华农概率论习题三解答

1、习题三解答 1：设二维随变量(X, Y)只能取下列数组中的值:(0, 0), (-1, 1), (-1, 1/3), (2, 0),且取这儿组值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12-求此二维 随机变量(X, Y)的分布列。 解：此二维随机变量(X, Y)的分布列是： 0 13 1 -1 0 1/12 1/3 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0 2. 一袋中有四个球，它们依次标有数字1, 2, 2, 3o从这袋中任取一球后， 不放回袋中，再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。 以X, Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求(X, Y)的概率分布。

2、解：由题意得：(X, Y)的可能取值为：(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2)。 则由概率的乘法公式得：PX=l,Y=2 = (l/4) X (2/3)=1/6 PX=1, Y=3 = (l/4) X (1/3) =1/12 PX=2, Y=l = (2/4) X (l/3)=l/6 PX=2, Y=2 = (2/4)X(l/3)=l/6 PX=2, Y=3 = (2/4)X(l/3)=l/6 PX=3,Y=1 = (1/4X (1/3)=1/12 PX=3,Y=2 = (l/4) X (2/3) =1/6 而事件(1,1)

3、, (3, 3)为不可能事件,所以 PX=l,Y=l=0, PX=3, Y=3=0o 则(X, Y)的联合分布列为： Y X 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 3在一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次， 每次取一只，考虑两种试验，(1)有放回抽样，(2)无放回抽样，我们定义随机 变量X, Y如下 v0表示第一次取出的是覘 1表示第一次取出的是術 vfo表示第二次取出的是品 0 1 0 25/36 5/36 1 5/36 1/36 b表示第二次取出的是俪 解:（1）所求联合概率分布为： Y = （2）所求联合概率分

4、布为: 0 1 0 45/66 10/66 1 10/66 1/66 4设二维随机变量（X, Y）的概率密度为 财 GW。？ 0 0,其他 （1）确定常数k； （2）求（X, Y）的分布函数；（3）求POXW1, 00,y0日寸 F(x, y) = 12匸 JmV e4v)(lv 1 -3.1 1 u e e 0, x 0 其它 (3) P0X l,0(y J. 二(1-戶)(1-占) 3随机变量（X, Y）的分布密度为 /（X, y） Jc（R - JfX2 + y2 R2 （1）求系数C： （2）求随机变量（X, Y）落在x2+y2r2（rR）内的概率。 解：（1）由匸匸/（x, y）dx

5、dy = 1（利用极坐标运算）得 f 啣：C（R _ 戸）rdr =CRdd-C耳clO 心宀1 3 3 于是 =莎 （2）利用极坐标运算得： 葺(2 R3 3R 6求出在D上服从均匀分布的随机变量(X, Y)的分布密度及分布函数，其中D 为x轴，y轴及直线y二2x+l围成的三角形区域. 解：山于面积S二1/4,所以(X,Y)的联合密度函数为 (兀 y) e D 其它 分布函数分区域讨论 (1) 当 xg 或y0, f(x,y)=O 从而 F(x,y)二 J J： f(x,y)dxdy=j J： Odxdy=O (2) 当-|x0,或(Ky 2x + l, F(x,y)=J：匸 f(x,y)d

6、xdy=J(：则4dx=4xy+2y-y2 (3) 当-1vxS0,2x + l vy 2 F(x,y)二J J f(x,y)dxdy二J 力J 4dy二J 】(8x+4)dx =(2x + l) -8 J_2 0 J2 (4) 当 0vx,0vyi F(x,y)=j* J ： f(x,y)dxdy=心 J； 4dx=l-(l-y)2 2 (5) 当 0 x9ly y fX0 户2x+l F(x,y)=J=f(x,y)dxdy=J 】d吐 4dy=1 综上可得： 一*或y o xy _ y2 + 2y (2x + lf i-(i-y)2 1 -x0,0y2x + 2 -x0,2x + l y

7、2 0 x,0yl 0 x J y 7.设随机变量（X,Y）的概率密度为 x2+ ,0 xl,0y1 . 解：P X+Y1 =1 -P X+Y1 y)= 8：设二维随机变量（X, Y）要区域D上服从均匀分布, D是曲线y二 和y二x所围成，试求（X, Y）的分布密度及边缘分布密度。 1 X1 解:面积Sd=ldxdy = jdxjdy = x-x2）dx = - D0 .v20 6 (x, y) e D 0 其他 （a）关于X的边缘概率密度 当03S1时， 4-30 fx (x) = J f(xt y)dy = 6Jy = 6(x - x2) 00 当X1时 所以 x-x 0 X 1 其他 （

