吉林大学---高数-A3作业

1、高等数学作业A吉林大学公共数学教学与研究中心2013年9月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1设 L 是圆周 x2 y2 a2 ，则 L （x2 y2）n ds （ ） （A）2 an；（B）2 an1；（C）2 a2n；（D）2 a2n 12设 L 是由（0, 0）, （2, 0）, （1, 1） 三点连成的三角形边界曲线，则Lyds （）L（A）2；（B） 2 2 ；（C）2 2 ；（ D） 2223设是锥面x2 y2 z2在 0 z1的部分，则(x2y2 )dS ()（A）0d0r3dr；（B）20d0r3dr ；（C）20d130r3dr ；（D）2 0213 d 0 r3

2、dr 4设为 x22 2 2y2 z2 a2 (z 0) ，1 是 在第一卦限中的部分，则有 （）（A）xdS4 xdS ；1（B）ydS4 xdS ；1（C）zdS4 xdS ；（D）xyzdS 4 xyzdS 11、填空 题1设曲线 L 为下半圆 y 1 x2 ，则 L （x2 y2）ds2设 L 为曲线y|x|上从x 1 到x1的一段，则 L yds3设表示曲线弧x33cost, y sint, zt ,(0 t 2 ) ，则222(x2y2 z2 )ds4设 是柱面2 x2 y2 a(a0)在0zh之间的部分，则x2dS5设 是上半 椭球面22 xy 942 z1( z 0) ， 已

3、知的面 积为 A，则(4x29y2 36z2xyz)dS三、 计 算 题a2，直线 y x及 x轴在第一象限内所围1计算 Lex2 y2ds，其中 L为圆周 x2 y2 成的扇形的整个边界 2 z2ds ，其中222 y z a , y z 0.3计 算曲 面 积 分 (xy yz zx)dS , 其中 曲 面 :z x2 y2 被 柱面 x2 y2 2x 所截得部分。4 之间的柱面 x2 y2 4 4求 2 dS2 2 ，其中 是介于 z 0 与 z x 2 y 2 z2四、应用题R2 所围立体的表面积1求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2 y2 R2及 x2 z22求面密度1的均匀半球壳 x

4、2 y2 z2 a2 (z 0) 关于 z轴的转动惯量第二次作业学院 班级 姓名 学号、 单项选择题1设 L 是圆周x2y2a2L(x3(a 0) 负向一周，则曲线积分 x2 y)dx (xy2 y3)dy (23.A)0；设 L 是椭圆4x24a；2y2 8x 沿逆时针方向，则曲线积分B)C) a4 ；y2L e dx xdy () B) ；(C) 1；A) 2 ；设 曲 线 积 分 L xy2dx y (x)dy 与 路 径 无 关 ， 其 中y (x)dy 等于( )(1,1) 2(0) 0，则 (01,01) xy2dx( A) 384已知 (x ay)dy(x A ) 1；B) 12

5、ydx 为某函数的全微分，则 a (C)34D) a4(D)0(x) 具有连 续的导数 ，且D)1y)2(B)0；)正确C)2D)1二、填空 题1设 L 为 x2 (y2设 L 为封闭折线1)2 4 正向一周，则 L 2xdy ydx2L x2 (y 1)222|x| | x y| 1正向一周，则 Lx2y2dx cos(x y)dy Lx3设 L 为 y 0 tantdt 从 x=0 到 x一段弧，将 LP(x, y)dx Q(x, y )dy化为第一型0 4 L曲线积分为24设 L 为封闭折线 |x| |y| 1沿顺时针方向，则L 2xydx x dy三、计 算 题1计算 L y2dx x

6、dy ，其中 L 是抛物线 y x2上从点 A(1,1)到 B( 1,1) ，再沿直线到 C(0, 2) 的曲线2计算 L(x2 y)dx (x sin y)dy ，其中 L 是圆周 y 2x x2 上从 A(2, 0)到 O(0, 0) 的一段弧3设 f(x) 在( , ) 内具有一阶连续导数， L 是半平面 (y 0)内的有向分段光滑 曲线，其起点为 (a,b) ，终点为 (c,d) 证明1 2 x 21 y2 f (xy)dx 2 y2 f(xy) 1dyyy1)证明曲线积分 I 与路径 L 无关2)当 ab cd 时，求 I 的值4 设力 F yi 2 xj ，证明力 F 在上半平面内

