实际问题与一元一次不等式【学案

1、实际问题与一元一次不等式适用学科数学适用年级初中二年级适用区域全国课时时长（分钟）60知识点1一元一次不等式的概念2不等式的解和解集3不等式的性质学习目标1、会列出一元一次不等式解决实际问题。2、熟练掌握一元一次不等式的解法。学习重点重点是弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式； 学习难点难点是寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型。学习过程一、复习预习1、 复习预习1一元一次不等式的概念2不等式的解和解集3不等式的性质二、知识讲解上节课知识点回顾: 考点一 一元一次不等式的概念 类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式 考点二 不

2、等式的解和解集 不等式的解：与方程类似，我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有的解的集合叫做这个不等式的解集它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴来表示 考点三 不等式的性质 性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如ab，那么acbc 性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果ab，c0，那么acbc（或） 性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果ab，c0，那么ac） 不等式的其他性质：若ab，则bb，bc，则ac；若ab，且ba，则a=

3、b；若a0，则a=0 考点四 一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向本节知识讲解: 1一元一次不等式的应用 1、列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要2、列不等式解决实际问题的一般思路和步骤：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如：、“大于”、“不大于”、“至少”、“不超

4、过”、“超过”等；（2）设：设出适当的未知数；（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（4）解：解所列的不等式；（5）答：写出答案，并检验是否符合题意。详解：（1）列不等式的关键在于确定不等关系；抽象出实际问题（包含不等关系）数学问题（列一元一次不等式）数学问题的解（xa）检验还原到（2）求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；（3）构建不等关系解应用题的流程如图所示2、实际问题中的数量关系： 1. 和、差、倍、分问题： （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。 （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现

5、。 2. 等积变形问题： “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：_x0001_ 状面积变了，周长没变； 原料体积成品体积。 3. 劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： （1）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。4. 比例分配问题： 这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。 常用等量关系：各部分之和总量。5. 数字问题 （1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1a9， 0b9， 0

6、c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n2表示；奇数用2n+1或2n1表示。6. 工程问题： 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。7. 行程问题： （1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度时间。 （2）基本类型有 相遇问题； 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。 （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图

7、来分析，理解行程问题。 8. 利润赢亏问题（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等（2）有关关系式： 商品利润=商品售价商品进价=商品标价折扣率商品进价商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价折扣率9. 储蓄问题 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税 利息=本金利率期数 本息和=本金+利息 利息税=利息税率（20%）2、 不等关键词：“大于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”、“至多”、“不少于”“低于”.三、例题精析【例题1】【题干】 解不等式x-5，并

8、把它的解集在数轴上表示出来【答案】得x2在数轴上表示解集如图所示【解析】一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形去分母，得 4（2x-1）-2（10x+1）15x-60 去括号，得8x-4-20x-215x-60 移项合并同类项，得-27x-54系数化为1，得x2在数轴上表示解集如图所示 【点评】分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变；在数轴上表示不等式

9、的解集，当解集是x时，不包括数轴上a这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是xa或xa时，包括数轴上a这一点，则这一点用黑圆点表示；解不等式（组）是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握【例题2】【题干】 若实数aNM BMNP CNPM DMPN【答案】 MPN，应选D【解析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法：其一，由于选项是确定的，我们可以用特值法，取a1内的任意值即可；其二，用作差法和不等式的传递性可得M，N，P的关系方法一：取a=2，则M=2，N=，P=，由此知MPN，应选D 方法二：由a1知a-10 又M-P=a-=0，MP； P-N=-=0，PN MPN，应选D 【点评】应用特值法来

10、解题的条件是答案必须确定如，当a1时，A与2a-2的大小关系不确定，当1a2a-2；当a=2时，a=2a-2；当a2时，a0的解集是x2，则不等式-3x+n0，x，=2 即n=6 代入-3x+n0得：-3x+62【例题4】【题干】 某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元甲乙价格/（万元/台） 7 5每台日产量/个10060 （1）按该公司要求可以有几种购买方案？ （2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？【