8、b）关于Y的边缘概率密度 fr(y)= J f(X, y)dx = J 6次=6(77- y) -wV 当y 1时 A(y)=0 所以 fy(y) = 9. (1) y=l) (2) 6（7y-y） 0yl 0 其他 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立（提示: 第6题中的随机变量X与Y是否相互独立（提示: 解：(1) px=i = o+君+* =存 py = i = o+|+o 而 px=-i,r = i = | 考虑事件X二-1, 考虑事件 5 12 PX = _1, 丫 = 1 h PX =-1 PY = 1 根据定义得：X与Y不相互独立。 (2) 由第6题得, 4,(x,y)eD 0,

9、其他 PX 丄 = 0 42 v L t 1 1 1 1 PX ) = 4x-x-x- = - 42 4 2 4 L1 1 1 1 22 4 2 4 PX -PX - 4242 X与Y不相互独立 10已知二维随机变量（X, 6x）2-x-y）t 0. Y）的概率密度为: 0 xl,0yl 其它 求边缘概率密度办（x）与fY（y）； fxwy）, /nx（ylx） （2） 问X和Y是否相互独立 r+ 解：(1) fxM = fy)dy 当OWxWl时, 办(x) = J3(2- 2 JT 其它，/（x,y） = o, 所以 AW = o 所以关于x的概率密度为 /、4x-3x0 xl 0,其它

10、类似地,fy(y)=(f(x9 y)dx J X* 当 0WyWl, A(v) = 6xy(2-x-ydx = 4y- 3y2 其它，f(x,y) = O A(y)=o 所以 4y-3y0yl 0,其它 （3）故山条件概率密度的定义可知, Air(x|y)= /Z) fy(y) 6x(2-兀一 y) 4-3y- 0,其它 ,0 x 1,0 y 1 九（）心）= fx 6x(2 一 x - y) 4-3x- 0,其它 ,0 x 1,0 y 1 (3) x=l, y二1 时，A(x) X fY(y)= (4y-3y2) (4x-3x2)=l f(x, y) = Q 此时/xx /r（y）丰fg y

11、） 所以X和Y不相互独立。 11.（1）如果（X, Y）在以原点为中心，边长为2的正方形内服从均匀分布, 问X和Y是否相互独立（2）如果（X, Y）在以原点为中心，R为半径的圆内服 从均匀分布，问X和Y是否相互独立 解：（1）因为（X, Y）服从均匀分布，故 1-40 r - X - - y - 、l xl 时，f (x, y) =0 所以 川兀）=匸0心=0 当-1x1 时， fx（X）=匚 fg y）dy = / = f 于是得关于X的概率密度为 -1x1 其它 fxM = 2 0 同理可得关于Y得概率密度为 A(y)= U 0 其它 fx M x /r(y) = f(x9 y),故X和Y

12、是相互独立。 （2）因为（X, Y）服从均匀分布，故 a2 +y2 R2 其它 当x-R或xR时， /(x, y) = 0 ,所以 fx (x)=匚0dy = 0 当一RxR时, 14r2-x2 吊- 2V/?2-x2 即fx M =示 0 -RxR 其它 -RyR 其它 同理得： ，故X和Y不相互独立。 12.设X和Y相互独立，它们的概率密度分别为 Jl, 0 x0, AW=L 甘仙A（y）=k 0,具他，0,y0, 求Z=X+Y的概率密度. 解：因为X和Y相互独立，所以有 E =匚办 W/r（Z -x）dx 当时 已二“心冰=1-八 当心时 =1 = _ 1）八 -ez0zl, /z =1

13、, 0其他， 13设随机变量(X, Y)的概率密度为 2, 2 1 丄弋 /(x,y) =-z? & ,-cox-Ho,oo y +co 2加厂 求z = x2 + y2的概率密度。 解：Z的分布函数为 F=PZ v z = PX，+ 尸 v 彳=JJ/(x,ylxdy 式中，G是xOy平面内由不等式x2 + /z所确定的区域, 当 z0 时，F(z)二0；求导得(z) = O 当z0时， %=匸；1八儿刃心厶 再用极坐标来求积分 的(沪呵X补 1 求导得(z) =亏幺亏 所以 0, (z)=巧(Z)彳 1 z0 14设(X, Y)的分布密度为 /(兀刃= -(x+y) 0,其他 求羽号的概率密度。 解：Z的分布函数为 伐=P(二 )= JJ /(A-, ydxdy .v+y2z 当Z0时， I 巧=ffr “ 叫阳y = -2z.e-2z-e2z 所以 0 综上得 15设(X,Y)的联合分布密度为 y)= kxy 0, xe0JLyel,3 其他 求k值。 解：由概率密度/(x,y)的性质匚匚f(x,y)dxdy = F(+s,p) = 1, 由题意得， 匸匚“X、y)dXiIy = dykxyd