因式分解讲义1

1、环球雅思学科教师辅导教案授课主题因式分解教学目标1、 使学生理解并掌握因式分解的概念2、 能够熟练的运用提公因式法公式法、分组分解法、十字相乘法来解决常见的因 式分解题授课日期及时段教学内容因式分解知识点一：因式分解的概念及注意事项 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用， 在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，

2、应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；知识点二：因式分解基本方法方法一提公因式法1 、提公因式法分解因式的一般形式，如 : ma+mb+mc=m （ a+b+c ）.这里的字母 a、b、c、m 可以是一个系数不为 1 的、多字母的、幂指数大于 1 的整式 .2 、提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式 .3 、找公因式的一般步骤(1 )若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；(2 )取相同的字母，字母的指数取较低的；(3 )取相同的多项式，多项式的指数取较低的.(4 )所有这些因式的乘积即为公因式 .4 、注意事项： 多项式的公因式应是各项所共有

3、的最高因式，公因式的系数原则上是不定的。但对整系数的多项式， 其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数；对分数系数的多项式，其公因式的系数一般取所有分母的 最小公倍数分之一；公因式的字母取各项共有的字母，各相同字母的指数取其次数最低的。公因式可以是 单项式也可以是多项式，有时要进行适当变形才能出现公因式。题型展示：1、将下列各式分解因式： (1 ) 3a(x y) - 2b(x y) ;(2) 12(m n)2 18(m n)3;(3) 3(2x y) 6( y 2x)3;1 2 2 3 2 2 2(4) a2b(p2 q)ab2 (q p2)2;482 、下列分解因式结果正确的是 ( )A.

4、 6(x 2) x(2 x) (x 2)(6 x) B. x 3 2x2 x x(x 2 2x) 22C. a(a b)2 ab(a b) a(a b)D. 3x2n 6xn 3xn(x 2)提高练习1、如果 ba= 6， ab=7，那么 a b ab 的值是 ( )A.42B. 42C.13D. 133 2 22、若 4x36x2=2x2(2x+k) ，则 k=.3、.2( ab) 34(ba)2=2(ab)2().4、.36 291233=.5、分解因式22(1) (x y)(x y) (x y)2 (2)8a(x y)2 4b(y x)6. 计算与求值29 20.03+72 20.03+

5、13 20.03 1420.03.7、. 先化简，再求值11 a(8a)+b(a8) c(8 a)，其中 a=1，b= ，c= .221 4 3 3 48、已知 2x y ， xy 2，求 2x4y3 x3y4的值 .8方法二公式法【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。22 主要有：平方差公式a 2b 2(ab)(ab)完全平方公式a 22abb2(ab)23 3 2 2 立方和、立方差公式a 3 b3 (a b) (a2 ab b2)运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当 的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求

6、代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。面我们就来学习用公式法进行因式分解题型展示：111例 1. 已知： a m 1，bm 2，cm 3 ，2222 2 2求 a2 2ab b2 2ac c2 2bc 的值。解： a2 2ab b2 2ac c2 2bc22(a b)2 2c(a b) c22(a b c) 211 a m 1， bm 2 ，222原式 (a b c) 2(21m 1)11(12m 2) (21 m 3)12m4说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变

7、形后再把条件带入，从而简化计算过程。例 2. 已知 a b c 0， a3 b 3 c3 0，555求证： a5 b5 c5 03 33 2 2 2证明： a 3b3c33abc (a b c)(a2b2c2ab bc ca)把 a b c 0，a3 b3 c3 0 代入上式，可得 abc 0，即 a 0或 b 0或 c 0若 a 0 ，则 bc ，a5 b5 c5 0若b 0或 c 0 ，同理也有 a5 b5 c5 0 说明：利用补充公式确定 a，b，c 的值，命题得证。例 3. 若 x3 y3 27，x2 xy y2 9，求 x2 y2 的值。3 3 2 2解： x3 y3 (x y)(x

8、2 xy y2) 2722且 x xy y 922x y 3， x2 2xy y2 9 (1)22又 x2 xy y2 9 (2)两式相减得 xy 022所以 x2 y2 9 说明：按常规需求出 x，y 的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。常见题型：32例 1：因式分解： x3 4xy2 。3 2 2 2解： x3 4xy2 x(x2 4y2 ) x(x 2y)(x 2y) 说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。3 2 2 3例 2：分解因式： 2x3y 8x2 y2 8xy3 。3 2 2 3 2 2 2 解： 2x3y 8x2

9、y2 8xy3 2xy(x2 4xy 4y2) 2xy(x 2y)2 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。提高练习1. 利用提公因式法简化计算过程987987987987例：计算 123 987 268 987 456 987 521 98713681368136813682. 分解因式：(1) 4m2n3 12m3n2 2mn(2) a2xn 2 abxn 1 acxn adxn 1(n 为正整数)3 2 2 2(3) a(a b)3 2a2 (b a)2 2ab(b a)23. 计算： ( 2)11 ( 2)10 的结果是()100A. 210010B. 210C. 2D. 1方

10、法三分组分解法【知识精读】 把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行分组时要用到添括号：括号前是“ +”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分 组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察” ，分析 多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元 二次方程，函数等学习中也有重要作用。题型展示：2 2 2 例 1. 分

