多面体与旋转体的概念讲义

1、多面体与旋转体的概念 、概念整理 一）棱柱与棱锥 棱柱 定义 1. 有两个面 ，其余每相邻两个面的公共边都 的多面体叫做棱柱。 2. 两个互相平行的平面叫做棱柱的 ，其余各面叫做棱柱的 。不在底面上的棱叫做棱柱 的 。侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的 ，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的 ，两个底面的距离叫做棱柱的 。 3. 表示方法： 分类 1.按底面多边形的边数分类： 2.按侧棱与底面是否垂直分类： 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做 ；侧棱垂直于底面的棱柱叫 。 * 特别地，底面是 ，侧棱 的棱柱叫做正棱柱。 性质 1、一般棱柱 （ 1）侧棱平行且相等； （2）侧面是平行四边形 （ 3）两底

2、面及平行于底面的截面是全等的多边形（ 4）对角面是平行四边形 2、直棱柱 （ 1）侧棱长等于高（ 2）侧面和对角面是矩形 3 正棱柱（ 1）侧面是全等的矩形（ 2）两底中心连线垂直于底面 棱锥 定义 1.有一个面是 ，其余各面是有一个公共点的 多面体叫做棱锥。 分类 1.按底面多边形的边数分类： 2.底面是 ，顶点在底面的射影是 的棱锥叫做正棱锥。 性质 1、一般棱锥 棱锥被平行于底面的平面所截，那么侧棱和高被这个平面分成比例线段；所得截面与底面相似， 其面积比等于截得棱锥的高与已知棱锥高的平方比。 2、正棱锥：各侧棱相等、各侧面是全等的等腰三角形、各条高都相等、侧棱和底面所成角相等； 侧面和

3、底面所成二面角相等；相邻两个侧面所成二面角相等。 二）、斜二测画法 1、水平放置的平面图形的直观图的“斜二测”画法 （1）按右图所示的位置和夹角作三条轴，分别表示铅垂方向，左右方向和前后方向的轴，依次把它们叫做 而在 x 轴方向上 ,线段的长度是其表示 （2）规定在 z轴和 y 轴方向上的线段的长度与其表示的真实长度相等， 的真实长度的 。 2、“斜二测”画法的重要性质 （ 1）平行直线的斜二测图 ； （2）线段及其直线上定比分点的斜二测保持原比例不变。 三）、旋转体 1、旋转体 ：平面上一条封闭图形所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的 几何体叫做旋转体，定直线叫做 。 2、圆

4、柱：将 绕其一条边 OO所在直线旋转一周，所形成的几何体。 （1）圆柱的结构 : 圆柱的轴： ；圆柱的母线： ； 圆柱的底面： ；圆柱的侧面： ； 圆柱的高： ； （2）圆柱的性质： 底面由与轴垂直的边旋转得到，所以圆柱的底面是圆面且垂直于轴,两底面是全等的圆且平行 轴过两底面圆心且垂直于底面，联接两底面圆心的线段的长等于圆柱的高； C 所有母线相互平行，相等且垂直于底面，母线的长等于圆柱的高； 轴截面（经过圆柱的轴的截面）是矩形。 3、圆锥：将绕其一条 边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体。 （1）圆锥的结构： 圆锥的轴： ；圆锥的母线： ； 顶点： ；高： ； 底面： ；侧面： ； （

5、2）圆锥的性质： d.轴截面是等腰三角形。 a.底面为圆且垂直于轴； b.轴过定点及底面的圆心，联接顶点与圆心的线段长等于圆锥的高； c.所有母线都经过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等。 二、例题分析 例1、若棱柱的侧面都是矩形，则棱柱一 定是（ ） A 正棱柱 B长方体C 例 2 、下列命题中的真命题是 直棱柱 D 直平行六面体 （ 1）各侧面都是矩形的棱柱是长方体（2）有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 （ 1）各侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥（4）底面是矩形的平行六面体是长方体 例 3、（1）画水平放置的边长为 3cm 和 4cm的矩形的直观图 . （2）求该直观图的面积。 例 4

6、、画水平放置的边长为 2cm 的正方形的直观图 例 5、如图三棱锥 P ABC ，过 E，F，G 作三棱锥的截面。 E F A C B 例 6、已知棱长为 a的正方体 ABCD A1B1C1D1中,M,N,P 分别为 C1D,AD,CC1 的中点 , （1）过 M ,N,P 三点作正方体的截面 ,试画出这个截面； 2）计算这截面的周长 例 7、已知圆锥 PAB，C 为底面圆周上一点， 且 CPB 90 ， CPA 60 ，PA 2 ，求二面角 A PC B 的大小。 三、课堂练习 1、下列命题中，真命题是 C 1）在正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1中，因为平面 AB1平面 ED

7、1 ，所以面 AB1与面 ED1 可 看成是此棱柱的两个底面 （2）在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，所以平行六面体的任意两个相对的面 均可当作它的底面 （ 3）底面是正多边形的棱柱是正棱柱（ 4）直四棱柱就是长方体 2、正三棱锥的底面边长是 4，侧棱长是 6，则它的高是 3、若长方体的三个面的面积分别是2, 3, 6 ，则长方体的对角线为 4、底面是菱形的直棱柱的两条体对角线长为9cm 和 15cm ，侧棱长为 5cm，求它的底面边长。 5、画各棱成长均为 2cm 的正六棱柱的直观图。 P，Q，R三点，作三棱柱的截面。 6、已知三棱柱 ABC A1B1C1 ，如图 P， Q， R分

8、别在棱上，过点 7、画截面 2） R B1 A C1 1） 4） 3） 8、设圆锥的母线长为定值 a ，且等于高的 2 倍 （ 1）求过其顶点的截面的最大面积（ 2）求（ 1）中截面与底面所成角的大小。 四、课后作业 1、在三棱锥 S ABC 中，下面能使顶点 S在底面内的射影是底面三角形外心的条件 是：(你认为正确的都填上 .) (1)侧棱与底面所成的角相等；(2)侧面与底面所成的角相等； (3) 侧棱两两互相垂直(4)侧棱长都相等 2、给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( ) 角的水平放置的直观图一定是角相等的线段在直观图中仍然相等 相等的角在直观图中仍相等若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 A0B1C2D 3 3、利用斜二测画法得到： 三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形； 正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形 以上说法正确的是 ( ) A BCD 4、画图中正三角形 ABC 的直观图 5、圆锥的母线为 4cm，底面直径为 6cm，则圆锥的高为 ；圆柱的母线为 4cm， 底面直径为 6cm，则圆柱的高为 。 6、在正方体 ABCD A1B1C1D1中的棱 A1B,BB1,D1C1上分别有三点 M , P, N ,过三点作截面 ,确定其与各个 面的交线 .D1NC1 A1M B