7、所作的功与路径无关，并求从点 yA(1,2) 到点 B(2,1) 力 F 所作的功5计算 I AMB ( y )cos xydx( y)sin xdy ，其中 AMB 在连结点 A( ,2) 与B(3 ,4) 的线段之下方的任意路线，且该路线与 AB 所围成的面积为 2， (y) 具有连续的导数。四证明题zdx xdyydz 的上界。证明Pdx QdyRdzP2 Q2R2ds，并由此估计2222其中 为球面 xyz a 与平面 x yz 0 的交线并已取定方向第三次作业学院班级姓名学号一、 单项选择题1设 是球面 x2222y z a (a0）外侧，则曲面积分222(x2 y2z2 )dxdy

8、 ( ) （A）0；2243 a（B） 4 a2 ；（C ） a2 ；（D）32设空间闭区域2由曲面 z a2x2 y2与平面 z 0 围成 （a 0），记 的表面外侧为 ， 的体积为 V，则 Ix2 yz2dydz xy2 z2dzdx z(1 xyz)dxdy ( )（A）0；（B）V；（C）2V；（D）3V.3设 是球面 x222y2 z2a2 的外侧，则曲面积分xdydzydzdx zdxdy (3(）22 2 2(x2y2 z2 )2（A）0；（B）1；（C） 2 ；（ D） 4 4 设 Ix2dydzy2dzdxz2 dxdy ，其中 为锥面 x222 yz介于平面 z 0 及 z

9、 h之间部分的下侧，则 I（）（A） 1 h4 ；（B）h4(C) 1 h4 ；（D）h422二、填空 题1设 为球面 x2 y2 z2 9 ，法向量向外，则zdxdy 2向量场 A xy2i yezj xln（1 z2）k 在点 M （1,1,0）处的散度 divA=3设向量场 A （z siny）i （z xcosy）j ，则 rotA 4 设 是 平 面 3x 2y 2 3z 6 在 第 一 卦 限 部 分 的 下 侧 ， 则 I Pdydz Qdzdx Rdxdy 化为对面积的曲面积分为 I 5设 为球面 x2 y2 z2 a2 ，法向量向外，则x3dydz26设 u x2 2y yz

10、 ，则 div（grad u ） 三、计 算 题1计算 x2ycos ds，其中 是球面 x2 y2 z2 a2 的下半球面，法线朝上， 法线正向与 z 轴正向的夹角。2计算f (x, y, z) x dydz2f(x, y,x) y dzdxf ( x, y, z) z dxdy ，f (x, y,z) 为连续函数，为平面 x y z 1 在第四卦限部分的上侧。3计算曲面积分 Ix3dydz y3dzdx z3 dxdyrrr22其中,rx2 y2 z2,: x4 y9 z2 1 方向外侧4计算 I2 x3dydz 2y 3dzdx 3( z2 1)dxdy ，其中是曲面 z 1 x2 y2

11、 (z 0) 的上侧1的交线，5计算 Iy2dx xdy z2dz ，其中 是平面 y z 2 与柱面 x2 y2从 z 轴正向看去， 取逆时针方向6. 计算曲面积分 I(x y)2z2 2yz dS, 其中是球面 x222 yz2x2z.第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题）1设 0 an n1（n 1, 2, 3, ） ，则下列级数中肯定收敛的是 （A）an ；（B）( 1)nan ；n1n12若级数unvn 都发散，则 ( )n1n1（A）n(un1vn） 发散；（C）n(|un1| |vn|) 发散；C)an ；n1D）ann1n3设级数 un 收敛，则必收敛的级数为 n1A

12、）( 1)n un ；n 1 nC）(u2n 1 u2n) ；n14设 a 为常数，则级数n（A ）绝对收敛； （ B）sin 11 n 2n条件收敛；（B ） unvn 发散； n1（D） （un2 vn2） 发散n1（） （B ） un2 ； n1（D） （un un 1） n1）（C）发散；（D）收敛性取决于 a 的值n15设 an （ 1）n ln（1 ） ，下列结论中正确的是（ ） nA）级数 an 和 an2 都收敛n 1 n 1B）级数 an 和 an2 都发散n 1 n 1c）级数 an 收敛，而an2 都发散n 1 n 1D）级数an 发散，而an2 收敛n 1 n 16设u

