高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数线及其应用精品名师资料

1、 三角函数线及其应用【知识梳理】1有向线段带有方向的线段叫做有向线段2三角函数线图示正弦线 的终边与单位圆交于 p，过 p 作 pm 垂直于 x 轴，有向线段 mp 即为正弦线余弦线 有向线段 om 即为余弦线过 a(1,0)作 x 轴的垂线，交 的终边或其终边的反向延长线于 t，有向线段 at 即为正切线【常考题型】题型一、三角函数线的作法34【例 1】 作出 的正弦线、余弦线和正切线34解 角的终边(如图)与单位圆的交点为 p.作 pm 垂直于 x 轴，垂足为 m，过 a(1,0)作单位圆的切线 at，3434与 的终边的反向延长线交于点 t，则 的正弦线为 mp，余弦线为om，正切线为

2、at.【类题通法】三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线 (2)作正切线时，应从a(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点t，即可得到正切线 at.【对点训练】9作出 的正弦线、余弦线和正切线4解：如图所示，94 的正弦线为 mp，余弦线为 om，正切线为 at.题型二、利用三角函数线比较大小234523452345【例 2】 分别比较 sin 与 sin ；cos 与 cos ；tan 与 tan 的大小解 在直角坐标系中作单位圆如图所示以 x 轴非负半轴为始边23作 的终边

3、与单位圆交于 p 点，作 pmox，垂足为 m.由单位圆与 ox23正方向的交点 a 作 ox 的垂线与 op 的反向延长线交于 t 点，则 sin 2323mp，cos om，tan at.45454545同理，可作出 的正弦线、余弦线和正切线，sin mp，cos om，tan at.23452345由图形可知，mpmp，符号相同，则 sin sin ；omom，符号相同，则 cos cos ；2345atat，符号相同，则 tan tan .【类题通法】利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：角的位置要“对号入座”；比较三角函数线的长度；确定有向线段

4、的正负 【对点训练】42234设 ，试比较角 的正弦线、余弦线和正切线的长度如果 ，上述长度关系又如何？解 ：如图所示，当 mpom；3当 mpom.题型三、利用三角函数线解不等式【例 3】 利用三角函数线，求满足下列条件的 的范围1232(1)sin .1解 (1)如图，过点0， 作 轴的平行线交单位圆于 ， 两点，则 sinxopsinp px21211676xop ，xop ，xop ，76116故 的范围是 2k 2k，kz . 3 (2)如图，过点，0 作 x 轴的垂线与单位圆交于 p，p两点，则 cosxopcosxop23266 ，xop ，xop ，66故 的范围是 2k 2k

5、，kz .【类题通法】利用三角函数线解三角不等式的方法 利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于 sin xb，cos xa(或 sin xb，cos xa)，只需作直线 yb，xa 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的 x 的范围；对于 tanxc(或 tan xc)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得【对点训练】33利用三角函数线求满足 tan 的角 的范围解：如图，过点 a(1,0)作单位圆 o 的切线，在切线上沿 y 轴正方向取33一点 t，使at

6、，过点o，t 作直线，则当角 的终边落在阴影区域内3333(包含所作直线，不包含 y 轴)时，tan .由三角函数线可知，在0，360)内，tan ，33有 3090或 210270，故满足 tan ，有 k 18030k 18090，kz.【练习反馈】1已知角 的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则 的终边在(a第一象限的角平分线上)b第四象限的角平分线上c第二、四象限的角平分线上d第一、三象限的角平分线上解析：选 c 由条件知 sin cos ， 的终边应在第二、四象限的角平分线上782如果 mp 和 om 分别是角 的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是()ampom0commp0mpdmp0om解析：选 d 如右图所示，正弦线为mp，余弦线为 om，结合图像，可知：mp0，om0，故 om0om，即 sin 1cos