材力第7次课堂 北京理工大学 材料力学 课件

1、1 今日赠言：今日赠言： 当你比别人高一点儿当你比别人高一点儿 时，别人嫉妒你，当你比时，别人嫉妒你，当你比 别人高一截时，别人羡慕别人高一截时，别人羡慕 你，当你比别人高很多时，你，当你比别人高很多时， 别人依靠你。别人依靠你。 林肯对政敌素以宽容林肯对政敌素以宽容 著称，宽容的力量著称，宽容的力量像像 大海一样容纳了百川，从大海一样容纳了百川，从 而让自己博大宽广，生生而让自己博大宽广，生生 不息不息. 2 第五章第五章 弯曲内力弯曲内力 杆件的这种变形形式称为弯曲弯曲。 3 弯曲的基本概念弯曲的基本概念 1.受力特征：受力特征：外力垂直于杆件的轴线外力垂直于杆件的轴线, 外力均作用在杆件

2、轴线外力均作用在杆件轴线 的纵向平面内的纵向平面内. 2.变形特征：变形特征：轴线的曲率改变；轴线的曲率改变； 3.梁：梁：以弯曲变形为主的杆件；以弯曲变形为主的杆件； 5.1 弯曲的基本概念弯曲的基本概念 4 静定梁的基本形式静定梁的基本形式 (2)外伸梁：外伸梁： (1)简支梁：简支梁： (3)悬臂梁：悬臂梁： 5 常见梁的截面有：圆截面、矩形截面、常见梁的截面有：圆截面、矩形截面、 工字型截面、工字型截面、t字型截面等，如图；字型截面等，如图； 6 p 载荷形式载荷形式 (3)集中力偶：集中力偶：(1)集中力：集中力： (2)分布载荷：分布载荷： q m m q m p p 平面平面弯曲

3、弯曲 梁有一纵向对称面，外力作用在对称面内，梁变梁有一纵向对称面，外力作用在对称面内，梁变 形后，轴线仍在该对称面内；形后，轴线仍在该对称面内； 7 5.2 梁的梁的弯曲弯曲内力内力-剪力和弯矩剪力和弯矩 1.用截面法求内力：用截面法求内力： 由平衡方程：由平衡方程： 其中，其中，fs称剪力，称剪力，m称弯矩；称弯矩； m m x p pffpf ssy , 0:0 m m x p fs m m m fs m pxmmpxm c , 0:0 8 2.剪力和弯矩的符号规定和计算剪力和弯矩的符号规定和计算 (1)剪力：按图所示变形规定符号；剪力：按图所示变形规定符号； fs fs fs fs （+

4、） （-） 正剪力使微段顺时针转动为正正剪力使微段顺时针转动为正. 9 (2)弯矩：按图所示变形规定弯矩符号；弯矩：按图所示变形规定弯矩符号； （+） （-） m m x p m m x p fs m m m fs m 10 例题1 求图示简支梁求图示简支梁ab在在 截面截面1和和2上的剪力上的剪力 和弯矩。和弯矩。 解：解：(1)求约束反力求约束反力 (2)求求1截面上的内力截面上的内力 knmfm knff ay ays 265 . 082 78158 1 1 fs1 m1 a fay 8kn a b 12kn/m 1.5m1.5m 1.5m 3m 2m 1 2 8kn fay fby 0

5、5.43125.186 :0 05.13125.486 :0 bya ayb fm fm knfknf byay 29 ,15 2m 11 2 0: 12 1.50 ysby fff knff bys 115 . 112 2 knmfm by 3075. 05 . 1125 . 1 2 (3)求求2截面上的内力截面上的内力 05 . 175. 05 . 112: 0 2 by fmmfs2 m2 b fby 12kn/m a b 12kn/m 1.5m1.5m 1.5m 3m 2m 1 2 8kn 1.5m 12 5.3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 上列函数一般是分段函数，剪力方程和

6、上列函数一般是分段函数，剪力方程和弯矩方程应弯矩方程应在在 载荷变化处分段表示。载荷变化处分段表示。 )( )( xmm xff ss f a b q kn/m x c d 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示剪力横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示剪力 或弯矩，即可画出剪力图和弯矩图；或弯矩，即可画出剪力图和弯矩图； * 13 例题例题2 图示简支梁受集中力偶图示简支梁受集中力偶m0作用，列出剪力方程和弯矩作用，列出剪力方程和弯矩 方程，并画出剪力图和弯矩图。方程，并画出剪力图和弯矩图。 解：解：(1)求约束反力求约束反力 b ab m0 c a l x l m f

7、f ayby 0 (2)写出剪力方程写出剪力方程 ac： bc: 弯矩方程弯矩方程 ac： bc: ax l m xf s 0 )( 0 0 0 ( ) m m xmxaxl l lxa l m xf s )( 0 axx l m xm0 )( 0 14 (3)画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图 b ab m0 c a l x lx l m xfs0 )( 0 0 0 0 0 ( ) m xxa l m x m mxaxl l x fs (-) l m0 (-) x m (+) l bm0 l am0 15 例例3： 图示简支梁受集中力图示简支梁受集中力p作用作用, 列出剪力方程和弯矩方程列出剪