13、n0（n 1,2,3,）,且lnimunn1,则级数（1）n 1u1nun11（ ）.n n 1（A） 发散 ; （B） 绝对收敛 ;（ C）条件收敛 ; （D） 收敛性根据条件不能确定 .、填空 题1若级数 ( 1)n 1un 2, u2n 1 5，则级数 un = n 1 n 1 n 112设级数1p 收敛，则 p 满足什么条件n 1 nln p n3当 a 时，级数 an 的收敛 n1三、 计 算 题1判别级数1 n (a 0) 的敛散性n 1 n a n2求级数n1lnn 312nn (n 1)的和是否收敛？4判别级数3设正项数列 an 单调减少，且 ( 1)nan 发散，试问级数 n

14、1并说明理由a n!5判别级数a nn! 的敛散性( a 0 )n 2 n n26讨论级数( 1)n nn (a 0) 的敛散性n 1 a四证明题1若正项数列 an 单调增加且有上界，证明 ln 2 an 收敛 n 1an 12若级数 an 绝对收敛，证明an 绝对收敛n 1n 1 an 1学院班级、 单项选择题1设lnim aann12，2345.bn1A) R 2已知函数nA ）发散；第五次作业则幂级数B) R2n anx11；2姓名1 的收敛半径（C) R2）学号； （ D） Ran(x 1)n 在 x02 处收敛，则在 xB）条件收敛；1 幂级数 1n x n 1 n3n 11 A)-

15、 3, 3； 2x展开为 x 的幂级数是nA ) x ；n 0 n!的收敛域是 （B）B）C）0 处，该级数为（ ）绝对收敛； （ D）收敛性不定2设 f (x) x2(0120 f (x)sin nA ) 14填空 题若幂级数2设幂级数3幂级数n11- 13,13)；() n( 1)nxn 0 n!C）C）-3, 3；n(xln2)n ；n!D）D） 3,3) n (xln2)n 0nx 1) ，而 s(x)xdx,n 1,2,B) 14n an x1n anx1n1bn sinnx,xD），在 x 2 处条件收敛，则幂级数收敛半径为的收敛半径为 2，则幂级数 nan（x 1）n 1n1其中

16、的收敛区间为1 2n ( 3)n x2n 的收敛半径为4设 函数 f(x) x2,x 0,1 ，而 s(x) a0 2an cosn x, n1x(），其中an 2 0 f (x)cos n xdx,n 0,1, 2, ，则 s( 1)的值为三、 计 算 题1设幂级数n xn 1 ，求n 1 n!（ 1）收敛域及其和函数；（2） n 12n 的和。n 1 n!2将函数 f （x）sint dt 展开成x 的幂级数3求幂级数 n134利用幂级数求n 的和n 1 n2nn x2n1的收敛域5将函数 f ( x)x2 15x 6在 x4点展成幂级数6求幂级数n1nx n 的和函数7设 f (x) 是

17、周期为与其和函数，并求级数nx, 0 x 1,2 的周期函数，且 f (x) 写出 f (x) 的傅里叶级数0, 1 x 2,1 2 的和1 (2 n 1)2学院班级解，1234、单项选择题设函数 y(x) 满足微分方程A)1；e若 y1, y2 是方程应满足关系式A)方程A)C)1；x(ln x ln y)dy第六次作业姓名学号xyy y2 ln x0 。且在 x 1 时 y1 ，则在 x e 时，B) 12p(x)y)B)ydx可分离变量方程；全微分方程；设函数 y(x) 满足微分方程A)4；B)；4二、填空 题1常微分方程xy2常微分方程(3x234f (x)C)2；D)eq(x)(q(

18、x) 0) 的两个解，要使0；( C)y11 ； (D)0 是(B)D)2cos xyy2 也是該方程的0)齐次方程；一阶线性非齐次方程y tanx，且当 x 4时y 0。则当 x 0时C) 1； (D)1 yln y 的通解是6xy2 )dx(6x2y4y2 )dy 0 的通解是设 f (x) 连续可微，且满足若曲线 积分 Cyf(x)dx三、 计 算 题f (x)f (x)0xe f(x)dx，则 f (x)x2 dy 与 路 径 无 关 ， 其 中 f(x) 可 导 ， 则1 求解微分方程xy y(ln y ln x) 2求解微分方程( y2 6x)y 2y 03 求解微分方程sin x

