太原理工大学数值计算方法题库讲解

1、太原理工大学数值计算方法题库数值计算方法试题一、 填空题1、如果用二分法求方程 x3 x 4 0在区间 1,2内的根精确到三位小 数，2、需对分( 10)次。2迭代格式 xk1 xk (xk2 2)局部收敛的充分条件是 取值在 222 ,0) (0, 2)2 2 )。3x 13 ( x 1) 3 a(x 1)20 x 1b(x 1) c 1 x 3 是三次样条函数，S(x) 13、已知则 a=(3) ， b=( 3)， c=( 1)。4、l0(x),l1(x), ,ln(x) 是以整数点 nl k (x)函 数 ， 则 k0 k (1) ，n( xk x k 3)l k (x) 4 2 k0

2、k k k( x4 x2 3)5、设 f (x) 6x7 2x4 3x2 1和节点 xk k /2,k 0,1,2, ,则 7! 6 9456和 7 f0 72!76 9454 236.25。6、5 个节点的牛顿 - 柯特斯求积公式的代数精度为 9， 积公式最高代数精度为 9。k (x) k 0是区间 0,1 上权函数 (x) x 的最高项系数为1式族，其中 0(x) 1，则 0 x 4(x)dx 0。x1 ax2 b18、给定方程组ax1 x2 b2 ，a为实数，当a满足SOR迭代法收敛。7、9、x0,x1, , xn为节点的 Lagrange 插值基 nxkl j (xk )k 0 (fx

3、0,x1, ,xn5 个节点的求1 的正交多项a 1，且02 时，y f (x, y)解 初 值 问 题y(x0) y0的 改 进 欧 拉 法yn01 yn hf (xn, yn)h21001aayn 1yn h f(xn,yn)f (xn 1 , yn01)aa1A10、设 中L 为下三角阵， 这种分解是唯一的是 2 阶方法。22，当a ( 2 , 2 )时，必有分解式 A LLT ，其当其对角线元素 lii(i 1,2,3)满足( lii 0 )条件时，太原理工大学数值计算方法题库、选择题 1、解方程组 Ax b的简单迭代格式 x（k 1） Bx（k） g收敛的充要条件是2)。1) (A)

4、 1, (2) (B) 1, (3) (A) 1, (4) (B) 12、在牛顿 -柯特斯求积公式：bafn(x)dx (b a) Ci(n) f (xi )i0中，当系数 Ci是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ 1）时的牛顿- 柯特斯求积公式不使用4、若用二阶中点公式hyn 1 yn hf (xn 2h,yn（xn, yn）求解初值问题（1）n 8， （2）n 7， （3） n 10，（4）n 6，3、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（ 1）。（1）二次； （2）三次；（3）四次； （4）五次y2y,

5、 y（0） 1，试问为保证该公式绝对稳定，步长 h的取值范围为3）（1） 0 h 2, （2） 0 h 2, （3） 0 h 2, （4） 0 h 2 2三、1、用最小二乘法求形如 y a bx2 的经验公式拟合以下数据：xi19253038yi19.032.349.073.32解：span1, x 2T 1 1 1 1A 192 252 312 382yT 19.0 32.3 49.0 73.3解方程组 AT AC ATyATA4 3391AT y173 .6其中 3391 3529603 179980 .70.9255577C解得： 0.0501025 所以 a 0.9255577 ， b

6、 0.05010251x2、用 n 8的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算 0e dx 时， (1) 试用余项估计其误差。 (2)用 n 8 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算出该积分的近似值。太原理工大学数值计算方法题库b ah2 f ( ) 112 e12 12 8 21120 10.00130212 8 2 768解： RTf h7T(8) h f(a) 2 f(xk) f(b)2 k 111 2 (0.8824969 0.7788008 0.60653066 160.5352614 0.47236655 0.41686207) 0.367879470.63

7、29434四、1、方程 x3 x 1 0在 x 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等 价形式( 1) x 3 x 1对应迭代格式 xn 1 3 xn 1；(2) x 1 x 对应迭x n 11 1 3代格式 n 1 xn；(3)xx3 1对应迭代格式xn 1xn31。判断迭代格式在 x0 1.5 的收敛性，选一种收敛格式计算 x 1.5附近的根，精 确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立 Steffensen 迭代法，并 进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。123解：(1) (x) 3 (x 1) ， (1.5) 0.18 1，故收敛；( x)1(2)2x 2 1 1x ， (1.