11、解因式： m2 (n2 1) 4mn n2 1解： m2 (n2 1) 4mn n2 1m 2n2 m2 4mn n 2 1 (m2n2 2mn 1) (m2 2mn n2 )22(mn 1)2 (m n) 2(mn m n 1)(mn m n 1)说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn 分成 2mn 和 2mn，配成完全平方和平方差公式。例 2. 已知： a2 b2 1，c2 d2 1，且ac bd 0，求 ab+cd 的值。解： ab+cd= ab 1 cd 1 ab(c2 d2) cd(a2 b2 ) abc2 abd2 cda2 cdb 2 (abc2 cdb

12、2) (abd2 cda2 ) bc(ac bd) ad(bd ac) (ac bd)( bc ad)ac bd 0 原式 0说明：首先要充分利用已知条件 a2 b2 1，c2 d2 1 中的 1(任何数乘以 1，其值不变)，其次利用 分解因式将式子变形成含有 ac+bd 因式乘积的形式，由 ac+bd=0 可算出结果。例 3. 分解因式： x 3 2x 3分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当 x=1 时，它的值为 0 ，这就意味着 x 1是x 3 2x 3的一个因式，因此变形的目的是凑 x 1这个因式。解一(拆项) ：3 3 3x 2x 3 3x 3 2x 2x223(x

13、 1)(x2 x 1) 2x(x2 1) (x 1)(x 2 x 3)解二(添项) ： x3 2x 3 x 3 x2 x2 2x 32x2 (x 1) (x 1)(x 3)2(x 1)(x 2 x 3)说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？常见题型22例 1.分解因式： 1 m 2 n2 2mn 。解： 1 m 2 n2 2mn1 (m2 2mn n2)1 (m n)2(1 m n)(1 m n) 说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解 到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。2

14、2例 2分解因式： x2 y2 x y 解： x2 y2 x y (x2 y2 ) (x y)(x y)(x y) (x y) (x y)(x y 1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例 3. 分解因式： x 3 3x 2 4x 12 解： x 3 3x2 4x 12 x 3 4x 3x2 12x(x 2 4) 3(x2 4) (x 3)(x 2)(x 2)说明：分组的目的是能够继续分解。提高练习1. 填空题：(1)分解因式： a2 3a b2 3b( 2)分解因式： x2 2x 4xy 4y2 4y( 3)分解因式： 1 mn(1 mn) m3n32. 已知：

15、a b c 0，求 a3 a2c abc b2c b3 的值。方法四十字相乘法【知识精读】对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2 (a b)x ab x a x b 进行因式分解。 掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数， 即把常 数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项 ax2 bx c(a、b、c 都是整数，且 a 0 )来说，如果存在四个整数 a1，c1，a2，c22满 足 a1a2 a，c1c2 c ， 并 且 a1c2 a2c1 b ， 那 么 二 次 三 项 式 ax2 bx c 即 2a1a2x2a1c2a2c1 xc1c2可以分解为a

16、1xc1a2xc2。这里要确定四个常数a1，c1，a2，c2 ，分析和尝试都要比首项系数是 1 的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。题型展示22例 1. 若 x2 y2 mx 5y 6能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为( )A. 1B. -1C. 1 D. 222解： x y mx 5y 6 x y x y mx 5y 6-6 可分解成 2 3或 3 2 ，因此，存在两种情况：（1） x+y-2（2）x+y-3x-yx-y3x-y2由（ 1）可得： 故选择 C 。m 1 ，由（ 1）可得：m1说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观

17、察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系 数法确定其系数，这是一种常用的方法。2例 2. 已知： a、 b、 c 为互不相等的数，且满足 a c 4 b a c b 。求证： a b b c2证明： a c 4 b a c ba c 4 b a c b 02 2 2a2 2ac c2 4bc 4ac 4ab 4b2 022a c 2 4b a c 4b2 02a c 2b 2 0a c 2b 0 a b b c 说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例 3. 若 x3 5x2 7x a 有一因式 x 1 。求 a，并将原式因式分解。32 解： x3 5x2 7x a 有一因式 x

18、 1当 x 1 0 ，即 x 1时， x3 5x2 7x a 0a3 x3 5x2 7x 3 x3 x2 4x2 4x 3x 32x2 x 1 4x x 1 3 x 1x 1 x2 4x 3x 1 x 1 x 32x 1 2 x 3说明：由条件知， x 1 时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是 x 1，分解时尽量出现 x 1 ，从而分解彻底。常见题型4 22 22例 1.把 4x4y2 5x2 y2 9 y 2分解因式的结果是 。4 22 22解： 4x y 5x y 9y2 4 2 y2 4x4 5x2 92 2 2 y2 4x2 9 x2 122y2 x 2 1 2x 3

19、2x 3 说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。2例 2.：因式分解： 6x2 7x 5 解： 6x 2 7x 5 2x 1 3x 5 说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。1 (m2 2mn n2)1 (m n)2(1 m n)(1 m n) 说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解 到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。22 例 2分解因式： x2 y2 x y 解： x2 y2 x y (x2 y2 ) (x y)(x y)(x y) (x y)(x y)(x y 1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公