知识点35相似、位似及其应用2019

1、 一、选择题 10. （2019 苏州）如图，在 ABC中，点 D为BC边上的一点.且 AD=AB=2 , AD丄AB,过点D作DE丄AD, DE交AC于点F.若DE=1，则 ABC的面积为（） A . 4.2B . 4C. 2 5D . 8 【答案】B 【解析】/ AB 丄 AD , AD 丄 DE,：/ BAD = Z ADE = 90,二 DE / AB,./ CED = Z CAB,：/ C=Z C,.A S 四边形 ABDE= SaABD+SaADE CEDCAB, DE = 1, AB= 2，即 DE : AB= 1 : 2，二 SDEC : Saacb= 1 : 4,： S 四边

2、形 abde : Saacb= 3 : 4, 2X 1 = 2+1 = 3，: SaACB = 4,故选 B . 2 10. （2019绍兴）如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图 2中水面高度为 （ ） 243212、3420.34 A.B.C.D. 551717 【答案】A 【解析】 如图所示：设 DM = x,则CM = 8 - x, 根据题意得：丄（8 - x+8） X3X3 = 3X3X5, 解得：x= 4, : DM = 6, /D = 90,由勾股定理得：B

3、M=DM 2孑=5, 过点 B 作 BH 丄 AH ,/ HBA+ / ABM = / ABM+ / ABM = 90 .BHBD，即 BH AB BM8 3 -，解得BH = 5 24，即水面咼度为24 . 5 5 6. （2019 杭州）如图，在 ABC中，点D, E分别在 AB和AC边上， DE/ BC M为BC边上一点（不与点B, C重 合）连接AM交DE干点N,贝U ( ) AD ANBD MN DN NE DN NE A. B. C. D. AN AEMN CE BM MC MC BM 【答案】C 【解析】 根据DE/ BC,可得 ADNTA ABM与 AN0A AMC再应用相似三

4、角形的性质可得结论.t DN/ BM, ADNTA ABM DN 竺， ne MC - AN* AMC -些 少，-空 些故选 C BM AMMC AM BM MC 7. （2019 常德）如图，在等腰三角形厶 ABC中，AB = AC,图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积 为， ABC的面积为42,则四边形 DBCE的面积是（） A . 20B . 22C. 24D. 26 【答案】D 【解析】：图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为， ABC的面积为42,-最小的三角形与厶 2 ABC 的相似比为1=，: ADEs ABC，/.=磊,/ DE = 4X 1 = 4 , =

5、16 =, -.$42SvABCBC BC 1 4242S/ABC4221 8 - Sade =X 42= 16,-四边形 DBCE 的面积=Sabc Sade = 26,故选项 D 正确. 21 5. （2019 陇南）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（） A .平移变换B.相似变换C .旋转变换D .对称变换 【答案】B 【解析】由图可知，放大前与放大后图形是相似的，故选： B . 1. （2019 枣庄）如图，将 ABC沿BC边上的中线 AD平移到 ABC的位置，已知 ABC的面积为16,阴影部分三 角形的面积为9,若AA = 1,则AD等于 A.2 B.3 C.4 【答案】B 【解析

6、】由平移可得, ABC s aMN,设相似比为 k, / Saabc = 16,Saamn = 9, a k2= 16:9,二 k= 4:3,因为 AD 和 AD 分别为两个三角形的中线 ， AD:AD = k= 4:3, / AD = AA+AD, a AA:AD = 1:3, / AA = 1,则 AD = 3,故选 B. fr 2. （2019 淄博）如图，在 AABC中，AC = 2, BC= 4, D为BC边上的一点，且/ CAD = Z B.若AADC的面积 为a，则AABD的面积为（） 57 A. 2a B. a C. 3a D. a 2 2 【答案】C. BC 【解析】 在AB

7、AC 和AADC 中，/ C 是公共角，/ CAD = Z B. , BACADC ,2, AC S/ABCBC 2 /ABC=()4，又 ADC的面积为a , ABC的面积为4a , ABD的面积为3a. S/DACAC 3. (2019 巴中)如图，丫 ABCD,F为BC中点，延长AD至E,使DE:AD = 1:3,连接EF交DC于点G,则Sadeg：Sa CFG =() A. 2:3B.3:2C.9:4D.4:9 【答案】D 【解析】 因为DE:AD = 1:3,F为BC中点，所以DE:CF = 2:3, Y ABCD中,DE / CF,所以 DEGCFG,相似比为 2:3,所以deg：