8、5) 0.17 1，故收敛；(3) (x) 3x2 ， (1.5) 3 1.52 1，故发散。 选择( 1)： x0 1.5， x1 1.3572， x2 1.3309，x3 1.3259 ， x4 1.3249， x5 1.32476 ， x6 1.32472x x ( (xk) xk )2 xk 1 xkSteffensen 迭代：( (xk ) 2 (xk ) xk(3 xk 1 xk )2 xk33 xk 1 1 23 xk 1 1 计算结果： x0 1.5， x1 1.324899， x2 1.324718 有加速效果。 2、已知方程组 AX f ，其中4324A341f3014，2

9、4(1) 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式 (2 )求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出 SOR迭代法。太原理工大学数值计算方法题库解： Jacobi 迭代法：x1(k 1)1 (24 3x2(k) )4(k 1) 1(k )(k )x 2 (30 3x1 x32 413x3(k 1) 1 ( 24 x2(k)3 4 2k 0,1,2,3,x1(k 1) 1 (24 3x2(k) )1 4 2x2(k 1) 14(30 3x1(k 1) x3(k)x3(k 1) 1( 24 x2(k 1)0 34 0BJ D 1(L U ) 3 4 0 3 40

10、3 4 0(k 1) ( k ) x1(k 1) (1) x1( k)4 Gauss-Seidel 迭代法： k 0,1,2,3,(BJ )58(或 410) 0.790569(24 3x2(k) )42x2(k 1) (1) x2(k)(30 3x1(k 1) x3(k) )4x3(k 1) (1)x3(k )( 24 x2(k 1)4SOR迭代法：k 0,1,2,3,五、1、取步长 h 0.1，dydxy1求解初值问题 y(0) 1 用改进的欧拉法求y(0.1) 的值；用经典的四阶龙格库塔法求 y(0.1) 的值解：改进的欧拉法：yn(0)1 yn hf (xn,yn) 0.9yn 0.1

11、yn 1 yn h f(xn,yn) f(xn 1,yn(0)1) 0.905yn 0.095 2所以 y(0.1) y1 1 ；经典的四阶龙格库塔法：h yn 1 yn 6k1 2k2 2k3 k4 k1 f (xn, yn)hhk 2 f (xn, ynk1)22hhk3 f (xn 2,yn 2 k2)k4f (xnh,ynhk3 )k1k2k3k40，所以 y(0.1)y112、求一次数不高于 4 次的多项式 p(x) 使它满足p(x0) f(x0), p(x1) f(x1), p (x0) f (x0), p(x1) f (x1), p(x2) f(x2)H3(xi) f (xi)解

12、：设H 3 (x) 为满足条件 H3(xi) f (xi) i 0,1的Hermite 插值多项式，22则 p(x) H3(x) k(x x0) (x x1)代入条件 p(x2) f (x2) 得：太原理工大学数值计算方法题库f (x2) H 3(x2)k2(x2 x0 )2(x2x1)2六、(下列 2 题任选一题， 4 分)1数值积分公式形如 0xf(x)dx S(x) Af(0) Bf(1) Cf (0) Df (1)1,4试确定参数 A, B, C, D使公式代数精度尽量高； 2,设 f(x) C 40,1 ，1推导余项公式 R(x) 0 xf(x)dx S(x)，1、23解：将 f (

13、x) 1, x, x2 , x 3分布代入公式得：并估计误差。A 3 ,B 7 ,B20 201 ,D13020构造 Hermite 插值多项式 H 3(x) 满足x0 0,x1 1则有：1xH 3 ( x)dx S(x) ，1 f (4) ( )R(x) 0x f (x) S(x)dx 0 f (4) ( )4!2、H3(xi) f (xi)H3(xi) f (xi ) if (x) H3 (x) f ( )32x (x 1) dx 4!f (4) ( ) f (4) ( )4! 60 14400,1其中x2 (x 1)24!1 3 2 x3(x 1)2 dx用二步法yn10yn 1yn 1

14、 h f(xn,yn) (1 )f(xn 1,yn 1)y f (x, y) y(x 0) y 0 时，如何选择参数 0, 1, 使方求解常微分方程的初值问题 法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 解：h2h3Rn,h y(xn 1) yn1 y(xn) hy(xn) h2! y(xn) h3! y (xn) 2!3!h2h30y(xn) 1(y(xn) hy (xn) 2! y (xn) 3! y (xn)h2h3h y (xn) h y(4) (xn) 2! n 3! nh y(xn) (1 )(y(xn) hy (xn)(1 01)y(xn) h(1 1 1)y (

