圆锥曲线定点定直线定值问题精编版

1、最新资料推荐 定点、定直线、定值专题 1、已知椭圆 C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1 ()求椭圆 C 的标准方程； ()若直线 l:y kx m与椭圆 C相交于 A，B两点( A，B不是左右顶点) ，且以 AB 为直径的圆过椭 圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 【标准答案】 22 (I) 由题意设椭圆的标准方程为 x2 y2 1(a b 0) a2 b2 22 2 x y a c 3,a c 1，a 2,c 1,b 3 1. 43 得 (3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3) 0 ， 1 y kx m (

2、II) 设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，由 x2 y2 22 3 4k2 m2 0 . 43 64m2k2 16(3 4k2 )(m2 3) 0 ， 8mk x1 x23 4k2 ,x1 4(m2 3) 3 4k2 22 y1 y2 (kx1 m) (kx2 m) k x1x2 mk(x1 x2) m 3(m2 4k2 ) 3 4k2 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D (2,0), kAD kBD 1 ，y1y21， x1 2 x2 2 (最好是用向量点乘来 ) y1y2 x1x2 2(x1 x2) 4 0， 3(m2 4k2) 4(m2 3) 16mk 2 2 2 3 4k2

3、3 4k2 3 4k2 22 7m2 16mk 4k2 0 ，解得 m1 2k,m2 2k 2 2 ，且满足 3 4k2 m2 0 . 7 当 m 2k 时， l:y k(x 2) ，直线过定点 (2,0), 与已知矛盾； 2k22 当 m时， l : y k(x ) ，直线过定点 ( ,0). 777 2 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为 ( ,0). 7 2、已知椭圆 C的离心率 e 3 ，长轴的左右端点分别为 A1 2,0 ，A2 2,0 。()求椭圆 C的方程； )设直线 x my 1与椭圆 C交于 P、Q两点，直线 A1P与A2Q交于点 S。试问：当 m 变化时，点 S 是否恒

4、在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。 最新资料推荐 解法一：（）设椭圆 22 C 的方程为 x2 y 2 1 a b 0 。 1分 a 2， e c 3 a 椭圆 C 的方程为 2 2 x 42 c 3 ，b a2 c2 1。 4分 5分 1, 23 ,Q 1, 3 2 2 )取 m 0,得 P ，直线 A1P的方程是 y 3 x 3, 63 直线 A 2Q的方程是 y 3 x 3, 交点为 S1 4, 3 . 7分, 若P 1, 23 ,Q 1, 23 ，由对称性可知交点为 S2 4, 3 . 若点 S在同一条直线上，则直线只能为 :x 4。 8分

5、2 x2 y 1 得 记 P x1,y1 ,Q x2,y2 ，则 y1 y2 2m m2 4,y1y2 设A1P与 交于点 S0(4,y0),由 4y02 y1 x1 2 ,得 y0 m2 4 6y1 x1 2 9分 设A2Q与 交于点 S0(4,y0 ),由4y02 y2 ,得 y02y2 x 2 2 10 6y12y26y1my 2 1 2y2my134my1y26y1y2 y0 y0 x1 2 x2 2 x1 2 x 2 2 x1 2 x 2 2 12m 12m 22 m2 4 m2 4 ， 0， 12分 x1 2 x 2 2 y0 y0 ，即 S0与 S0 重合，这说明，当 m 变化时

6、，点 S恒在定直线 :x 4上。 13分 解法二： （）取 m 0, 得 P 1, , 2 ,Q 1, 33 ，直线 A1P 的方程是 y3x3,直线 A 2Q的方程是 3 y 3 x 3, 交点为 S1 4, 3 . 7分 取m 1,得P 58,53 , 若交点 S 在同一条直线上，则直线只能为 :x 4。 11 0, 1 ，直线 A 1P的方程是 y 1x 1,直线 A 2Q的方程是 63 1 y 12x 1, 交点为 S2 4,1 . 8分 以下证明对于任意的 m,直线 A1P与直线 A2Q 的交点 S均在直线 :x 4上。事实上，由4 x my 1 22 my 1 4y2 4, 即 m

7、2 4 y2 2my 3 0， 最新资料推荐 以下证明对于任意的 m,直线 A1P与直线 A2Q 的交点 S均在直线 :x 4上。事实上，由 x22 4 y 1得 x my 1 22 my 1 4y 4, 即m2 4 y2 2my 3 0 ， 记 P 1 x 1 , 2则Q 2m m22 4,y y 3 。 2 1 。2 m2 4 A 1P 的方程是 yy1 x 2 , A 2Q 的方程是 yy 2 x 2 , 消去 y, 得 y1 x 2 x1 2 x 2 2x1 2 y1 y 9分 以下用分析法证明 x 4 时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明 y2 2 x 2 x2 2 6y12y2