19、 ysin x y4求微分方程 y dx (y3 ln x)dy 0 的通解 x5求解微分方程xy ln x sin y cos y(1x cos y) 0 第七次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1设线性无关的函数y1(x), y2(x), y3(x) 均是方程 y p(x)y q(x)y f (x) 的解，C1,C2 是任意常数，则该方程的通解是( )(A)C1y1 C2 y2y3；(B)C1y1 C2 y2(C1C2)y3；(C)C1y1 C2 y2(1C1C2 )y3 ；(D)C1y1 C2 y2(1C1C2)y32若2是微分方程ypy2xqye2 x的特征方程的一个单根，则该微

20、分方程必有个特解y* ()(A)2xAe2x ； (B)2xAxe； ( C)2 2x 2x Ax e ； ( D) xe 3方程y 3y 2yx ecos2x 的特解形式为 ()(A)ex(C1 cos2xC2sin 2x) ；(B) C1ex cos2x；(C)xex (C1 cos2xC2 sin 2 x) ；(D) C2exsin2x4以 y12cos x, y2sinx 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是() (A)y y 0 ；(B) y y 0 ；(C)y y 0 ；(D) y y 0二、填空 题1若 y1, y2, y3 是二阶非齐次线性微分方程 y p(x)y q(x)y

21、f(x) 的线性无关的 解，则用 y1, y2, y3 表达此方程的通解为2微分方程 2y(4) 2y(3) 5y 0 的通解为 3微分方程 y y 1 的通解 y 4以 y 2ex cos3x 为一个特解的二阶常系数线性微分方程为5 y 5y 6y exsin x 6的一个特解形式为三、计 算 题1求解微分方程y y 2 1,y|x 0 0, y |x 0 12求微分方程 y ay 0的通解，其中 a 为常数3求微分方程 y 4y 2x 2在原点处与直线 y x 相切的特解4求微分方程 y y sin2 x 的通解四、综合题设 f (x) 具有二阶连续导数， f (0) 0，f (0) 1

22、，且2xy(x y) f(x)ydx f (x) x2ydy 0 是全微分方程，求 f (x)及此全微分方程的通解1设 L为椭圆 ax2 by2 1的顺时针方向，则（A）2ab（B）2 ab（C）2222222设xy z 1.:x yz 10，-1）到（0，0，1）则以下计算（）错误（A）zdV0 （ B）zds 0（C）3设an 为正项级数，下列结论中正确的是（、单项选择题22（A）若 lnim nan 0，则级数an 收敛；n n 1（ B）若存在非零常数，使得 lim nann（C）若级数 an 收敛，则 lim n2a 0；n 1 n（D）若级数 an 发散，则存在非零常数 n1 4若

23、 lnim n 1 1 ，则幂级数 an x2nnan4 n 0 n（A）当|x|2 时绝对收敛；（C）当|x|4 时绝对收敛；5设 y f （x） 是方程 y y esinx 的解，（A）在点 x0 的某邻域内单调增加；（C）在点 x0 处取极小值二、填空题1L 为上半圆周 y 1 x2 ，则 L （x综合练习题学院 班级 姓名 学号L（x y）dx （y x）dy （ ） L0（D） 22 2 2.r :x y z 1， x 0（y 0） 由（0，r zds 0（ D） r zdy 0），则级数 an 发散；n1，使得 lim nann）1B）当 |x| 1 时绝对发散；41D）当 |x|

24、 时绝对发散2并且 f （x0） 0，则 f（x） （）（B）在点 x0 的某邻域内单调减少；（D）在点 x0 处取极大值2设 是柱面 x2 y2 1在 0 z 2之间的部分，则y2dS2x3设为 L 椭圆 x44周期为 2 的函数3 1，其周长为 a，则 L(2xyf (x) ，它在一个周期内的表达式为3x2 4y2 )dsf(x) x, 1 x 1 ，设它的傅里叶级数的和函数为 s(x) ，则 s 3 25以 y1(x) sin x, y2(x) cos x为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是6曲面 :|x| | y| |z| 1，则 (x | y |)dS 三、 计 算 题1 2 21