8、Scfg= 4:9.故选 D. 4. （2019 乐山） 把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置 .则图中阴影部分的面积为 【答案】A 【解析】 四边形 ABCD AD CE DH CH 5. （2019 乐山） 如图, 第8题答图 CEFG 都是正方形， AD=DC=1 , CE=2, AD / CE,.A ADHECF , / -D也，解得DH = 1，阴影部分面积为 1 X 1 X 1 = 1，故选A. 1 DH3236 与四边形 在边长为 3的菱形ABCD中， B 30，过点A作AE BC于点E ,现将 ABE 沿直线AE翻折至 AFE的位置， AF与CD交于点G .则CG等于

9、（） 1C.丄 D. 2 A 第9题图 E C 【答案】 【解析】 AE BE=CF= AB2 ，菱形 ABCD的边长为.3 , B 30 , AEAB3 , 2 2 AE2 =1.5 , BF=3 , CF=BF-BC=3 - 3 , v AD / CF , AGD FGC , -DG 如 , CG CF AEB=90 CG CG -，解得CG= 31，故选A. 3，3 6. （2019 凉山）如图，在 ABC中，D在AC边上，AD : DC = 1 : 2, O是BD的中点，连接 A0并延长交 BC 于 E,贝U BE : EC= （ ） A. 1 : 2 B. 1: 3 C. 1: 4

10、D. 2 : 3 【答案】B 【解析】 过点D作DF / AE，则 BE BO i, EF OD 兰 JAD 1 , BE : EF : FC=1 : 1 : 2,. BE : EC=1 : 3. FC CD 2 故选B. 一束光线从点A（ 4, 7. （2019 眉山）如图, 则点C的坐标是 B(, 4) 【答案】B 【解析】解：过点 OC DC OB AD， A作AD丄y轴于点D, OC 4 OC A 中 解得： 14 4）出发，经y轴上的点C反射后，经过点B （1, 0）, C (0, 1) D (0, 2) / ADC= / COB=90。，/ ACD= / BCO , OBA DAC

11、 , / 4 4 OC= -，点 C (0,),故选 B. 5 5 8. （2019 眉山）如图，在菱形 ABCD中已知AB=4,Z ABC=60,Z EAF=60，点E在CB的延 长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论： BE=CF，/ EAB=Z CEF;厶ABEs EFC, 若/ BAE=15,则点F到BC的距离为2 3 2，则其中正确结论的个数是 【答案】B 【解析】连接AC,在菱形 ABCD中，AB=BC , / ABC=60 ，/. ABC是等边三角形，/ AB=AC , / BAC=60 , / EAF=60 ,aZ EAB+ / BAF= / CAF+ / BAF=60 ，即

12、/ EAB= / CAF , v/ ABE= / ACF=120 ,a ABE ACF , BE=CF，故正确；由厶 ABE ACF，可得 AE=AF , v/ EAF=60 ,a AEF 是等边三 角形，/ AEF=60 ，/ AEB+ / CEF=60 ,v/ AEB+ / EAB=60 ，/ CEF= / EAB，故正确；在厶 ABE中，/ AEB V 60,/ ECF=60 ,错误；过点 A作AG丄BC于点G ,过点F作FH丄EC于点H , v/ EAB=15 ，/ ABC=60 ，/ AEB=45 ，在 Rt AGB 中，v / ABC=60 , AB=4 , 1 _ - BG= -

13、AB=2 , AG= 3 BG= 2.3，在 Rt AEG 中，v/ AEG= / EAG=45 , AG=GE= 2 3 , 2 EB=EG-BG= 2.3-2, v/ BAC= / EAF=60 ，/ BAE= / CAF , v/ ABC= / ACD=60 ,/ ABE= / ACF=120 EAB = FAC 在厶 AEB 和厶 AFC 中， AB = AC, AEB AFC , AE=AF , EB=CF= 2 3-2, ABE = ACF =120 在 Rt CHF 中，v/ HCF=180 - / BCD=60 ,CF= 2 3-2, FH=CF ?sin60 （23-2）?B

14、-3 点F到BC的距离为 A. 如果两个三角形相似，相似比为 B. 如果两个三角形相似，相似比为 C. 如果两个三角形相似，相似比为 D. 如果两个三角形相似，相似比为 4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3 4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9 4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3 4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9 3- . 3 故错误故选B. 9. （2019 重庆B卷）下列命题是真命题的是（ 【答案】E 【解析】如果两个三角形相似，那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方. 即如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9 ;面积比

15、是相似比的 平方，即16:81.故选E . 10. （2019 重庆 A 卷）如图， ABOs CDO，若 BO = 6, DO= 3, CD = 2,贝U AB 的长是（） 【答案】C 【解析】/ ABOs CDO , AB CD BO BO = 6, DO = 3, CD = 2蚀AB = 4故选 C. DO23 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填空题 16. （2019 滨州）在平面直角

