圆与方程知识点总结典型例题精编版

1、最新资料推荐 圆与方程 1. 圆的标准方程： 以点 C(a,b) 为圆心， r 为半径的圆的标准方程是 (x a)2 (y b)2 r2 . 特例：圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的方程是： x2 y2 r2 . c. 点在圆外d r 圆外一点 B ，圆上一动点 2. 点与圆的位置关系： (1) . 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r ： a. 点在圆内dr ； b. 点在圆上 d=r ； (2). 给定点 M(x0,y0)及圆 C:(x a)2 (y b)2 r 2. M在圆 C内(x0 a)2 (y0 b)2 r2 M在圆 C上 (x0 a)2 (y0 b)2 r2 M在圆 C外 (x0

2、 a)2 (y0 b)2 r2 3)涉及最值： P ，讨论 PB 的最值 PB min BN BC r min PB max BM BC r max P ，讨论 PA 的最值 PA min AN r AC min PA AM r AC max 思考：过此 A点作最短的弦？(此弦垂直AC ) 3. 圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 . (1) 当 D 2 E2 4F 0时，方程表示一个圆， 其中圆心 CD2, E2 ，半径r D2 E2 4F 最新资料推荐 (2) 当 D 2 E2 4F 0时，方程表示一个点D , E . 22 (3) 当 D 2 E2 4F 0时，方程不表示任何

3、图形 . 注：方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是：B 0且 A C 0且 D 2 E 2 4AF 0 . 4. 直线与圆的位置关系： 直线 Ax By C 0与圆 (x a) 2 (y b)2 圆心到直线的距离 d Aa Bb C A2 B 2 1) d r 直线与圆相离 无交点； 2) d r 直线与圆相切 只有一个交点 ； 3) d r 直线与圆相交 有两个交点 ；弦长 |AB| =2 r 2 d2 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 Ax By C 0 x2 y2 Dx Ey F 求解， 0 通过解 的个数来判断： ( 1)当0 时，直线与圆有 2 个

4、交点，直线与圆相交； (2)当0时，直线与圆只有 1 个交点，直线与圆相切； ( 3)当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 5. 两圆的位置关系 (1)设两圆 C1:(x a1)2 (y b1)2 r12与圆 C2:(x a2)2 (y b2)2 r22， 圆心距 d(a1 a2)2 (b1 b2 )2 d r1 r2 外离 4 条公切线 ； dr1r2外切3条公切线 ； r1r2dr1 r2相交 2条公切线； 最新资料推荐 d r1 r2 内切 1条公切线 0 d 外离 2）两圆公共弦所在直线方程 r1 圆 C1： x2 y2 D1x E1y F1 0 ， 圆 C2： x2 y2 D2x

5、 E2y F2 0 ， 则 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 为两相交圆公共弦方程 补充说明： 若C1与 C2相切，则表示其中一条公切线方程； 若C1与 C2相离，则表示连心线的中垂线方程 （3）圆系问题 2 2 2 2 过两圆 C1： x2y2D1xE1yF1 0和C2： x2y2D2xE2yF2 0交点的圆系 方程为 x2 y2D1xE1yF1 x2 y2 D2xE2yF20 （ 1） 补充： 上述圆系不包括 C2 ； 2）当1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） 过 直 线 Ax B y C0 与 圆 x2 y2 Dx Ey F 0 交 点的 圆 系 方 程 为 22

6、x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0 6. 过一点作圆的切线的方程： （1） 过圆外一点的切线 ： k 不存在，验证是否成立 k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 最新资料推荐 y1 y0 k(x1 x0) b y1 k(a x1) R R2 1 求解 k，得到切线方程【一定两解】 例 1. 经过点 P(1 ， 2)点作圆 ( x+1) 2+( y2) 2=4的切线，则切线方程为 (2) 过圆上一点的切线 则过此点的切线方程为 2 2 2 方程：圆 ( xa) 2+( yb) 2=r 2，圆上一点为 ( x0，y0) ， ( x0a)( xa)+(y0b)( yb)=

7、 r 特别地，过圆 x2 y2 r 2上一点 P(x 0 , y 0 )的切线方程为 x0 x y0y r2 . 22 例 2.经过点 P(4，8)点作圆 ( x+7) 2+( y+8) 2=9的切线， 则切线方程为 7切点弦 (1) 过 C：( x a)2 (y b)2 r2外一点 P(x0,y0)作C的两条切线， 切点分别为 A、B， 则切点弦 AB所在直线方程为： (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r2 8. 切线长： 若 圆 的 方 程 为 (x a)2(y b)2=r2 ， 则 过 圆 外 一 点 P(x0,y0) 的 切 线 长 为 d= (x0 a)2 + (y0