15、xn)2 1 3 1h2(11 1 )y (xn) h3(112 2 n 6 6 21 0 1 0 101 1 1 0 所以 2 253h y (xn)主项： 12 n1 )y (xn ) O(h4)1032该方法是二阶的。太原理工大学数值计算方法题库数值计算方法试题二一、判断题：、若 A是n n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵 L 和上三角阵 U ，使 A LU 唯一成立。 （）、当 n 8时， Newtoncotes 型求积公式会产生数值不稳定性。 （）3、形如babnf(x)dxAi f (xi )i1的高斯（ Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为 2n 1。 （）210A

16、1 1 1、矩阵012的范数 A 2 。（）2aa0A0a05、设00a，则对任意实数 a 0，方程组 Ax b 都是病态的（用 ） （）6、设A Rn n，Q Rn n，且有QTQ I（单位阵），则有 A 2 QA2 （）8、对矩阵 A 作如下的 Doolittle2 2 31 0 0 2 2A4 7 72 1 00b2451a100、填空题：8 4 21、设 f (x) 9x8 3x 4 21x2 107、区间 a,b 上关于权函数 W（x） 的直交多项式是存在的，且唯一。分解：316 ，a,b 的值分别为 a 2，b 2。（）则均差f20,21, ,28 9 8!， f30,31, ,3

17、9 0。2、设函数 f（x）于区间 a,b上有足够阶连续导数， p a,b为 f（x）的f （xk ） xk 1 xk m k 一个m重零点， Newton迭代公式f（xk） 的收敛阶至少是二阶。、区间 a,b 上的三次样条插值函数 S（x）在 a,b 上具有直到二阶的21 ，则连续导数。TA4、向量 X (1, 2) , 矩阵 AX 1 16， cond( A) 90。太原理工大学数值计算方法题库15、为使两点的数值求积公式：1 f ( x)dx f (x0) f (x1)具有最高的代数精确度，则其求积基点应为 x13, 3， x26、设A Rn n，AT A，则 ( A)(谱半径) = A

18、 2 。(此处填小于、 大于、n n，AT A，则 ( A)(谱半径) = A 2 等于)A7、设三、简答题：1、 方程 x 4 2 在区间 1,2 内有唯一根 x ，若用迭代公式： xk 1 ln(4 xk)/ln 2 (k 0,1,2, ) ，则其产生的序列 xk 是否收敛 于 x * ？说明理由。解：迭代函数为 (x) ln(4 x)/ln 2 (x)2 ，则 lkim A0 。114 x ln 21114 2 ln 212、 使用高斯消去法解线性代数方程组， 一般为什么要用选主元的 技术？答： Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素 ( k)ak(kk) 全不为 0，如果在

19、消元过程中发现某个主元素为0，即使det(A) 0，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，(k )a(kkk)但若主元素 ak(kk )的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘 数绝对值很大， 势必造成舍入误差的严重扩散， 以致于方程组解 的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩(k)akk =0 或大太大而使计算不稳定。f ( x) 1 cos x3、设 x 0.001，试选择较好的算法计算函数值 f ( x)x2 。2 4 2 ncos x 1 x x ( 1) n x 解： 2! 4!(2n!)24 2 n1 cos x

20、 x x ( 1) n 1 x2! 4!(2n!)1 x 2x 2n 2f (x) 1 x ( 1) n 1 x 2! 4!(2n!)四、已知数值积分公式为：h h 2 0 f (x)dx f (0) f (h) h2 f (0) f (h)0 2 ，试确定积分公式中的参 数 ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解： f(x) 1 显然精确成立；太原理工大学数值计算方法题库h h2 h 2xdx 0 h h21 10 2 2 ；h312h212 ；f (x) x 时，h 2 h3 h 2 2x2dx0 h2 h20 2h324h 3 h h 3 1 2 23x3dx0 h3h2

21、0 3h2f(x) x 2 时，f(x) x3 时， 0 4 2 12 ；4x4dx h h0 h4 1 h20 4h3 hf(x) x 4 时， 0 5 2 12 6 ； 所以，其代数精确度为 3。五、已知求 a(a 0) 的迭代公式为：1axk 1(x k) x0 0 k 0,1,2k 1 2 k 0证明：对一切 k 1,2, , xka ，且序列 xk 是单调递减的，从而迭代过程收敛。1 a 1xk 1(xk ) 2k 1 2 k xk 2xk证明：a a k 0,1,2 xk故对一切 k 1,2, , xka 。1 a 1(1 ) (1 1) 12xk2 2所以 xk 1 xk ，即序