16、坐标系中, ABO三个顶点的坐标分别为 A (-2,4) , B (- 4, 0), O (0, 0).以 原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 -，得到 CDO，则点 A的对应点 C的坐标是 2 【答案】（1 , 2）或（1, 2） 丄一11、11 【解析】 点A的对应点C的坐标是（一 2 X , 4X ）或（一 2 X （ ）, 4 X （）,即（一 1, 2）或（1, 2 2 2 2 2）. 2. （2019 滨州）如图，？ABCD的对角线 AC, BD交于点O, CE平分/ BCD交AB于点E,交BD于点F，且 / ABC= 60, AB = 2BC,连接 OE .下列结论： E

17、0丄 AC; SaAOD = 4SaOCF; AC: BD f | ： 7; FB2 =0F?DF .其中正确的结论有 _.（填写所有正确结论的序号） 【解析】 在 Y ABCD 中，AB / DC / ABC=60,aZ BCD=120 . v CE 平分/ BCDBCE=60 , BCE是 等边三角形， BE=BC=CEZ BEC=60 . / AB=2BC AE=BE=CE EAC玄 ACE=3C，/ ACB=90 在 Y ABCD 中，A0=C0 , B0=D0 , 0E是厶ACB的中位线， 0E / BC , 0E丄AC,故正确；v 0E是厶ACB的中位 线，二 0E= 1 BC ,

18、 2 v 0E / BC, 0EFBCF , 0F: BF=0E : BC=1 : 2, Saod =Sboc=3S ocf，故 错误；在Rt ABC中, v AB=2BC - AC=BC , 0C=BC .在 Rt BC0 中, 2 BD=笃 7 BC, AC : BD=、3bC : 、7 BC =、. 21 乙故正确; v 0F: BF=1 : 2, BF=20F , 0B=30F , v 0D=0B , DF=40F , BF2= (20F) 2=40F2, OF DF=0F 4OF=4OF2,a BF2=0F DF，故 正确. 3. (2019 凉山)在口 ABCD中，E是AD上一点，

19、且点 E将AD分为2 : 3的两部分， 连接BE、AC相交于F, 则 SaAEF : SCBF 是 【答案】4: 25或9 : 25 【解析】在口 ABCD 中，v AD / BC, AEFCBF.如答图 1,当 AE : DE=2 : 3 时，AE : AD=2 : 5, v AD=BC, AE : BC=2 : 5, 如答图 2,当 AE : DE=3 : 2 时，AE : AD=3 : 5, v AD=BC , AE : BC=3 : 5, Saaef : Sacbf=9 : 25.故答案为 4 : 25 或 9 : 25. （第16题图答图1） （第16题图答图2） 4. （2019

20、自贡）如图，在 RtA ABC 中，/ ACB=90, AB=10, BC=6, CD / AB,/ ABC 的平分线 BD 交 AC 于点E, DE=. 【答案】9v5. 【解析】 BD平分/ ABC, / ABD=/ CBD , / AB / CD, / D=/ABD, / CBD=/ D , CD=BD=6. 在 RtA ABC 中，AC=?2 ?= V l0 - 62=8. / AB / CD , ABEDCE , .CE _ ?_ ?_ 6 _ 3 ？?？?？?？ io 5 33 ce=5ae, de=5be. 即 CE=3aC=3 X 8=3. 在 RtA BCE 中，BE=V?N

21、 ?= V62 + 32 = 3v5. - DE=3bE=3x 3v5=9 v5. 555 5. (2019 衢州)如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“ 7”字图形。 (1 )将一个“ 7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上, 一OB 顶点B, D位于v轴上，O为坐标原点，贝U 的值为 OA (2)在(1)的基础上，继续摆放第二个“ 7 “字图形得顶点F1,摆放第三个“ 7”字图形得顶点F2.依此类推， 摆放第n个“ 7”字图形得顶点Fn-1则顶点F2019的坐标为 . 【答案】 (1) 606兰，405 角) 5 【解析】 (1) 因为

22、/ DBC + / BDC=90,/ DBC + / OBA =90 , / DCB = / BOA =90 ,所以/ BDC = / OBA，所 以厶 CDB s OBA，所以 OB:OA=CD:CB= (2 )因为 OB:OA=1:2, AB=1,由勾股定理得 OBnOAn25 5 .因为/ CDH = / ABO , / DHC = / BOA =90 , CD =AB ,所以 DHC BOA,所以四边形 OACH 为矩形, DH=5 , HC = 2-5 ,同理 MAF 55 3亦6苗 OBA，由AF=3得，AM=, FM=，在直角三角形 55 NCF 中，CN=AM= ,CF=、2