11、答案】可得三种购买方案： 方案一：购买乙种机器6台； 方案二：购买甲种机器1台，乙种机器5台； 方案三：购买甲种机器2台，乙种机器4台（2）列表如下：日生产量/个总购买资金/万元方案一 360 30方案二 400 32方案三 440 34 由于方案一的日生产量小于380个，因此不选择方案一；方案三比方案二多耗资2万元，故选择方案二【解析】（1）可设购买甲种机器x台，然后用x表示出购买甲，乙两种机器的实际费用，根据“本次购买机器所耗资金不能超过24万元”列不等式求解 （2）分别算出（1）中各方案每天的生产量，根据“日生产能力不低于380个”与“节约资金”两个条件选择购买方案 解：（1）设购买甲种

12、机器x台，则购买乙种机器（6-x）台，则 7x+5（6-x）34 解得x2 又x0 0x2 整数x=0，1，2 可得三种购买方案： 方案一：购买乙种机器6台； 方案二：购买甲种机器1台，乙种机器5台； 方案三：购买甲种机器2台，乙种机器4台 （2）列表如下：日生产量/个总购买资金/万元方案一 360 30方案二 400 32方案三 440 34 由于方案一的日生产量小于380个，因此不选择方案一；方案三比方案二多耗资2万元，故选择方案二 【点评】部分实际问题的解通常为整数；方案的各种情况可以用表格的形式表达 【例题5】【题干】某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工

13、人加工的童装套数为平均套数的60%为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元 （1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？ （2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？【答案】（1）设企业每套奖励x元，由题意得：200+60%150x450 解得：x2.78 因此

14、，该企业每套至少应奖励2.78元； （2）设小张在六月份加工y套，由题意得：200+5y1200， 解得y200 【解析】（1）五月份工人加工的最少套数为15060%，若设平均每套奖励x元，则该工的新工资为（200+15060%x），由题意得200+15060%x450；（2）六月份的工资由基本工资200元和奖励工资两部分组成，若设小张六月份加工了y套，则依题意可得200+5y1200（1） 设企业每套奖励x元，由题意得：200+60%150x450（2） 解得：x2.78 因此，该企业每套至少应奖励2.78元；（2）设小张在六月份加工y套，由题意得：200+5y1200， 解得y200【点评

15、】本题重点考查学生从生活实际中理解不等关系的能力，对关键词“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本例的关键四、课堂运用【基础】1.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？ 分析：“超过90分”是什么意思？本题的不等关系是什么？“超过90分”就是大于90分；不等关系是：答对的得分-答错或不答的扣分90。【答案】x 38/3【解析】解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20-x。根据他的得分要超过90，得10x-5(20-x) 9010x-100+5x 9015x 90x 38/3 思考： 这是本题的答案吗？为什么？

16、这不是本题的答案。因为x是正整数且不能大于20，所以 小明至少要答对13题。2 . 2002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55%，如果到2008年这样的比值要超过70%，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？【答案】2008年北京空气质量良好的天数至少比2002年增加56天。【解析】：2002年北京空气质量良好的天数是多少？用x表示2008年增加的空气质量良好的天数，则2008年北京空气质量良好的天数是多少？本题的不等关系是什么？2002年北京空气质量良好的天数是36555%;2008年北京空气质量良好的天数是x+36555%;不等关系是:2008

17、年北京空气质量良好的天数366 70%.解：设2008年北京空气质量良好的天数比2002年增加x天，依题意，得（x+36555%）/366 70%去分母，得x+200.5 256.2移项，合并同类项，得 x55.45思考：这是本题的答案吗？为什么？本题的答案是什么？不是。因为x为正整数。x56答：2008年北京空气质量良好的天数至少比2002年增加56天。注意：用不等式解应用问题时，要考虑问题的实际意义。例1与例2中的未知数都应是正整数。3.双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若销售1件A型服装可获利18元，销售一件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数

18、量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？【答案】所以有三种进货方案：型服装购进件，型服装购进件；B型服装购进件，型服装购进件； 型服装购进件，型服装购进件【解析】 本题的题目较长,需要仔细的读题,找到题目中的不等关系,通过设适当的未知数求解.解：设型服装购进件，则型服装购进（）件，根据题意，得解这个不等式组，得9x12.因为为整数，所以，.所以，所以有三种进货方案：型服装购进件，型服装购进件；B型服装购进件，型服装购进件； 型服装购进件，型服装购进件4.王女士看中的商品在甲、乙两商场以相同的价

