四勾股定理知识点与常见题型总结

1、勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ， b ，斜边为 c ，那么 a2 b2 c2 。勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾三，股四，弦五 ”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直 角边的平方和等于斜边的平方。 .勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： 图形进过割补拼接后

2、，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 常见方法如下：方法一： 4S S正方形EFGH S正方形ABCD， 4 1ab (b a)2 c2 ，化简可证D方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 1ab c2 2ab c2 ，22 2 2 2 2 2大正方形面积为 S (a b)2 a2 2ab b2,所以 a2 b2 c2.方法三：111 2S梯形(a b) (a b) ， S梯形 2S ADE S ABE 2 ab c ，化简得证。222 .勾股定理的适用

3、范围勾股定理揭示了直角三角形三条之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和 钝角三角形来说就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 .勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在 ABC 中， C 90 ，则 c a2 b2 ， b c2 a2 ，a c2 b2 。 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。 可运用勾股定理解决一些实际问题。 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a，b，c 满足 a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它

4、通过 “数转化为形 ”来确定 三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方 c2 作比较，若它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若 a2 b2 c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是钝角三角形；若 a2 b2 c2 ，时，以 a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形； 定理中 a， b， c及a2 b2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足 a2 c2 b2 ，那么以 a， b ， c为三边的三角形是直角三角形，但是 b为斜边； 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等

5、于两条直角边的平方和时，这个三角 形是直角三角形。.勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 b2 c2 中， a ， b ， c 为正整数时， 称a，b， c为一组勾股数； 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等； 用含字母的代数式表示 n 组勾股数：n2 1,2n, n2 1（n 2, n为正整数）； 2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1（ n为正整数）；m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m ， n为正整数）。 .勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角

6、三角形中线段之间的关系的证明问 题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什 么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使 用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在 具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和 与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通 过逆定理判定一

7、个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题 的解决常见图形：题型一：直接考查勾股定理例.在 ABC中， C 90 已知 AC 6，BC 8求 AB的长；已知 AB 17， AC 15，求 BC 的长。解： AB AC2 BC2 10； BC AB2 AC2 8题型二：应用勾股定理建立方程例 .在 ABC中， ACB 90 ， AB 5 cm， BC 3cm，CD AB于 D， CD；已知直角三角形的两直角边长之比为3: 4，斜边长为 15 ，则这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为 30 cm ，斜边长为 13 cm ，则这个三角形的面积为。AB解： AC A

8、B2 BC2 4， CD AC BC 2.4设两直角边的长分别为 3k，4k (3k)2 (4k)2 152， k 3， S 54设两直角边分别为 a，b，则 a b 17， a2 b2 289 ，可得 ab 60 S 1ab 30。2 例.如图 ABC中， C 90 ， 1 2，CD 1.5， BD 2.5，求 AC的长。解：作 DE AB于 E，1 2 ， C 90 DE CD 1.5在 BDE中， BED 90 ,BE BD2 DE 2 2， Rt ACD Rt AED， AC AE在 Rt ABC中， C 90 ， AB2 AC2 BC2， (AE EB)2 AC2 42 AC 3例4

9、. 如图，RtABC中，AB=9，BC=6，B=90，将ABC 折叠，使 A点与BC的中点 D重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为( ) ABC4D 5解：设 BN=x，由折叠的性质可得 DN=AN=9x， D 是 BC 的中点， BD=3， 在 RtABC 中，x2+32=(9x)2，解得 x=4故线段 BN 的长为 4故选： C例 5.已知长方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm在, 边 CD上取一点 E，将 ADE折叠使点 D 恰好落在 BC边上的点 F，求 CE的长 .解：根据题意得 Rt ADE Rt AEF， AFE=90, AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm

10、，则 DE=EF=CD CE=8 x在 RtABF中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，即 82+BF2=102， BF=6cm， CF=BC BF=10 6=4(cm) 在RtECF中由勾股定理可得： EF2=CE2+CF2，即(8 x) 2 =x2+4226416x+x2=2+16， x=3(cm), 即 CE=3 cm。题型三：实际问题中应用勾股定理例 6. 如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）解：如图所示，过 D 点作 DEAB ，垂足为 E。AB=13 ，CD=8 又 BE=CD ，DE=BC AE=AB BE=AB CD

11、=13 8=52 2 2 2 2在 RtADE 中， DE=BC=12 ， AD =AE +DE =12 +5 =144+25=169， AD=13 （负值舍去）。 答：小鸟飞行的最短路程为 13m例 7.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、 3、 2，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到25解：如图所示，三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（B 点最短路程是蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 x，由勾股定理得： x2=202+ （2+3）32=25

12、2， 解得： x=25 故答案为 25例 8.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从 A 点爬到 B 点，那么沿哪条路最近， 最短的路程是多少？已知长方体的长 2cm、宽为 1cm、高为 4cm 解：如图：根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿 AA ，AC，CB，BB 剪开，得图（ 1）AB 2=AB 2+BB 2=（2+1） 2+4 2=25；222 22（2）沿 AC，CC，CB，BD，DA，AA 剪开，得图（ 2）AB 2=AC 2+B C2=22+（ 4+1） 2=4+25=29 ；222 22（3）沿 AD，DD，BD，CB，CA，AA剪开，得图（ 3）AB 2=AD 2+B

13、 D2=12+（ 4+2）2=1+36=37 ； 综上所述，最短路径应为（ 1）所示，所以 AB 2=25，即 AB =5cm 例 9.如图， RtABC中，AC=5，BC=12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为S 阴影 =（12）2解：由勾股定理 AB= 52 122 =13，根据题意得：1例 10.等腰直角 ABC中， BC=AC=1，以斜边 样构造下去 ，则 AB3=； ABn=21 +2AB 和长度为 1 的边25 ）2-1 （ 13 ）2- 1 512=30225 2 1 ( 222BB1 为直角边构造直角 ABB1，如图，这解：等腰直角 ABC中， BC=AC=

14、1， AB= 2 ， BB1=1， ABB1=90， AB1= 3同理可得： AB2=2， AB3= 5 ； AB、AB1、 AB2、 AB3 的值可知 ABn= n 2 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形。例 11.已知三角形的三边长为a， a 1.5 ，b 2 ， c 2.5解： a2 b2，c ，判定 ABC是否为 Rt ： a 5 ， b 1 ， c 2 4322c2 2.52 6.25 ABC 是直角三角形且 C 90 ；221.52 22 6.25 ，13， a2 25， b2 c2 a2ABC不是直角三角形。9 16例 12.三边长为 a ， b ， c

15、满足 a b 10 ， ab 18， c 8 的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形。 b2 c2理由： a2 b2 (a b)2 2ab 64 ，且 c2 64 ； a2 b2 c2 所以此三角形是直角三角形。题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 13.如图，在单位正方形组成的网格图中标有 形三边的线段是 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角2 2 2 2 2 1，则 AB 2=22+22 =8， CD 2=22222解：设小正方形的边长为 因为 AB 2+EF 2=GH 2，所以能 构成一个直角三角形三边的线段是 例14.已知 ABC中， AB 13 cm ， BC 10 cm， BC边上的中线 AD 12 cm ，求证： AB AC证明： AD为中线， BD DC 5 cm 在 ABD 中， AD2 BD2 169， AB2 169 AD2 BD2 AB2， ADB 90 ， AC2 AD2 DC2 1