23、,NF=，CF2 CN2 5 =一5，在直角三角形 ABC中，AC= 、5,F点的坐标为 5 35 45 + 卫）;根据规律Fi比F的横坐标 5 增加3_5单位、纵坐标增加6_5 , F, F1点的坐标为 2、5 3 5 - 5 + X 2) ; F2比Fl的横坐标增 5 - 5 + - X 3);所以 F2019 的坐 5 3 565 加 单位，纵坐标增加单位，F2点的坐标为 55 标为（255 + 355 “2020， 半 % 202。），即（畔,叫5） 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

24、24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答题 24. （2019 长沙）（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做 相似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比. （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真” 或“假”）. 条边成比例的两个凸四边形相似；（命题） 三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题） 两个大小不同的正方形相似.（命题） (2)如图1，在四边形ABCD和四边形 AiBiCiDi 中，/ ABC

25、= /AiBiCi,/ BCD= / BiCiDi, AB BC CD A1B1 BiCi CiDi 求证：四边形ABCD与四边形AiBiCiDi相似. 请24题图2 0,过点0作EF/ AB分别交 AD，BC于点E， (3)如图2，四边形ABCD中，AB / CD , AC与BD相交于点 F.记四边形ABFE的面积为Si,四边形EFDE的面积为S2,若四边形ABFE与四边形EFCD相似, 求毎的值. Si 【解题过程】(i)解：(i)四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；三个角分别相等 的两个凸四边形相似， 是假命题，边不一定成比例；两个大小不同的正方形相似.是真命题.故答

26、案为假, 假，真. 如图，分别连接 BD、BiDi, / BCD= / BiCiDi, BC CD Ci Di BCDBiCiDi, bc bd / CBD= / CiBiDi,/ CDB= / CiDiBi, BiCi Bi Di AB bc AB bd 乂/ ABC= / AiBiCi, / abd= / AiBiDi, Ai Bi Bi Ci Ai Bi Bi Di BiCi AB Ai Bi AD A Di / ADB= / AiDiBi,/ DAB= / DiAiBi, AB BC CD AD BiCi CiDi Ai Di / ABC= / AiBiCi, / BCD= / BiC

27、iDi, / ADC= / AiDiCi, / DAB= / DiAiBi, Ai Bi AiBiCiDi 相似. 四边形ABFE与四边形EFCD相似, DE EF AE AB / EF=OE + OF, DE OE OF AE AB / EF / AB / CD , DE AD OE DE AB，AD OC OF AB AB DE DE OE OF 2DE AD AD AB AB， DF Ae / AD =DE + AE , 2 1 DE AE AE， 2AE=DE + AE，即 AE=DE , a 1 S2 23. (2019 黄冈)如图，Rt ABC中，/ ACB = 90以AC为直径的

28、O O交AB于点D过点D作O O的切线交 BC于点E,连接OE. (1) 求证： DBE是等腰三角形； 求证： COEs CAB. 【解题过程】 证明；连接皿 I班是。的切线.上仞疋二疔, .AD5r是笄膿三毎形.二 (2) ，.Z4C5=90 , AC 是 OO 的的直径/ 6是的切线 又丁册 是的切线 二 DEuEU DESB. 二 EOEE OAOCt :如皿 .AOTcoAC45 23. (2019 安徽)如图，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC.P ABC 内部一点，且 / APB= / BPC=135 . (1) 求证： PAB PBC; (2) 求证：PA=2

29、PC; (3) 若点P到三角形的边 AB , BC , CA的距离分别为h1, h2, h3.求证：h12= h2 h3. ACB 【解题过程】 解：(1)证明：在厶ABP中，/ APB=135 ,aZ ABP+ / BAP=45 , 又 ABC为等腰直角三角形，/ ABC=45 ，即/ ABP+ / CBP=45 , / BAP= / CBP，又/ APB= / BPC=135 ,山 PABPBC; 4分 (2) 由(1)知厶PABPBC，所以空=空=竺=.2 PB PC BC PA PA PB 于是， =- =2，即 PA=2PC; 9 分 PC PB PC (3) 如图3,过点P作边AB