19、格销售，两商场采用促销方式不同.在甲商场一次性购物超过100元，超过部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？【答案】她在甲商场购物超过150元就比在乙商场购物优惠.【解析】 题目中要求的“多少元”是指商场中商品的标价，而在算甲商场比乙商场优惠时计算的是王女士的实际花费，理清关系可列不等式进行计算.解：设她在甲商场购物x元（x100）就比在乙商场购物优惠.根据题意，得 100+0.8（x-100）150.答：她在甲商场购物超过150元就比在乙商场购物优惠.5.某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、

20、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元，现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元.（1）写出m与x之间的关系式；（2）写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的范围）；（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？最大利润是多少？【答案】 m=（x30）y=600x+1000=-1900x+75000.， 当生产甲产品25吨时，公司获

21、利最大.y最大=-190025+75000=27500（元）【解析】 计算公司获得的总利润时先计算生产1吨甲产品和1吨乙产品获得的利润，其中“生产1吨甲产品获得的利润甲产品每吨售价生产1吨甲产品需要的矿石费用生产1吨甲产品需要的煤的费用其它费用”.解：（1）根据题意，得10x+4m=300， m=（x30）（2）生产1吨甲产品获利为：4600-10200-4400-400=600；生产1吨乙产品获利为：5500-4200-8400-500=1000； y与x的函数关系式为：y=600x+1000=-1900x+75000.（3） 4x+8200， 25x30. 当生产甲产品25吨时，公司获利最

22、大.y最大=-190025+75000=27500（元）【小结】 本题是运用不等式与一次函数关系解应用题，应用函数知识解答的关键是建立函数模型，运用不等式知识求解.【巩固】1.甲，乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超过部分按原价8.5折优惠设顾客预计累计购物x元（x300） （1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由 当0.8x+60600，即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠2.

23、福林制衣厂现有24名制作服装工人，每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条 （1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？ （2）已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？3.王女士看中的商品在甲，乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同：在甲商场一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？ 4. 解不等式5-x，并把解集表示在数轴上.5

24、.解不等式组并写出不等式组的正整数解.【拔高】1.某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件 （1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的关系式；（2）若要使每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？2足球比赛的记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛8场，负了1场，得17分，请问： （1）前8场比赛中，这支球队共

25、胜了多少场？ （2）这支球队打满了14场比赛，最高能得多少分？ （3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛得分不低于29分，就可以达到预期目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标课程小结本节课我们研究了哪些内容？你掌握了哪些知识？本节课我们研究了 考点一 一元一次不等式的概念 类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式 考点二 不等式的解和解集 不等式的解：与方程类似，我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有的解的集合叫做这个不等式的解集它可以用最简单

26、的不等式表示，也可以用数轴来表示 考点三 不等式的性质 性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如ab，那么acbc 性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果ab，c0，那么acbc（或） 性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果ab，c0，那么ac） 不等式的其他性质：若ab，则bb，bc，则ac；若ab，且ba，则a=b；若a0，则a=0 考点四 一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向本节知识讲解: 1一元

27、一次不等式的应用 1、列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要2、列不等式解决实际问题的一般思路和步骤：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如：、“大于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；（2）设：设出适当的未知数；（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（4）解：解所列的不等式；（5）答：写出答案，并检验是否符合题意。详解：（1）列不等式的关键在于确定

28、不等关系；抽象出实际问题（包含不等关系）数学问题（列一元一次不等式）数学问题的解（xa）检验还原到（2）求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；（3）构建不等关系解应用题的流程如图所示2、实际问题中的数量关系： 1. 和、差、倍、分问题： （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。 （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。 2. 等积变形问题： “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：_x0001_ 状面积变了，周长没变； 原料体积成品体积。 3. 劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： （1）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。4. 比例分配问题： 这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。 常用等量关系：各部分之和总量。5. 数字问题 （1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1a9， 0b9， 0c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