8、b)2 r 2 9. 圆心的三个重要几何性质： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例.已知圆 C1：x2 +y2 2x =0 和圆 C2：x2 +y2 +4 y =0，试判断圆和位置关系， 若相交，则设其交点为 A、 B，试求出它们的公共弦 AB的方程及公共弦长。 最新资料推荐 、求圆的方程 例 1 (06 重庆卷文 ) 以点 (2, 1) 为圆心且与直线 3x 4y 5 0 相切的圆的方程为 ( ) 2 2 2 2 (A) (x 2)2 (y 1)2 3 (B)

9、 (x 2)2 (y 1)2 3 (C)(x 2)2 (y 1)2 9 (D) (x 2)2 (y 1)2 9 二、位置关系问题 例 2 (06 安徽卷文 ) 直线 x y 1与圆 x2 y2 2ay 0 (a 0) 没有公共点，则 a的取值范 围是 ( ) (A) (0, 2 1) (B) ( 2 1, 2 1) (C) ( 2 1, 2 1) 三、切线问题 (D) (0, 2 1) 2 2 5 例 3 (06 重庆卷理 ) 过坐标原点且与圆 x2 y2 4x 2y 0 相切的直线方程为 ( ) 2 1 1 (A) y 3x 或 y x 3 1 (C) y 3x 或 y x 3 四、弦长问题

10、 (B) y 3x 或 y x 3 1 (D) y 3x 或 y x 3 22 例 4 (06 天津卷理 ) 设直线 ax y 3 0 与圆 (x 1)2 (y 2)2 4 相交于 A、 B两点，且 弦 AB 的长为 2 3 ，则 a 五、夹角问题 22 例5 (06 全国卷一文 ) 从圆 x2 2x y2 2y 1 0外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线，则两 切线夹角的余弦值为 ( 13 (A) (B) 25 六、圆心角问题 例 6 (06 全国卷二 ) 过点(1, 2)的直线 l将圆 (x 2)2 y2 4分成两段弧，当劣弧所对的圆心 角最小时，直线 l 的斜率 k . 最新资料推荐

11、七、最值问题 22 例 7 （06 湖南卷文 ） 圆 x2 y2 4x 4y 10 0上的点到直线 x y 14 0 的最大距离与 最小距离的差是 （ ） （A） 30 （B） 18 （C） 6 2 （D） 5 2 八、综合问题 例 8 （06 湖南卷理 ） 若圆 x2 y2 4x 4y 10 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax by 0 的距离为 2 2 ，则直线 l 的斜率 k 取值范围 圆的方程 1.方程 x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圆方程，则 t 的取值范围是 1 1 1 A. 1t B. 1t C. t1 D.1t0）表示的曲线关

12、于 x+y=0 成轴对称图形，则（ ） A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 4.（2004 年全国， 8）在坐标平面内，与点 A（ 1，2）距离为 1，且与点 B（3，1）距离为 2 的直线 共有（ ） A.1 条 B.2 条 C.3 条D.4 条 5. (2005 年黄冈市调研题）圆 x2+y2+x 6y+3=0 上两点 P、Q 关于直线 kx y+4=0 对称，则 k= 6.（2004 年全国卷， 16）设 P 为圆 x2+y2=1 上的动点，则点 P 到直线 3x 4y10=0 的 距离的最小 值为 . 7.已知实数 x、 y满足方程 x2+y24x

13、+1=0.求（1） y 的最大值和最小值； （ 2）y x的最小值； x （ 3 ） x2+y2 的最大值和最小值 . 最新资料推荐 经过两已知圆的交点的圆系 2 2 22 例1求经过两已知圆： x2y24x 6 0和 x2y24y 6 0 的交点且圆心的横坐标为3 的圆的方程。 例 2 设圆方程为： (4)x2 ( 4)y2 (2 4)x (12 40)y 48 164 0 其中4 求证： 不论 为何值，所给圆必经过两个定点。 直线与圆的位置关系 22 例1：求由下列条件所决定圆 x2 y2 4 的圆的切线方程； (1) 经过点 P( 3,1) ，(2) 经过点 Q(3,0)，(3) 斜率为 1 最新资料推荐 直线和圆 1自 点（3， 3）发 出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射 ，其反射线 所在直线与 圆 22 x y 4x