30、 , BC, CA的垂线，垂足分别为 Q, R, S,则PQ=hi, PRcp 1h1 PR=h2, PS=h3，在 RtACPR 中，=tan/PCR= = ，丄= ，即 h3=2 h2, CRAP 2h3 2 AB l 山 一i BCh2 于是 hi2=h2 h3. 14分 A S BOP R B 又由 PABPBC，且 =、.2，故.2，即 hi=、2h2, 1. (2019 -重庆 B卷)在口 ABCD中, BE平分/ ABC交AD于点E. (1) 如图 1,若/ D=30 , AB= J6 , 求厶ABE的面积; (2) 求证: / AB/ CD,.能 AB FG FM 2 ，解得：

31、x a -; 2a b c / AF 丄 DC，/ F=90 , AE DE b , DF a c, AF DC的延长线于点 F，分别交BE, BC于点G , H，且AB=AF , 如图2,过点A作AF丄DC,交 ED AG=FC . 解：(1)过点E作EN丄AB，交BA延长线于点 N,垂足为N, 在口 ABCD 中，AD / BC, AD/ CB, / D= / ABC=30 ，/ ABC=/ EAN=30; / BE 平分/ ABC , / ABE=/ CBE ,v AD / BC, / AEB= / CBE，/ AEB = / ABE , AB=A E=6 ; 亠亠cc EF LL 32

32、 1 “ EF 1 3/2 3/3 在 Rt AEN 中，cos30 ,EF ，. S ABE AB AE 2 2 2 2 2 (2)延长BE交CD延长线于点 M，设 AG x , AB a, DE b , CF c, 在口ABCD 中，AB/ CD, AD / BC, 且 CD= AB a , T AB=AF , AF= AB a , GF= a x , / AB/ CD, / ABM= / M , / CBE= / AEB, / BE 平分/ ABC , / ABM= / CBE , / ABM= / AEB , AE= AB a ; T/ AEB = / DEM , / DEM=/ M,

33、 DM= DE b , FM = a b c, - AF2 DF2 AD2, 二 a2 a c $ a b 2 2 2 2 二 a 2ac c 2ab b , AG+CF=x C 2 a 2a b c a2 2ac bc c2 2a b c 2a b c a2 2ac bc c2 2a b c a2 2ac c2 bc 2a b c 2 2ab b bc , b 2a b c DE , DE-AG=CF . 2. (2019 台州)如图，正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F,AP =FD. 求红的值； AP (2) 如图1,连接EC,在线段EC

34、上取一点 M,使EM = EB,连接MF,求证:MF = PF; (3) 如图2,过点E作EN丄CD于点N,在线段EN上取一点 Q,使AQ = AP，连接BQ,BN,将厶AQB绕点A旋转， 使点Q旋转后的对应点 Q落在AD上请判断点B旋转后的对应点 B是否落在线段BN上，并说明理由. 第24题图 【分析】(1)通过相似构造等量解得对应线段 AF与FD的长度，来求解它们之间的比例；(2)通过连接PD,构造全等 转化/ 3与/ 1相等,再利用第一问求得的 AP的长度得到EP= EC,从而得到/ 1 = Z 4,故转化/ 3=7 4,从而证明厶 PFD FMC;(3)构造三角形，通过证明相似，求得对

35、应线段长度，进行比较，从而得到结论 解：(1)设 AP = x,贝U FD = x,AF = 2 x, 在正方形 ABCD 中,AB / CD, PAFCDF, AFPFAP2xx2 =, 二一 , x =4- 2x, FDCFCDx2 解得 n =、5 -1, x2 = - . 5 - 1, AF FD = (2)连接 DP,v PA= DF,7 PAD = 7 ADC,AD = CD, PAD FDC, / 3=7 2,PD = FC. 又 AB / CD, / 1 = 7 2. 又 EC =、5,EB = EM = 1, MC =5- 1 = FD = AP. PE = PA+AE =

36、.5-1+1 =、一5 = EC. 1 = / 4,. / 4 =Z 3. 又；FD = MC,PD = FC,.A PFD FMC, PF= FM. 图(1) 如图2,在AD上取一点 Q,使AQ = AQ,在BN上取一点B,使AB = AB,连接BQ，作BG丄AD于点G,交EN于 点K, / tan / NBE = 2,AB = AB = 2, BB= 2 , 5 2= 45 BN = BN = BB= / NBK NBE, BK = 5 ,KN = 6 2 BG = 5,DG = 5, QG = 3-5 BQ= 66- 25 . 5 5 而(5-1)? 66 - 25、5 5, BQ丰 B

37、Q, 点 B不在 BN 上. 在Rt BGQ中，/ BGQ = 90 ,利用勾股定理可得 B 图 3. (2019 衢州)如图，在 Rt ABC 中，/ C=90, AC =6. / BAC =60, AD 平分/ BAC 交BC于点 D，过点 D作 DE II AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点，连结 BM并延长分别交DE, AC于点F,G. (1 )求CD的长。 (2) 若点M是线段AD的中点，求-EF的值。 DF (3) 请问当DM的长满是什么条件时，在线段 DE上恰好只有一点P,使得/ CPG=60? 解：(1)v AD 平分/ BAC，/ BAC =60 , 1 / 0AC=

