圆锥曲线与向量的综合性问题

1、圆锥曲线与向量的综合性问题 、常见基本题型： 在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐 标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。 (1) 问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质， 例1、设 F(1,0) ， M点在 x轴的负半轴上，点 P在y轴上，且 MP PN,PM PF 当点 P在 y轴上运动时，求点 N的轨迹 C 的方程； 解：(解法一) MP PN ，故 P为 MN 的中点 设 N(x,y)，由 M点在 x轴的负半轴上，则 M( x,0) , P(0, y),(x 0) 2 又 F (1,0) ， PM ( x, ) ,P

2、F (1, ) 22 又 PM PF ， PM PF x 0 4 所以，点 N 的轨迹 C 的方程为 y2 4x(x 0) 解法二) MP PN，故 P为MN 的中点 设N(x,y)，由 M点在 x轴的负半轴上，则 M( x,0) , P(0, y),(x 0) 2 又由 MP PN , PM PF ，故 FN FM ，可得 FN FM 由 F (1,0) ，则有 (x 1)2 y2 ( x 1)2 ，化简得： y2 4x (x 0) 22 x 所以，点 N 的轨迹 C 的方程为 y2 4x(x 0) 例 2 、已知椭圆的方程为 2 y2 1(a b 0) ，它的一个焦点与抛物线 y2 8x

3、的焦点 a2 b2 25 重合，离心率 e ，过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l ，交椭圆 5 A、 B两点 1)求椭圆的标准方程； 2)设点 M (1,0) ，且 (MA MB) AB ，求直线 l的方程； 解：()设椭圆的右焦点为 (c,0) ，因为 y2 8x 的焦点坐标为 (2,0) ，所以 c 2 因为 e ca 255，则 a2 5，b2 1 2 故椭圆方程为： x y2 1 5 ）由（ I）得 F （2,0） ，设 l 的方程为 y k（x 2） （ k 0） 2 代入 x y 2 1，得， 5 22 20k220k 2 5 设 A(x1, y1),B(x2, y2)

4、,则 x1 x22 ,x1x22 ， 5k 15k 1 y1 y2 k(x1 x2 4), y1 y2 k(x1 x2) (x2 x1, y2 y1 ) MA MB (x1 1, y1) (x2 1, y2) (x1 x2 2, y1 y2), (MA MB) AB 0, (x1 x2 2)(x2 x1) ( y2 y1)( y1 y2) 0 202k2242k20, 3k2 1 0,k 3 5k 2 1 5k 2 1 3 所以直线 l 的方程为 x 3y 2 0 或 x 3y 2 0 2）所求问题以向量的形式呈现 例 3 、已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y 4 5 x 的焦点，离心

5、率是 轴上 说 5, 又 c ea 6 3 （ 1）求椭圆 E 的方程； （2）过点 C（ 1，0），斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点，请问 x 是否存在点 M ，使 MA MB 为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请 明理由。 解：（ 1）根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴， 且a 22 故所求方程为 x y 1,即 x2 3y2 5 ， 55 3 22 2）假设存在点 M 符合题意，设 AB： y k（x 1）,代入 E: x2 3y2 5 得： (3k 2 1)x2 6k2x 3k 2 5 0 设A( x1, y1 ), B(x2 , y2 ), M (m,0

6、)则 x1 x2 22 6k2 ,x x 3k 2 5 2 ,x1x22 3k2 1 1 2 3k 2 1 MA MB (k2 1)x1 x2 (k2 m)(x1 x1) k2 m2 2 1 6m 14 m 2m 2 3 3(3k 2 1) 要使上式与 k 无关，则有 6m 14 0, 解得 m 7 ，存在点 M ( 7 ,0) 满足题意。 33 例4、线段 AB过y轴上一点 N 0,m ， AB所在直线的斜率为 k k 0 ，两端点 A、B 到 y 轴的距离之差为 4k. )求出以 y轴为对称轴，过 A、O、 B三点的抛物线方程； ) 过该抛物线的焦点 F 作动弦 CD ，过 C 、 D 两

7、点分别作抛物线的切线，设 其交点为 M ，求点 M 的轨迹方程，并求出 FC F FM 2 的值. 解： ( )设 AB 所在直线方程为 y kx m ，抛物线方程为 x2 2py ， 且 A x1,y1 ， B x2,y2 ，不妨设 x1 0 ， x2 0 x1 x2 4k 即 x1 x2 4k 22 把 y kx m 代入 x2 2py 得 x2 2pkx 2pm 0 x1 x2 2pk ， 2pk 4k 2 故所求抛物线方程为 2 x 4y () 设C ,1x2 ,14x32 ， D x4,14 x42 则过抛物线上 C 、 D 两点的切线方程分别是 11 21 1 2 yx3xx3 ，

8、 yx4xx4 2 3 4 32 4 4 4 两条切线的交点 M 的坐标为 x3 x4 x3x4 32 4, 344 设 CD 的直线方程为 y nx 1，代入 x2 4y 得 x2 4nx 4 0 x3x44 故 M 的坐标为 x3 x4 , 1 点 M 的轨迹为 y 1 2 FC x3,1x32 1 4 FD x4,4 x4 1 而 FM 1 2 1 2 FC FD x3x4x3x4 44 1 2 2 x3x4 1x3 x4 1 4 2 x3 2x4 0 1 12 故 FA F2B 2 FM （3） 问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现 1 x32 x42 1 4 41 x32 x42