25、计算 I dS ，其中 为锥面 z x2 y2 被柱面 x2 y2 2x 截得的有限部 z分2计算曲线积分ONA (2 x sin y y)dx ( x2 cos y 1)dy ，其中 ONA为连接点 O(0, 0)和A(2, ) 的任何路径，但与直线 OA 围成的图形 ONAO 有定面积2z2x3设函数 f(u) 在(0, ) 内具有二阶导数，且 z f( x2 y2 )满足等式0)验证： f (u) f (u) 0 ；u)若 f (1) 0, f (1) 1，求函数 f (u)的表达式24计算 Ixzdydz 2 zydzdx 3xydxdy 其中 为曲 z 1 x 2 y (0 z 1)

26、 的上侧41 1 x 15将函数 f(x) 1ln1 x 1 arctan x x展开成 x 的幂级数4 1 x 26已知齐次方程(x 1)y xy y 0 的通解为Y(x) c1x c2ex 求非齐次方程 (x 1)y xy y (x 1)2 的通解7. 设u u(r) 具有二阶导数。 uu( x2y2) 满足方程22uu1u2222u x yxyxx求 u( x2 y2) 的表达式。四、证明题0 ，级数an 收敛n1n/4设 an(tan x) n d x,n 1,2,3, 证明：对任意常数综合模拟题(一)学院班级姓名学号、单选题(共 6 道小题，每小题 3分，满分 18分)1. 设 L

27、是光滑的，包含原点的正向闭曲线，则曲线积分xdy ydxLL x22 ( ). y(A)0 ; (B)2(C)(D)-2. 设曲面为xz 1 在第一卦限部分的下侧，zdxdy( ).1(A) 1 ;6(B)(C)(D)3. 级数n(A)-1,1;1 xn1 x 的收敛域是 n(B) (-1,1;).(C) -1,1);(D)(-1,1).4. 级数nsin2nn().(A) 发散；(B)条件收敛；(C) 绝对收敛；(D)收敛性与取值有关，不能确定 .(A) 发散；(B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定 .x 2x6. 已知 y1 xe e , y2xex e x 是二队常系

28、数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为( ) .2x(A) y 2y y e2x;(B)2xy y 2y xe ;(C) y y e2x ;(D)y y 2y ex 2xex .二、 填空题 (共 6 道小题，1. 设 半 圆 形 曲 线 x2 y2每小题 3 分，满分 18 分)R2 y 0 的 线 密 度1. 则 其 对 y 轴 的 转 动 惯 量1nn15. 已知幂级数anxn在 x 2处收敛，则an () .1为2 2 22. 设 是 yoz平面上的圆域 y2 z2 1 ，则 x2 y2 z2 ds 3. 设 是 平 面 x y z 1 在 第 一 卦 限 部 分 的 上 侧 ， 则

29、 I P x,y,z dydzQ x,y,z dzdx R x,y,z dxdy 化成对面积积分为 I= 4. 设向量场 A z, 3x, 2y ，则其旋度为5. 微分方程 6x y dx xdy 0 的通解是6. 微分方程 y y y 2=0 满足 y 0 1, y 0 1 的解为三、计算题 (共 5道小题，每小题 8 分，满分 40分)1. 求曲面积分2x z dydz zdxdy, 其中 为抛物面 z x2+y2(0 z 1)上侧 .12. 判断级数nsin 2xdx 的敛散性 .n 1 0 1 x2x23. 将函数 f x x 展开成 x 1的幂级数 .4. 求微分方程 xy y xy

30、2 ln x 的通解 .5. 将函数 f xx 0 x 展开成余弦级数四、计算题（共2 道小题，每小题 12 分，满分24 分）1. 求级数2n1n114n2 1的和2. 设 f x 具有连续的二阶导数， f 0 0 , f x 1, 且对于 xoy 平面内任意一条正 向光滑封闭曲线 sin x f x ydx f x dy 0.求 f x .综合模拟题（二）学院 班级 姓名 学号一、选择题（共5 道小题，每小题3 分，满分 15 分）1. 已知 为空间曲面 x2 y2 z 0z 1 的上侧，则下列选项正确的是（） .(A)xzdydz 0;(B) xydydz 0;(C)yzdxdz0;(D) zdxdy 0;2.设 f xa 0 x0b x 0a0a b , g xan cosnx2 n 1bn sinnx , 其 中1f x dx,an11f x cosnx dx ,bnf x sinnx dx ,则（）(A)f 0 g(0)(B) f 0 g(0) ;(C)f 0 g(0)（D） f 0 与g（0）的大小关系不定 ;3.