38、/ BAC=30。2分 2 在Rt ADC 中, DC=AC tan30=2 .3 ,4分 (2)易得,BC=6、.3 , BD=4、.3.5 分 由 DE II AC，得/ EDA =Z DAC，/ DFM =Z AGM . / AM =DM , DFM AGM , DF =AG. 由 DE II AC.得厶 BFE BGA , EF = BE = BD AG AB BC EF = EF = BD =4,3 =2 DF AG BC 6.3 3 (3)/ CPG=60 ,过C,P,G作外接圆，圆心为 Q CQG是顶角为120。的等腰三角形。 当O Q与DE相切时，如图1 ,过Q点作QH丄AC

39、,并延长HQ与DE交于点P ,连接QC , QG 。 9 1 设O Q的半径QP=r，则QH=丄r, 2 r+1 r=2 3，解得 r= 3 , 23 CG= 4 j3 X 3 =4,AG=2. 3 易知ADFM sMGM，可得DM AM DF=1,则 DM = 4。 AG 3 AD 7 dm3.9 分 7 当O Q经过点E时，如图2，过C点作CK丄AB，垂足为K. 设O Q的半径QC=QE=r, A 14.3 r= 在 RtEQK 中,12+ ( 3 .3-r) 2= r2,解得 CG= x、. 3 上 93 易知ADFM sMGM，可得DM= 14 3 5 当O Q经过点D时，如图3 ,此

40、时点M与点G重合，且给好在点A处，可得DM=4 , 311分 4. (2019 金华)如图，在等腰 Rt ABC 中, / ACB = 90 AB = 14运，点 D, E分别在边 AB, BC上，将线 综上所述，当 DM= 7 16l或tvDM 43时，满足条件的点 P只有一个12分 90得到EF. E与点C重合, AF与DC相交于点 O,求证：BD = 2DO . 段ED绕点E按逆时针方向旋转 (1) 如图1,若AD = BD，点 (2) 已知点G为AF的中点. 如图2,若AD = BD, CE = 2,求DG的长.若AD = 6BD，是否存在点E,使得 DEG是直角三角形？若存 在，求C

41、E的长；若不存在，试说明理由. (第24题图) 解：(1)由旋转的性质得： CD = CF，/ DCF = 90 ABC是等腰直角三角形， AD = BD, / ADO = 90 CD = BD = AD . / DCF =Z ADC . 在厶ADO和厶FCO中 AODFOC, ADO AD FC, DO = CO. BD = CD = 2 DO . (2如答图1,连结BF，分别过点 D, F作DN丄BC于点N , FM丄BC于点M . / DNE =Z EMF = 90 又/ NDE = Z MEF , DE = EF , DNE 也厶 EMF . DN = EM . 又 BD = 7农，/

42、 ABC = 45 DN = EM= 7, BM = BC ME EC = 5, MF = NE= NC EC = 5. BF = 5、2 . 点D, G分别为AB, AF的中点. DG = - BF = 5 . 2 . 2 2 过点D作DH丄BC于点H. / AD = 6BD, AB = 14 .2 , BD = 2 2 . I)当/ DEG = 90时，有如答图2, 3两种情况，设 CE=t. / DEF = 90 Z= DEG 点E在线段AF 上. BH = DH = 2, BE = 14 t, HE = BE BH = 12 t. / DHE ECA, =世，即-=，解得 t= 6戈

43、2 , EC CA t 14 CE = 6+ 2 .2 或 CE = 6 2 2 . n）当DG / BC时，如答图4. 过点F作FK丄BC于点K，延长DG交AC于点N，延长AC并截取MN = NA，连结FM . 则 NC= DH = 2, MC = 10. 设 GN = t，贝U FM = 2t, BK = 14 2t. DHE EKF . KE = DH = 2KF = HE = 14-2t. / MC = FK , 14 2t= 10, t = 2 . GN = EC= 2, GN / EC, 四边形GECN是平行四边形. 而/ ACB = 90 四边形GECN是矩形. / EGN =

44、90 当 EC= 2 时，有/ DGE = 90 答图4 川）当/ EDG = 90时，如答图5. 过点G, F分别作AC的垂线，交射线 AC于点N, M，过点E作EK丄FM于点K,过点D作GN的垂线，交NG 的延长线于点P. 则 PN= HC = BC HB = 12. 设 GN = t，贝U FM = 2t,. PG = PN GN= 12 t. 由厶 DHE EKF 可得 FK = 2, CE = KM = 2t 2. HE = HC CE= 12（ 2t 2）= 14 2t, EK = HE = 14 2t, AM = AC+ CM = AC + EK = 14+ 14 2t= 28