8、, 即证 x1 2 x 2 2 3y1my21y2my13 即, 证2my1y23 y1y 2. 点 S恒在定直线 :x 4上。 2my1y 3 y y26m26m 20, 式恒成立。 这说明， 当 m 变化时，1 m2 4 m2 4 2 x y 2 1 解法三：（）由 4 y 1得 my 1 4y2 4, 即 m2 4 y2 2my 3 0。 x my 1 2m 3 2,y1y 22 。 m 4 m 4 A1P的方程是 yy1 x 2 , A 2Q的方程是 y y2 x 2 , x1 2 x 2 2 记 P x1,y1 ,Q x2,y2 ，则 y1 y2 6分 7分 yy1 x 由x1 2

9、yy2x x 2 2 3 2m 2m 2 3 2y1 m 4 m 4 2 y1 2m 3 m22m4 y1 y 4. 12 分 2 , y y 9分 2 ,得 x1y1 2 x 2 x2y22 x 2 , 即x2 y2 x12y1x2 22 y2 my13y1 my212 2my1y23y2y1 y2 x12y1x 2 2y 2 my13y1 my213y2y1 13 分 这说明，当 m 变化时，点 S恒在定直线 : x 4 上。 3、 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值 为 2 1 ，离心率为 e 2 2 （）求椭圆 E 的方程； （）过点 1,0

10、作直线 交 E于P 、Q两点，试问：在 x轴上是否存在一个定点 M ，MP MQ 为定值？ 若存在，求出这个定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 最新资料推荐 22 解：( I)设椭圆 E 的方程为 x2 y2 1 ,由已知得： ab a c 2 1 c2 a2 。 2 分 a 2 b2 a2 c2 1 椭圆 E 的方程为 x c 1 2 ()法一：假设存在符合条件的点 M(m,0) ，又设 P(x 1,y 1),Q(x 2,y2) ，则： MP (x1 m, y1),MQ (x2 m, y2 ),MP MQ (x1 m) (x 2 m) y1y2 2 x1x2 m(x 1 x2) m y1

11、y2 。 5分 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为： y k(x 1) ，则 x2 y2 1 由 2 y 1 得x2 2k2(x 1)2 2 0 y k(x 1) 2 2 2 2 (2k2 1)x2 4k2x (2k2 2) 0 x1 x2 4k 2 , x 2k 2 1, x1 22 y1y2 k (x1 1)(x2 1) k x 1x2 (x1 x2) 1 2k 2 所以 MP MQ 2k 2 2 2k 2 1 对于任意的 k 值， MP MQ 3分 x2 2k2 2 7 分 2 2k2 1 k2 2 2k2 1 2 2 2 (2m2 4m 1)k2 (m2 2) 9 分 2

12、2 2 2 4k 2 2 k 2 m 2 m 2 2k 2 1 2k2 1 为定值，所以 2m2 4m 1 2(m2 2) ，得 m 2 2k 2 1 5， 4， 57 所以 M( 5,0),MP MQ 7 ； 4 16 11分 1 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l: x 1,x1 x2 2,x 1x2 1,y 1y 21 2 由 m 5 得 MP MQ 7 4 16 综上述知，符合条件的点 M 存在，起坐标为 (5,0) 4 法二：假设存在点 M(m,0) ，又设 P(x1,y1),Q(x 2,y 2),则： MP (x1 m, y 1),MQ (x 2 2 MP MQ (x1 m) (

13、x2 m) y1y2= x1x2 m(x1 x2) m y1y2. 当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 x ty 1， 2 x2 y 13 分 5分 m,y2) y 1 2 2t 1 由 2 得 (t2 2)y 22ty 1 0 y1y22,y 1y22 2 1 2t22 1 2t 22 x ty 1 7分 2 2 2 2 t 2t t 2 2t 2 x1x2 (ty1 1) (ty2 1) t2y1y2 t(y 1 y2) 1 t2 2 2 t2 22 2t 2 2t 2 4 x1 x2 t(y 1 y2) 2 2 t 2 2 2t 2 2 4m 2 MP MQ 2 2 m

