奇偶分析知识讲解

1、奇偶分析我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。被 2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。前一类中的数叫做奇数，后一类中的 数叫做偶数。尖于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数工偶数，奇数个奇 数之和是 奇数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许 多复杂而有趣的问题。用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。因为无论你选择 哪5个数，它们的和总不等于30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。最简单的 方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所

2、以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。例2小华 买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到 第192面）。小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号 相加。试问，小丽所加得的和数能否为2000?解：不能由于每一张上的两数之和都为奇数，而25个奇数之和为奇数，故不可能为 2000。说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解 题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。例3 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这些 孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的

3、号码数等于同排中其余孩子号码数的 和？并说明理由。解：不能如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码 数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为例4如右图，把图中的1+2+9499X 49,是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。如果每条直线上的红圈数都是奇数，而五角星有五条边，奇数个奇数之和为奇数，那么五条线上的红圈共有奇数个（包括重复的）。从另一个角度看，由于每个圆圈是两条直线的交点，则每个圈都要计算两次，

4、因此，每个红圈也都算了两次，总个数应为偶数，得出矛盾。所以，不可能使得在同一条直线上的红圈数都是 奇数。说明：上述两题都是从两个不同的角度去分析处理同一个量，而引出矛盾的。例5 个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子， 永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个 骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成 员？ ”张三答：“共有45人另一个成员李四说：“张三是老实人请判断李四是老实人还是骗子?分析与解：根据俱乐部的全体成员围坐一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个 骗子两旁都是老实人的条件，可知俱乐部中的老实人与

5、骗子的人数相等，也就是说 俱乐部的全体成员总和是偶数。而张三说共有45人是奇数，这说明张三是骗子，而 李四说张三是老实人，说了假话，所以李四也是骗子。说明：解答此题的尖键在于根据题设条件导出老实人与骗子的人数相等，这里实质上利用了对应的思想。类似的问题是：围棋盘上有19X19个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地 放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉点上放着白子（或黑子）。问： 能否把黑子全移到原来的白子的位置上，而白子也全移到原来黑子的位置 上？提示：仿例6。答：不能。例6某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15 分，答对一道加5分，不答记1

6、分，答错一道倒扣1分。问：所有参赛同学得分总 和是奇数还是偶数？解：对每个参赛同学来说，每题都答对共可得165分，是奇数。如答错一题， 就要从165分中减去6分，不管错几道，6的倍数都是偶数，165减去偶数，差还是 奇数。同样道理，如有一题不答，就要减去4分，并且不管有几道题不答，4的倍 数都是偶数，因此，从总分中减去的仍是偶数，所以每个同学的得分为奇数。而奇 数个奇数之和仍为奇数，故99名同学得分总和一定是奇数。例7桌上放有77枚正面朝下的硬币，第1次翻动77枚，第2次翻动其中的76枚， 第3次翻动其中的75枚第77次翻动其中的1枚。按这样的方法翻动硬币，能 否使桌上所有的77枚硬币都正面朝

7、上？说明你的理由。分析：对每一枚硬币来说，只要翻动奇数次，就可使原先朝下的一面朝上。这 一事实，对我们解决这个问题起着尖键性作用。解：按规定的翻动，共翻动1+2+.+77=77X 39次，平均每枚硬币翻动了 39 次，这是奇数。因此，对每一枚硬币来说，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意 到77 X 39=77+（76+1） + （75+2） + .+ （39+38）,根据规定，可以设计如下的翻动方法：第1次翻动77枚，可以将每枚硬币都翻动一次；第2次与第77次共翻动77 枚，又可将每枚硬币都翻动一次；同理，第3次与第76次，第4次与第75次 第39次与第40次都可将每枚硬币各翻动一次。这样每枚

8、硬币都翻动了 39次，都由 正面朝下变为正面朝上。说明：（1）此题也可从简单情形入手（如9枚硬币的情形），按规定的翻法翻动 硬币，从中获得启发。（2）对有尖正、反，开、尖等实际问题通常可化为用奇偶数尖系讨论。岖J昭1、什么叫奇数？什么叫偶数?）数奇数土偶数二（）数偶数土偶数二（）数）数奇数x偶数二（）数偶数x偶数二（）数2、奇数土奇数二（3、奇数X奇数二（1 . 1 +2+3+4 + 2004的结果是奇数还是偶数?2. 65个连续自然数相加，和是奇数还是偶数？3 次宴会上，客人们相互握手，每两人之间都握一次手，问握手总次数是奇数还 是偶数？4 老师拿出10张卡片，上面分别写着 2、4、6、8、

9、10、12、14、16、18、20 十个数，要求大家很快地从中找出3张卡片，使3张卡片上数字的和是23,你能做 到吗？为什么？5 有3只杯子全部口朝下盖在桌上，每次翻动其中两只，能不能经过若干次翻动后，使杯口全部朝上？6 - “六 一”节这天，海安实小五年级学生参加智力竞赛，竞赛题共 20道。评 分标准是：基础分15分，答对一道加5分，不答加1分，答错一道倒扣1分。如果 有101名同学参加竞赛，则所有参赛同学所得分数是奇数还是偶数？7免子繁殖率很高，按月繁殖的只数可以排成一串数列，它的规律是：头两个 数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1、1、2、3、5、813、21 这

10、叫兔子数列，想一想，这串数的前30个数中有多少个 奇数？1 . （）三个连续奇数第一部分必做题中间一个数是a，其余两个数是（）和（）2（）选择奇数偶数奇数+奇数+奇数=(）奇数偶数奇数+偶数+偶数二(）奇数偶数奇数X偶数一偶数 (）奇数偶数偶数X偶数一偶数(）;6E3越奇数:):8mAW数从1开始算起24个连续偶数的和是（），24个连续奇数的和是（）一定是奇数一定是偶数可能是奇数也可能是偶数3. （）一本作业本120张纸，依次将它的每一张编号。（从第一页一直编到第240页）从这本作业本上撕下20张，并将每一张的页码相加，加得的和 可m为整数，2计1是（能是1997吗？4. （）一个数分别与另外

11、两个相邻偶数相乘，所得的两个积相差150,这个数是多少？5. （）有一列数：1、3、4、7、门、18、29这列数排列的规律是第三个数开始，每个数都是前两个数的和，问在前50个数中，有多少个奇数？6有5个杯子全部口朝上放在桌上，每次翻动其中四个，能不能经过若干次翻动 后，使杯口全部朝下？7. ()有10只杯子全部口朝下放在盘子里，你能否每次翻动4只杯子，经过若 干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？第二部分选做题8. ()车棚里有自行车和三轮车，如果车子数和轮子数都是奇数，那么自行车和三轮车的辆数是奇数还是偶数？9. ()某班同学参加数学竞赛，每张试卷上有试题50道。评分方法是：答 对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。请说明该班同学得分的总和一定是 偶数？10（）礼堂里有10盏电灯，每盏灯由一根灯绳控制，拉一下亮，再拉一下熄。10个学生依次进入礼堂，第1个学生把1的倍数的灯绳拉一下，灯全亮了，第二个学生把2的倍数的灯绳拉一下，第3个把3的倍数的灯绳拉一下第10个学生把10的倍数的灯绳拉一下。最后，礼堂里哪些灯是亮的？门（）少年宫艺术班共有25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5 个座位，把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位。问：让这25 个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？12（）在黑板上写（2，4，6） 3个数，把其中的任一个封掉后，改写 成其余两数的