45、2t,. 1 MN = - AM = 14 t, NC= MN CM = t. 2 PD = t 2 . 由厶GPD DHE可得匹=史，即= t 2 , HD HE214 2t 解得 t1= 10 14 , t2= 10+ 14 （舍去）， CE = 2t 2= 18 2、14 . 所以，CE 的长为 6 + 2 2 , 6 2 2 , 2 或 18 2.14 . ?= ? 1 N C M 5. （2019 自贡）（1）如图1, E是正方形 ABCD边AB上一点，连接BD、DE,将/ BDE绕点D逆时针旋转 90, 旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G. 线段DB和DG的数量关系是； 写

46、出线段BE，BF和DB之间的数量关系. （2）当四边形 ABCD是菱形，/ ADC=60,点E是菱形ABCD边AB所在直线上一点，连接 BD、DE,将/ BDE 绕点D逆时针旋转120。，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G. 如图2,点E在线段AB上时，请探究线段 BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明； 如图3,点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1,AB=2,直接写出线段 GM的长度. C （132） 解：（1 答案：DB=DG. / BDE绕点D逆时针旋转 90得到/ GDF, / EDF=Z GDB=90,Z BDE = Z GDF , 四边形

47、ABCD是正方形, 1 / DBC =Z DBA= / ABC=45 . 2 / BDG=90, / DBG =Z G=45 . DB=DG. 线段BE, BF和DB关系为：BF+BE=v2BD，理由如下： / EDB=Z FDG , DB=DG, / DBE=Z G, EDB FDG . BE=GF. 故答案为DB=DG. 在 RtA BDG 中，/ DBG=45, cos/ DBG=BD = 二 BG 2 即BG七BD , 又 BG=BF+FG=BF+BE, BF+BE=v2BD. (2)线段BE, BF和DB关系为：BF+BE=v3BD，理由如下: / BDE绕点D逆时针旋转120得到/

48、 GDF, / EDF=/ GDB=120,/ BDE=/ GDF , 四边形ABCD是菱形， /ABC = ZADC=60, BD 平分/ ABC, 1 / EBD=Z DBG= / ABC=30, 2 / G=180 - / DBG - / BDG=30, / G=Z DBG, BD=GD, / EDB=Z FDG , DB=DG, / DBE=Z G, DBE DGF, BE=GF, BG=BF+GF=BF+BE. 过D作DH丄BG于H , 又 DB=DG, 1 -BH = ?BG , 在 RtA BDH 中，/ DBG=30, BH 3 cos/ HBD =, BD 2 - bh=；b

49、d. 1 又T BH =2BG, - BG=v3BD. 又 BG=BF+BE, BF +BE= v3BD. (2) GM=19，理由如下： 3 由旋转可知，/BDF=120, 又/ ABC=600，四边形ABCD为菱形, 1 / CDB = / CBD= / ABC=30, 2 ， / FDC = / BDF-/ BDC=90, 在 RtACDF 中,/ DCF=1800-/ BCD=60, ? 2 FC = = -=4 ? / DCF 丄 2 / AB / CD , CDM BEM , ? ? 2 CM=2?4 3.3 由(2)可知， BDE FDG , .GF=BE=1. 419 .GM

50、= FG+FC+CM=1+4+4=M 33 6. (2019 凉山)如图，/ ABD=Z BCD =90 , DB 平分/ ADC，过点 B 作 BM / CD 交 AD 于 M .连接 CM 交 DB 于 N. (1) 求证：BD = AD CD ; (2) 若 CD=6, AD=8,求 MN 的长. 解：(1)证明：T BD 平分/ ADC，./ ADB=Z BDC ,v/ ABD=Z BCD=90,. DAB DBC , CD. BD = AD CD BD (2)由(1)可知：BD2=ADCD. / CD=6,AD=8,. BD=4、.3,又 AD=8, AB= AD2 BD2 824.