9、 2 22 x32 x4 2 2x3x4 4 1 x32 x42 2 例 5、在直角坐标系 xOy 中，长为 2 1 的线段的两端点 C、D 分别在 x 轴、 y 轴上 记点 P 的轨迹为曲线 E 滑动， CP OM OA OB, 当点 I）求曲线 E 的方程； II）经过点（ 0，1）作直线 l 与曲线 E 相交于 A、 B 两点， M 在曲线 E 上时，求 cos OA,OB 的值 解：（）设 C （m，0），D（0，n），P （x，y） x m 2x， y 2（n y）， 由CP 2PD ，得 （x m，y） 2（x， ny）， m （ 21）x， 得2 1 n 由|CD| 21，得 m

10、2n2（ 21）2， （ 21）2x2（ 22 1） y2（ 21）2， 整理，得曲线 E 的方程为 x2y2 1 ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），由OMOAOB，知点 M坐标为 （x1x2，y1y2） 设直线 l的方程为 ykx1，代入曲线 E 方程，得 （k22）x22kx10， 2k 1 则 x1x2 k22，x1x2 k22 4 y1y2k（x1x2）2k22， 2 由点 M 在曲线 E 上，知 （x1x2）2（y12y2） 1， 2 即（k24k 2）2（k28 2）21，解得 k22 23 这时 x1x2y1y2x1x2 （kx11）（kx21）（1k2）x1x2k（x2

11、x2）1 （x12y21）（x22y22）（2x21）（2x22）42（x12x22）（x1x2）2 2 2 33 42（x1x2）22x1x2（x1x2）216 ， x1x2y1y2 x1x2 y1y233 cos OA ，OB （x121 2y21）（x1222 y22） 1313 二、针对性练习 1. 已知圆 M： （x 5） 2 y2 36 及定点 N （ 5,0） ，点 P 是圆 M 上的动点，点 Q 在 NP 上，点 G 在 MP 上， 且满足 NP 2NQ,GQ NP 0. 1 ）求点 G 的轨迹 C 的方程； 2）过点 K（2，0）作直线 l,与曲线 C交于 A、B 两点， O

12、 是坐标原点，设 OS OA OB ,是否存在这样的直线 l, 使四边形 OASB 的对角 线相等？若存在，求出直线 l ,的方程； 若不存在，说明理由 . NP 2NQ 解：（1）由Q为 PN 的中点，且 GQ PN GQ 是PN 的中垂线， GQ NP 0 PG GN ， PM GM GP GM GN 6 2 5. 点 G 的轨迹是以 M、 N 为焦点的椭圆，又 a 3,c 5 b 2. 1. 4 2） .OS OA OB 四边形 OASB 为平行四边行， 假设存在直线 1，使 OS AB 四边形 OASB 为矩形 OA OB. 1 的斜率不存在，则 1 的方程为 x 2, x2 x2 x

13、2 94 16 2 5 OA OB 9 0. y9 3 20k2 2 9k2 4 由 OA OB 0 x1x2 y1y2 0 36 k2 120k 2 9k 2 4 9k 2 4 k 3. 2 这与 OA OB 0相矛盾， 1 的斜率存在 设直线 1 的方程 y k x 2 , A x1, y1 ,B x2,y2 . y k x 2 x2 y2 ，化简得： 9k2 4 x2 36k2x 36 k2 1 0. 1 94 x1 x2 36k 236 k2 1 2,x1x22 9k2 4 1 2 9k 2 4 y1y2kx12 .kx22k 2 x1x22x1x24 存在直线 1：3x 2y 6 0

14、或3x 2y 6 0满足条件 . 二、针对性练习 1.已知过抛物线 y2 2px p 0 的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A（x1, y2）, B x2 ,y2 （ x1 x2 ）两点，且 AB 9 （1）求该抛物线的方程； 2） O为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 OC OA OB，求 的值 解：（ 1）直线 AB的方程是 y 2 2（x p）,与 y2 2 px联立， 消去 y，得4x2 5px p2 0，所以 x1 x2 5p， 4 由抛物线定义得： AB x1 x2 p 9 ，所以 p=4， 抛物线方程为： y2 8x 22 2)由 p=4， 4x 5px p 0, 化简得

15、 x2 5x 4 0 ， 从而 x1 1,x2 4, y1 2 2, y2 4 2 , 从而 A(1, 2 2 ),B(4, 4 2 ) 设 OC (x3,y3) (1, 2 2) (4,4 2)=(1 4 , 2 2 4 2 ) ， 又因为 y32 8x3 ，即 2 2 2 1 2 8(4 1)， 即 (2 1)2 4 1，解得0, 或2 2、在平面直角坐标系内已知两点A( 1,0)、 B(1,0) ，若将动点 P( x, y)的横坐标保持不变， 纵坐标扩大到原来的 2 倍后得到点 Q(x, 2y) ，且满足 AQ BQ 1. )求动点 P所在曲线 C 的方程； 2 )过点 B作斜率为的直线

16、 l 交曲线 C于 M 、 2 N 两点，且 OM ON OH 0， 又点 H 关于原点 O 的对称点为点 G ，试问 M 、G 、N 、 求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由 . H 四点是否共圆？若共 圆， 解()设点 P的坐标为 ( x, y) ，则点 Q的坐标为 (x, 2y)， 依据题意，有 AQ (x 1, 2y),BQ (x 1, 2y). AQ BQ 1, x2 1 2y2 1. 2 动点 P所在曲线 C的方程是 x2 y2 1. )因直线 l 过点 B ，且斜率为 k 2 ，故有 l : y 2(x 1). 22 x2 y2 1 2y2 1 联立方程组 2 (x 1) 22 (x 1) ，消去 y ，得 2x2 2x 1 0. 设 M (x1,y1) 、 x1 x2 1 N(x2,y2)，可得1 ，于是 x1x22 x1 x2 1 y1 y2 2 又 OM ON OH 0， 2 得 OH ( x1 x2 , y1 y2), 即 H( 1,