大一第一学期高数期末考试题及答案

1、大一上学期高数期末考试一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1设广（X）= cos x（x+ |sinx|）,则在r = 0处有（）（A）八0）= 2（B）八0） （C）广（）= （D） /（X）不可导.设a（x）= _ , p（x） = 3-3T,则当（）2. 1 + x0,则（）（A）函数尸匕）必在尤=0处取得极大值；（B）函数F（x）必在x = 0处取得极小值；（C）函数F（Q在*0处没有极值，但点（0,F（0）为曲线y = F（x）的拐点；（D）函数F（x）在x = 处没有极值，点（，尸（）也不是曲线=F（x）的拐点。5 设/心）是连续函数，且/（x） = x + 2j

2、：yw ,则八兀）=（） 竺兰+2（A）2（B）2 +（c） 1（D）尤 + 2.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）6.2“ lim（l + 3x）而7 =7. 2。 已知叱是/（X）的一个原函数贝ljJ/（x）.dx =K-xx： /r z 2 兀12/r2lim (cos + cos Hcos9.nfg n nnr x2arcsinx + l ,?=dx =1 y/l-x210. 2三. 解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）11. 设函数尸丿由方程严+血（弓）=1确定，求歹心）以及“（0）.设f（X）= 13.14. y/2x x2,0 qf（x）dx20.设函数

3、/（X）在，列上连续，且？, o证明：在（，龙）内至少存在两个不同的点彳疋2,使/（J = /（2）= （提XFx）=f（x）dx示：设0）解答一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 仁 D 2. A 3. C 4、C二. 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共46分）52 x .7.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导ex0十=a44,心)在“o处连续。y = nx13.解：山厂y =e ix (eix nxdx + C)9y(l) = -,C=O =|xlnx-|x四、解答题(本大说10分)14. i值解：由已知且/ = 2JojdX +

4、将此方程关于X求导得h = 2y + 特征方程：r2-r-2 = 0解出特征根：卩=一1，r2 =其通解为 y = Ce-x+C2e2xC 2 c =- 代入初始条件y(0) = y(0) = 1,得 i_323y = e + elx故所求曲线方程为： 33五、解答题(本大题10分)-lnx0 = (x-x0)16.解：(1)根据题意，先设切点为(Xo3nx切线方程：心11_y = -x由于切线过原点，解出= C ,从而切线方程为： 1 A = (ey ey)dy = -e 1则平面图形面积 o2V. = n e2(2)三角形绕直线x二e周所得圆锥体体积记为K,则 3 曲线y = Xnx与*轴

5、及直线“二e所围成的图形绕直线二e周所得旋转体体 积为V,1 V2 = J n(e ey )2dyV =V.-V2 =-(5e2 -12e +3)D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积6六. 证明题(本大题有2小题，每小题4分，共12分)0故有：Q1证毕。f(x)dxqf(x)dx0018.F(x)=f(t)dt证：构造辅助函数：i。其满足在】上连续，在()上可导。Ff(x) = f(x) 且F(0) = F(/r) = 00 = f f(x)cosxdx =fcosxJF(x) = F(x)cosxf + sinx 由题设，有？i0 i,(F(x)sinxJx = 0有%,由积分中值定理，存在代(皿)，使尸切叱=0即*) = 0综上可知尸()= F(g) =