22、列 xk 是单调递减有xkxk 1 又 xk 下界，从而迭代过程收敛。330 f (x)dx f(1) f (2)0 2 是否为插值型求积公六、(9 分)数值求积公式 式？为什么？其代数精度是多少？ 解 ： 是 。 因 为f(x)在 基 点 1 、 2 处 的 插 值 多 项 式 为x2x1p(x)x2f (1)x1f(2)122133 p(x)dx f(1) f (2)0 2 。其代数精度为 1。七、设线性代数方程组 AX b中系数矩阵 A非奇异， X 为精确解，b 0，若向量 X 是 AX b的一个近似解，残向量 r b AX ，证明XX估计式： X 容)。cond ( A)cond (

23、A) b (假定所用矩阵范数与向量范数相证明：由题意知：AX b,AX b rA(X X )r X X A 1r太原理工大学数值计算方法题库AX又b b AX A XX1 bAXXA 1 r b cond (A) A所以 X b cond ( A) b 。八、设函数 f(x)在区间 0,3 上具有四阶连续导数，试求满足 下列插值条件的一个次数不超过 3 的插值多项式 H (x)，并导出 其余项。i012xi012f (xi )-113f (xi )3解：设 H(x) N2 (x) ax(x 1)(x 2)1N2(x) f (0) f 0,1( x 0) f 0,1,2( x 0)(x 1) 1

24、 2x (x 0)(x 1) 2所以由H1H(x) 1 2x x(x 1) ax(x 1)(x 2)1a452x 2 3x 14(0) 3 得：H(x) 1 x34所以令R(x) f(x) H (x) ，作辅助函数 g(t) f (t) H(t) k(x)t2(t 1)(t 2) 则g(t)在0,3上也具有 4阶连续导数且至少有 4个零点： t x,0,1，2 ( )4! ，( g(4)( ) 0)2 f (4) ( ) 2R(x) f(x) H(x) k(x)x2(x 1)(x 2)x2(x 1)(x 2)所以 4!九、设 n(x) 是区间 a,b上关于权函数 w(x)的直交多项式序列， x

25、i(i 1,2, ,n,n 1)为 n 1(x) 的零点， li(x)(i 1,2, ,n,n 1) 是以 xi 为基点的拉格朗日(Lagrange) 插值bn 1f(x)w(x)dxAk f (xk )ak 1为高斯型求积公式，证明：n1Ai k(xi) j (xi) 01) 当 0 k,j n,k j 时 ， i 1 Ai k(xi) j (xi) 0 ( 2 )反复利用罗尔定理可得： k(x)基函数，太原理工大学数值计算方法题库b n 1 b 2bn 1a f (x)w(x)dxAk f ( xk )ak 1lk(x)lj(x)w(x)dx 0 (k j) alk (x)w(x)dx a

26、w(x)dx a( 3) k 1的高斯( Gauss)型求积公证明：形如 式具有 最高代数精度 2n+1次，它对 f (x)取所有次数不超过 2n+1 次的 多项式均精确成立n 1bAi k(xi) j (xi) a k(x) j (x)w(x)dx 01) i 1ali (xj )2)因为 li(x)是 n次多项式，且有 i j bn 1lk(x)lj(x)w(x)dxAilk(xi)l j(xi) 0所以 ai 123)取 f(x) li2(x) ，代入求积公式：因为 b n 1 2 ali(x)w(x)dxAjli(xj )2 Ai所以 a i j 1 j i j in 1 b 2n 1

27、blk2(x)w(x)dxAkw(x)dxk 1 ak 1a故结论成立。十、若 f (x)n 1(x) (x x0 )(x x1) (x xn)fx0,x1, ,xp 的值，其中 p n 1。解：ij j(k2li2(x)是 2n 次多项式，j)，xi (i 0,1, ,n)互异，求p f (xi )fx0,x1, ,xp p i 0i 0(xi xj )jj i0 f (n 1) ( ) 1 (n 1)! 1fx0,x1, ,xn 1、填空题pn数值计算方法试题三(1) 改变函数 f(x) x 1 x ( x 1 )的形式，使计算结果较精太原理工大学数值计算方法题库fx(2)若用二分法求方程

