3.5 3.5