14、 2 t2 2 t2 2 t2 2 2 2 2 4 t2 2 2 2 2 1(m 2 2)t 2 2m2 4m 1 t2 2 9分 设 MP MQ则 (m2 2)t2 22m2 4m 1 (m2 (m2 2)t2 2m2 4m 1 (t 2 2) 22 2 )t 2 2m 2 4m 1 2 0 m2 2 0 2m2 4m 1 2 0 5 m 45 M( ,0) 74 16 11分 当直线 l 的斜率为 0 时，直线 l: y 0，由 M( 5,0) 得： 4 最新资料推荐 55 257 MP MQ ( 2 ) ( 2 ) 2 44 1616 综上述知，符合条件的点 M 存在，其坐标为 (5,0

15、) 。 13 分 4、已知椭圆的焦点在 x 轴上， 它的一个顶点恰好是抛物线x2 4y 的焦点，离心率 e 2 ，过椭圆的右 焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l ，交椭圆于 A、 B 两点。 (I)求椭圆的标准方程； ()设点 M (m,0) 是线段 OF 上的一个动点，且 (MA MB) AB，求 m的取值范围； ()设点 C是点 A关于 x轴的对称点，在 x轴上是否存在一个定点 N ，使得 C、B、N 三点共线？若存在，求出定点 N 的坐标，若不存在，请说明理由。 22 解法一： ( I) 设椭圆方程为 x2 y2 1(a b 0) ，由题意知 b 1 a2 b2 22 ab 2 a )

16、由 2 2 2x22 a2 5 故椭圆方程为y 1 I)得 F (2,0) ，所以 0 m 2，设 l 的方程为 y k(x 2)(k 0) x 2 2 2 2 2 代入y2 1，得 (5k2 1)x2 20k2x 20k2 5 0 设 A(x1,y1),B(x2, y2), 则 x1 x2 5k 1 5k 1 B (x1 m,y1) (x2 m,y2) (x1 x2 2m,y1 y2 ), AB 5 22 20k20k 5 2,x1x22 ,y1y2k(x1x24), y1y2k(x1x2) k 15k 1 (x2 x1, y2 y1) MA MB (MA MB) AB, (MA MB) A

17、B 0, (x1 x2 2m)(x2 x1) (y2 y1)( y1 y2) 0 22 202k2m 42k0, (8 5m)k2 m 0由k2 m 0, 0 m 8 ， 5k2 1 5k2 1 8 5m 5 8 当 0 m 时，有 (MA MB) AB 成立。 5 5 )在 x轴上存在定点 N( ,0) ，使得 C、 B、 N三点共线。依题意知 C(x1, y1)，直线 BC 的方 2 程为 y y1y2y1(xx1)，令 y 0，则x y1(x2 x1)x1y1x2y2x1 x2x1 y2y1 y2y1 l的方程为 y k(x 2),A、 B在直线 l上， y1 k(x1 2),y2 k(

18、x2 2) x 2kx1x2 2k(x1 x2 ) k(x1 x2) 4k k(x1 1)x2 k(x2 1)x1 k(x1 x2 ) 4k 22 20k2 520k2 5 2 在 x轴上存在定点 N(5,0) ，使得 C B N三点共线。 2 2k 2 2k 2 5k2 1 5k2 1 20k2 k 2 4k 5k2 1 解法二：( )由( I)得 F (2,0) ，所以 0 m 2。设 l的方程为 y k(x 2) (k 0), 2 代入 x y2 1，得 (5k2 1)x2 20k2 20k2 5 0设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 5 20k220k2 5 4k x1x2

19、2,x1x22y1y2k(x1x24) 2,y1y2k(x1x2) 5k 1 5k 1 5k 1 最新资料推荐 (x2 m)2 y2, (MA MB) AB, |MA| |MB|, (x1 m)2 y1 (x1 x2 2m)( x1 x2) (y1 y2)( y1 y2) 0, (1 k 2)(x1 x2) 2m 4k2 0, (8 5m)k2 m 0 2 m 82k882 ) k 0, k2 0 0 5k2 1 5 5(5k2 1 8 当 0 m 时，有 (MA MB) AB 成立。 5 5 )在 x轴上存在定点 N( ,0) ，使得 C、B、N三点共线。 设存在 N (t,0), 使得 C、B、 N三点共线，则 CB / CN ， CB ( 1x 2x, 2y1y) , CN (t1 ,x，1 )y(x2 x1)y1(t x1)( y1y2)0 即 (x2 x1)k(x1 2)(t x1)k(x1x24) 02x1x2 (t2)(x1 x2)4t0 20k2 5 20k2 5 5 2 2 (t 2) 2 4t 0， t 存在 N( ,0) ，使得 C B N 三点共线。