8、力方程和弯矩方程, 并画出剪力图和弯矩图。并画出剪力图和弯矩图。 b ab p c a l x 解：解：1)求约束反力求约束反力 p l a fp l b f byay , (2)写出剪力方程写出剪力方程 ac： bc: 弯矩方程弯矩方程 ac： bc: ax l b xfs0 p)( lxaxl l pa xm )()( lxa l a xfs p)( axx l pb xm0 )( x fs (+) (-) p l b p l a x m (+) p l ab 3. 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 16 例例4：图示简支梁受均布载荷图示简支梁受均布载荷q作用，列出剪力方作用，列出剪力方 程程

9、 和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 a b q l x 解：解：1. 求约束反力求约束反力 2 ql ff byay 2. 写出剪力方程写出剪力方程 弯矩方程弯矩方程 lx ql xf s 0qx - 2 )( lx qx x ql x qxxfxm ay 0 22 2 )( 2 x fs (+) (-) 2 ql 2 ql x m (+) 8 2 ql 3. 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 17 例题例题5 图示悬臂梁受集中力图示悬臂梁受集中力p 作用，列出剪力方程和作用，列出剪力方程和 弯矩方程，并画出剪力弯矩方程，并画出剪力 图和弯矩图。图和弯矩图。 b

10、 ab p c a l x m fs 解：解：1. 求约束反力求约束反力 pampfay , 2. 写出剪力方程写出剪力方程 弯矩方程弯矩方程 lxaxf axpxf s s 0)( 0 )( lxaxm axxapxm 0)( 0 )()( x fs (+) p (-) x m pa 3. 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 18 1.推导推导 从梁中任意取出一从梁中任意取出一dx微段微段,微微 段上作用分布集度为段上作用分布集度为q(x)的的 外力外力,如图所示；如图所示； 由平衡方程：由平衡方程： 略去高阶微量，整理得：略去高阶微量，整理得： 5.4 载荷集度载荷集度剪力和弯矩的关系剪力和弯矩

11、的关系 fs(x) q(x) dx c m(x) fs(x)+dfs(x) m(x)+d m(x) 0)()()()( :0 dxxqxdfxfxff sssy 0 2 1 )()()()()(:0 dxdxxqdxxfxdmxmxmm s c 合并二式：合并二式： )( )( xq dx xdfs )( )( xf dx xdm s )( )( 2 2 xq dx xmd 19 2利用载荷集度、剪力和弯矩之间关系作图利用载荷集度、剪力和弯矩之间关系作图 )( )( xq dx xdfs )( )( xf dx xdm s )( )( 2 2 xq dx xmd ;,0,/;,0, ,/,0

12、;/,0 2 2 2 2 _ 图图图图 图是抛物线或图则 或图图，则 ss s ss fm dx md qfm dx md q mfconstantq mfconstantfq fs(x) q(x) dx c m(x) fs(x)+dfs(x) m(x)+d m(x) 20 载荷集度与剪力、弯矩间的微分关系小结载荷集度与剪力、弯矩间的微分关系小结 q(x)fs(x)m(x) 0（+） （-） 0 极值极值 (但不一定是最大但不一定是最大 值或最小值值或最小值) 21 根据根据载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 画剪力图和弯矩图的步骤画剪力图和弯矩图的步骤 22 例：例：

13、aaa a r b r dc ab qap q 2 0 qam qara 4 5 qarb 4 3 _,0:mqafqca s /, 4 1 ,0: _ mqafqad s m的的极值点：极值点： 2 max 4 3 2 1 4 3 aqarm b 2 32 9 qa 4 qa qa qa 4 3 2 qa 2 4 3 qa 2 32 9 qa 2 4 1 qa 解解: 23 ac：fs水平 q=0 m/ kn2 a f kn2 c f mkn212 c m kn2 m1m1m2 a c d b kn2 s f kn2 kn2 kn2 m kn 1 cd:0 s f 0q m db: s f

14、m kn 1 m2 kn2 q kn2 b p m为极值 d m kn2 m 练习练习 已知剪力图求载荷图及已知剪力图求载荷图及m m图（设：无集中力偶作用）图（设：无集中力偶作用） 解解: 24 /mfs图：ac： 0 ss ff 水水平平 1kn 1m m1kn s f cd: m 水水平平0 s f kn1 3 12 s f db:m0 s f mkn 2 m1m3m1 mkn 1mkn 1 m a cdb kn1 kn1 q kn1 kn2 kn1 mkn 1 mkn 3 外力图： ac: _ s f0q kn1 a pkn2 b p cd: _ s f 0q kn1 d p db:d处m突变外力偶 mkn3 d m mkn1 b m 练习练习 已知已知m m图求剪力图和外力图图求剪力图和外力图 25 a b c q qap a a2 2 a 2 8 1 qa 2 qa m a b c qa