辅助圆-重要的辅助线

1、辅助添加辅助圆解平而几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多 直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果.一、根据圆的定义作辅助圆例 1 如图，四边形 A BCD 中，ABCD, AB=AC = AD=p, BC=q,求 BD 的 长.解析：以点A为圆心、AB为半径作OA.因为AB=AC=AD,所以B、C、D 三点在0A上.延长BA交QA于点E,连结DE.因为DCEB,所以弧ED = MBC,所以 ED=BC=q.在RtABDE中，根据勾股左理，得BD =4才-q 例 2 如图，PA = PB, ZAPB=2ZACB, AC 与 PB 交于点 D,且 PB =

2、 5, PD=3, 求AD DC的值.解析：以点P为圆心.PB为半径的作0P因为PA=PB, ZAPB=2ZACB, 所以点A. B、C在OP上此时OP的直径BE=10, DE=8, DB = 2,由相交弦定 理，得 AD DC=DE DB= 8x2 =16二、作三角形的外接圆例3如图.D、E为AABC边BC上的两点.且BD=CE, ZBAD=ZCAE,求 证：AB=ACA解析：作AADE的外接圆，分别交AB、AC于点M、N,连结MD、NE. 因为ZBAD = ZCAE,所以ZBAD+ ZDAE= ZCAE+ZDAE,即ZNAD = ZMAE.因为ZBDM=ZMAE, ZCEN=ZNAD,所以

3、ZBDM=ZCEN又 BD=CE, DM=EN,所以 BDMACEN,所以ZB=ZC,即 AB=AC.例 4 如图，AABC 中，BF、CE 交于点 D, BD=CD, ZBDE=ZA,求证: BE=CF 解析：作ZABC的外接OO,延长CE交00于G,连接BG因为ZG=ZA, ZBDE=ZA,所以ZG=ZBDE,所以 BG=BD又 BD = CD,所以 BG=CD.又因为ZG=ZCDF, ZGBE=ZDCF,所以 GBEADCF.所以BE=CF.例5如图，在ZkABC中，AB = AC, ZBAC=100% ZB的平分线交AC于D,求证：BC=BD+ADA解析：作AABD的外接圆交BC于E,

4、连结DE.因为BD是ZABC的平分线，所以弧所以AD=DE 在ABDE 中，ZDBE=20% ZBED=180100 = 80,所以ZBDE=80, 所以BE=BD在ZiDEC 中，ZEDC = 8040=40,所以 EC=DE.所以 BC=BE+EC = BD+AD三、结论类似于圆幕定理的形式时作辅助圆例6如图，在ZkABC中，AB=AC=朽，D是边BC上的一点，且AD=1,求BD DC的值.解析：以点A为圆心、AB为半径作OA,交直线AD于点E、F,则点C在0A 上，DE= a/3-1 t DF= V3 + 1 由相交弦立理，得 BD DC = DE DF= (-1)(73 + 1) =2

5、.例7 如图，在ZXABC中，ZDAB=ZC ZB的平分线BN交AD于求 证：(1) AM=AN； (2) AB2-AN2=BM BN解析：(1)略；(2)由(1),得AM=AN.以点A为圆心.AM为半径作0A,交AB于E,交BA的延长线于F,则N在0A上，且AE=AF=AN 由割线定理，得BM BN=BEBF=(AB-AE)(AB+AF)=(ABAN)(AB+AN)=AB 2-AN 2, 即 AB 2一 AbP=BM BN四、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆例8如图，在直角梯形ABCD中，ABDC, ZB=90%设AB=a, DC=b, AD=c,当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC

6、上存在点P,使AP丄PD?解析：以AD为直径作00,根据直径所对的圆周角是直角，当00与直线BC 有公共点(相切或相交)时，在直线BC存在点P,使AP1PD.因为OO的半径 r=-,圆心0到直线BC的距离d=AB+DC =所以，当ds，即2 2 2 2a+b设0M的半径为R,由正弦立理，得AB 6sin ZA CB = =2R 2R由此可见，当R取得最小值时，ZACB取得最大值.而当点0M与x轴的相切 于点C时，R取得最小值.根据切割线泄理，得oC2=OB OA,所以0C=4.故当点C的坐标为(4, 0)时，ZACB取得最大值.例 10 已知 RtAABC 中，AC=5, BC=12, ZAC

7、B =90, P 是边 AB 上的动 点，Q是边BC的动点，且ZCPQ = 90,求线段CQ的取值范围.A解析：以CQ为直径作OO,根据直径所对的圆周角是直角，若AB边上的动点 P在圆上，ZCPQ就为直角.当0与AB相切时，直径CQ最小.由切线长左理，得AP=AC = 5,所以BP=135 = &再根据切割线左理，得BP2=BQBC,所以BQ= , CQ=33当点Q与点B重合时，直径CQ最大，此时C Q= 1 2 .20综上所述，CQ123五、四点共圆判断四点共圆的常用方法有（1）对角互补的四边形的四个顶点共圆：（2）同 底同侧顶角相等的两个三角形的四个顶点共圆.判断四点共圆后，就可以借助过这

8、 四点的辅助圆解题.例11如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交 ZABC的外角平分线于点F,求证：FE=DE.解析：连接 DB、DF.因为ZCBF=45, ZDBC=45,所以ZDBF=90. 又ZDEF=90,所以D. E、B、F四点共圆，所以ZDFE=ZDBE=45%所以FE = DE 例12如图等边APQR内接于正方形ABCD,英中点P. Q、R分别在边AD. AB、DC上，M是QR的中点，求证：不论等边APQR怎样运动，点M为不动点.解析：连接PM. AM、DM,因为M是QR的中点，所以ZPMQ = 90又 ZPAQ = 90,所以 Av Q、M. P 四点共圆，所以ZMAP= ZMQP = 60.同理， ZMDP=60.所以AMAD是等边三角形，即点M为不动点.例13如图，正方形ABCD的中心为O,而积为1989, P为正方形内的一点, 且ZOPB=45% PA : PB=5 : 14,求 PB 的长.AB解析：连接OA、0B.因为ZOPB = ZOAB=45,所以A. B、0、P四点共 圆，所以