51、3 4 AB= 1 AD ADB =30。，/ BDC= / ABD=30 ，又/ ABD = / BCD =90 A= / DBC =60 , / BM / CD，/ BDC = Z MBD =30。，/ ABM =/ABD-/ MBD =60 , ABM是等边三角形，故 BM=AB=4, ABDBCD , AB DB , .BC= AB CD 46一 =2 .3 , / BM / CD , / CBM =180 -/ BCD =90 BC CD DB 4,3 CM= BM2 CB2 42 23 2 2 .7, / BM / CD,BMNDCN , MN MB 4 2 V CN CD 63

52、CN=1.5MN，又 CN + MN = CM=2 7 , MN=4、7 AB、AC 7. （2019 乐山）在厶ABC中，已知D是BC边的中点，G是厶ABC的重心，过G点的直线分别交 于点E、F . BE (1) 如图，当EF / BC时，求证： CF1 ； (2) F分别在线段 AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成 (3) 如图，当 EF和BC不平行，且点 E、 立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 如图，当点 E在AB的延长线上或点 F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给 出证明；如果不成立，请说明理由. 解：（1） G是厶ABC重心, DG AG AE

53、 又 EF / BC, BE DG 1 CF DG 1 5 AE AG 2 AF AG 2 (2) ( 1)中结论成立，理由如下：如图，过点 BE CF丄丄i. AE AF 22 BE CF 1, AE AF A作AN / BC交EF的延长线于点 N , BE BM CF CM FE、CB的延长线相交于点M，贝U - AE AN AF AN BE CF BM CM BM CM AE AF AN AN AN 又 BM CM BM CD DM , 而D是 BC的中点，即BD CD , BM CM BM BD DM DM DM 2DM , BE CF 2DM DM DG 1 BE CF 小 1 ,又

54、 , 2 -1，故结论成立; AE AF AN AN AG 2 AE AF 2 A GF E G _ a. -.1 - 4” MBDC N (3) (1)中结论不成立，理由如下：当 F点与C点重合时， E为AB中点，BE AE, 点F在AC的延长线上时，BE AE, BE 1,则 BE AEAE CF 1 ,同理：当点E在AB的延长线上时, AF 结论不成立 8. (2019 达州)如图，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , AC=2 , BC=3. (1) 尺规作图：不写作法，保留作图痕迹作/ ACB的平分线，交斜边 AB于点D; 过点D作BC的垂线，垂足为 E. D (2) 在(1)

55、作出的图形中，求 DE的长 (2)解：T DE 丄 AC，/ ACB=90 DE / AC / ACD= / CDE / CD 平分/ ACB / ACD= / DCE / DCE= / CDE ED=EC DE / AC BED BCA DE BE AC BC 设 ED=EC=x，贝U BE=3-x x 3 x 2 解得：x=6 5. DE的长为6 5. 9. (2019 潍坊)如图，正方形 ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG ,过点A作AH / DG ,交 BG于点H,连接HF， AF，其中AF交EC于点M . (1)求证： AHF为等腰直角三角形. (2 )若 AB=3

56、, EC=5，求 EM 的长. 解：(1)证明： AD / CG , AH / DG 四边形ADGH为平行四边形. AD=HG. / AD=BC, BC=HG BC+CH=GH+HC 即 BH=CG GF=BH 在厶ABH和厶HGF中 AB=HG / B=Z HGFBH =GF ABH HGF / BAH=Z GHFAH=HF / BAH + Z BHA=90 / AHF =90 AHF为等腰直角三角形. (2 )T AB=3, EC=5 AD=CD=3, CE=EF=5 DE=2 / AD / EF DM AD 3 eM eF 5 EM = DE= 8 10. (2019 泰安)在矩形ABC

57、D中,AE丄BD于点E,点P是边AD上一点. (1) 若BP平分/ ABD,交AE于点F,如图，证明四边形 AGFP是菱形 (2) 若PE丄EC,如图，求证：AE?AB DE?AP; 在的条件下 若AB = 1,BC = 2,求AP的长. 解：(1) / BP 平分/ ABD,PF 丄 BD,PA 丄 AB, AP = PF,Z ABP = Z GBE,又：在 Rt ABP 中,/ APB+ / ABP = 90 , 在 Rt BGE 中/ GBE+ / BGE = 90 , APB = Z BGE,又BGE = Z AGP,：/APB = Z AGP, AP = AG, AG = PF,t

58、PF丄BD,AE丄BD, PF / AG, 四边形 AGFP是平行四边形， AGFP是菱形； (2) t AE 丄 BD,PE 丄 EC, /AEP+ / PED = 90 ，/ CED+ / PED = 90 ，/ AEP = / CED,又PAE+ / ADE = AE AP 90 , / CDE+ / ADE = 90 ，/ PAE=/ CDE, AEP DEC, , AE?CD DE?AP,又t CD = DE CD AB, AE?AB DE?AP; AE AB 1, AP AE 111 (3) t AB = 1,BC = 2,：在 Rt ADE 中,tan ADB=一，由 知=一， AP