圆锥曲线与方程知识总结

1、高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固 知识网络 知识要点梳理 知识点一：圆锥曲线的统一定义 椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。 平面内， 到一定点的距离与它到一条定直线 （不经过定点） 的距离之比是常数 e 的点的 轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率。 e（ 0， 1）时轨迹是椭圆； e=1 时轨迹是抛物线； e（ 1，+）时轨迹是双曲线。 知识点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质 1椭圆： （1）定义：平面内到两个定点 F1、F2的距离之和等于常数 （大于 |F1F2|） 的点的轨迹叫椭 圆，这两个定点叫焦点 （2）标准方程 当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其

2、中 ； 当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ； （3） 椭圆 的的简单几何性质 范围： ， 焦点 ，顶点 、 ，长轴长 = ，短轴长 = ，焦距 ， 2双曲线 (1) 定义：平面内与两个定点 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 ( 小于|F1F2|) 轨迹叫做双曲线 , 这两个定点叫双曲线的焦点 (2) 标准方程 当焦 点在 轴 上时， 双曲线 的标准方 程： ； 当焦 点在 轴 上时，双曲线 的标准方 程： . (3) 双曲线 的简单几何性质 范围： ， ； 焦点 ，顶点 ，实轴长 = ，虚轴长 = ，焦距 ； 离心率是 ，准线方程是 ； 渐近线： . 3抛物线 (1) 定义 :平

3、面内与一个定点 F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线 (2) 标准方程 的点的 ，其中 ，其中 定点 四种形式： ， ， ， 。 (3) 抛物线标准方程 的几何性质 范围： ， ， 对称性：关于 x 轴对称 顶点：坐标原点 离心率： . 知识点三：直线和圆锥曲线的位置关系 1直线 Ax+By+C0 和椭圆 的位置关系： 将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程，其判别式为。 (1) 若 0，则直线和椭圆相交，有两个交点(或两个公共点 ) ； (2) 若 0，则直线和椭圆相切，有一个切点(或一个公共点 ) ； (3) 若 0，则直

4、线和双曲线相交，有两个交点 (或两个公共点 ) ； (2) 若 0，则直线和双曲线相切，有一个切点； (3) 若0)的位置关系： 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程： 若为一元一次方程， 则直线和抛物线的对称轴平行， 直线和抛物线有一个交点， 但不 相切不是切点； 若为一元二次方程，则 (1) 若 0，则直线和抛物线相交，有两个交点 (或两个公共点 ) ； (2) 若 0，则直线和抛物线相切，有一个切点； (3) 若 |F1F2| |MF1 |MF2 | M| 点M到l1的距离 = 点M到l2的距离 = e，0e b 0） a2 b2 22 xy 2 2 1（a b 0） b 2 a2 顶点

5、 A1 （ a ， 0）， A 2（a ， 0） B1（0 ， b）， B2（0， b） A 1（0 ， a）， A 2（0 ， a） B1（ b，0），B2（b， 0） 轴 对称轴： x 轴， y 轴长轴长 |A1A2|=2a ，短轴长 |B1B2|=2b 焦点 F1（ c， 0），F2（c ， 0） F1（0 ， c），F2（0， c） 焦距 |F1 F2|=2c（c 0）， c 2=a2 b2 离心率 e c （0e外 x2 y 2 x20 y 02 1 （x0,y 0 ）在椭圆上 ab 0， 2a PM| 点M到l1的距离 点M到l 2的距离 e，e1 标准方程 x 2 y 2 x 2

6、 y 2 1（a0，b 0） a2 b2 y2 x2 y2 x2 1（a 0， b 0） a2 b2 顶点 A1（ a ， 0） ， A2（a ， 0） A1（0 ， a）， A2（0 ， a） 轴 对称轴： x 轴， y 轴，实轴长 |A1A2| 2a ，虚轴长 |B1B2| 2b 焦点 F1（c，0）， F2（c ， 0） F1（0， c）， F2（0 ， c） 焦距 |F1F2| 2c（c 0） ， c2 a2 b2 离心率 e c （e1） a 22 aa l1：x；l2：x cc 22 aa l1： y； l2： y cc 准线方程 渐近线 方程 bx 2 y2 y bx（ 或 x2

7、 y2 0） aa2b2 22 y ax（或 y2 x2 0） b a b 共渐近线 的双曲线 系方程 22 x2 y2 k（k 0） a2 b2 22 y2 x2 k（k 0） a2 b2 焦点半径 |MF1| ex0 a ， |MF2| ex0 2 2a 2 |MF1| ey0 a， |MF 2 | ey0 2 2a 2 切线方程 y kx a k b （k 为切线斜率 ） k b 或 k a 或 k a y y b x x b 0 0 1 2 2 1 ab （x0， y0）为切点 0 0 1 2 2 1 ab （x0， y0）为切点 xy a2的切线方程： x0y y0 x a2 （x

8、0 ， y 0 ）为切点 切点弦 方程 （x 0 ， y0） 在双曲线外 x0 x y0y 1 2 2 1 ab （x 0 ， y0） 在双曲线外 y0y x0 x 1 2 2 1 ab 弦长公式 |x 2x1| 1+ k2或|y 1y2| 1+ k12 其中 （x1 ， y1），（x2， y2）为割弦端点坐标，k 为 割弦所在直线的斜率 3抛物线中的常用结论 过抛物线 y2 2px 的焦点 F 的弦 AB 长的最小值为 2p 设 A（x1，y）， 1B（x2，y2）是抛物线 y22px 上的两点， 则 AB 过 F 的充要条件 是 y1y2 p2 设 A， B 是抛物线 y22px 上的两点

9、， O 为原点， 则 OA OB 的充要条件是 直线 AB 恒过定点 (2p， 0) (4) . 圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线， 定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用 e 表示，当 0e1时，是双曲线，当 e1 时，是抛物线 4 直线与圆锥曲线的位置关系： (在这里我们把圆包括进来) (1) .首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a. 直线与圆： 一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法 ) ，也可以利用方程实 根的个数来判断 (解析法 ). b. 直线与椭圆、双曲线、抛

10、物线一般联立方程，判断相交、相切、相离 c. 直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2) .a.求弦所在的直线方程 b.根据其它条件求圆锥曲线方程 (3) .已知一点 A 坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为 A，求 P 、 Q 所 在的直线方程 (4) .已知一直线方程， 某圆锥曲线上存在两点关于直线对称， 求某个值的取值范围 (或 者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5二次曲线在高考中的应用 二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位， 是高考的重点、 热点和难点。 通过以二次 曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想 方法， 并与高等数学基础知识融为一体， 考查学生的数学思维能力及创新能力， 其设问形式 新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析， 这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。 (1).重视二