28、 f x 0在区间 1,2 内的根，要求精确到第3 位小数，则需要对分 10 次。(3)设fxx12 x22x1x22x1 2x2，则 f xx2x1(4)Sx 设2x3, 0 x 132x ax bx c,1 x 2是 3 次样条函数，则a=3, b=-3 , c=1 。1x(5)若用复化梯形公式计算0e dx ，要求误差不超过 10 6，利用余项公式估计，至少用 477 个求积节点。x1 1.6x2 1(6) 写出求解方程组 0.4x1 x2 2 的 Gauss-Seidel 迭代公式x1k 1 1 1.6x2k0 1.6x2k 12 0.4x1k 1 ,k 0,1,，迭代矩阵为0 0.6

29、4此迭代法是否收敛收敛54(7) 设 A 4 3 , 则 A 9， Cond A 91。(8) 若用 Euler 法求解初值问题 y 10y, y 0 1，为保证算法的 绝对稳定，则步长 h 的取值范围为 h0.2二. 1. 写出求方程 4x cosx 1在区间 0,1 的根的收敛的迭代公 式，并证明其收敛性。xn 1xn 41 cosxn ，n=0,1,2,11 x 4 sin x 4 1 对任意的初值 x0 0,1, 迭代公式都收敛。太原理工大学数值计算方法题库2. 以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 115的近似值，并利 用余项估计误差。用 Newton 插值方法：差分

30、表：1001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555f x 83xfR 115 100 115 121 115 144 3!51 3 2100 2 15 6 29 0.00163683. 求 f x ex在区间0,1 上的1次最佳平方逼近多项式。1, 11, 2c1f , 12, 12 , 2c2f, 2设 x c1 1 x c2 2 x c1 c2 x1 1 11, 10dx 1， 1, 2 0xdx 2 ，0 ，

31、，1 2 1 1 11 1 2 c1e 11 2 1 3 c2 12 , 2 0 x dx 3 ， f , 1 exp( x)dx e 1， f , 2 xexp( x)dx 1c10 . 8731c2 1.690 , x 0.8731 1.690xx 4e 10 18 6e x =0.873127+1.69031xI 1 sin x dx4. 用复化 Simpson 公式计算积分 I 0 x dx 的近似值，要求误差限 为 0.5 10 5 。太原理工大学数值计算方法题库S1 1 f 0 4f 1 f 1 1 6 20.94614588S2112 f 0 4f14 2f 124 f 34f

32、10.9460869315 S 2S10.393 10 -5I S2 0.94608693或利用余项：f x sin x 124xx 3! 5! 7!68xx9!f (4 ) x1555R b a 4 f ( 4)2880 n 424xx7 2! 9 4!(4) x1554 0.5 10 5 2880 5n 4 ，n 2 ， I S25. 用 Gauss列主元消去法解方程组：x1 4x2 2x3 243x1 x2 5x3 342x1 6x 2 x3 273.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 -

33、2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0000 0.0000 1.9375 9.6875x 2.0000,3.0000,5.0000 T6. 求方程组的最小二乘解1 .33332 .00003 6 x18AT A x ATb ， 6 14 x220若用 Householder 变换，则：太原理工大学数值计算方法题库1.73205A,b3.46410 4.618800.366031 .520731.366032 .520731 .73205003.464104 .618801 . 414212

34、 . 8284300 . 81650最小二乘解：(-1.33333 ，2.00000) T.7. 已知常微分方程的初值问题：dy dx x y , 1 x 1.2y(1) 2用改进的 Euler 方法计算 y(1.2) 的近似值，取步长 h 0.2。k1f x0,y00.5，k2 fx1,y0hk1 1.1 2 0.2 0.50.5238095y1y0 h k1k2 2 0.10.50.5238095 2.10714292三在下列 5 个题中至多选做 3 个题)(1) 求一次数不超过 4 次的多项式 p(x) 满足：p1 15， p1 20， p 1 30， p 2 57， p 2 72差分表：11520115152071152214282573072257p x 15 20 x 1 15 x 1 2 7 x 1 3 x 1 3 x 25 4x 3x2 2x3 x4其他方法：设 p x 15 20 x 1 15 x 1 2 x 1 3 ax b太原理工大学数值计算方法题库令 p 2 57 ， p 2 72 ，求出 a 和 b(2) 构造代数精度最高的如下形式的求积公式， 并求出其代数精度：1xf x dx A0 fA1 f 1取 f(x)=1,x ，令公式准确成