椭圆知识点及经典例题汇总

1、椭圆知识点及经典例题汇总 椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点 P到两个定点Fi、F2的距离之和等于常(PFjPF22a F1F2 ),这个动 点P的轨迹叫椭圆这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距 注意：若(P |PF2 | I F1F2 )，则动点P的轨迹为线段Fi F2 ； 若(PFiIPF2F1F2 )，则动点P的轨迹无图形 6 / 10 知识点二：椭圆的标准方程 1. 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程 2. 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程 2 x 2 a 2 y b2 1 (a b 0)， 其中c2 2 a b2 2 y 2 a 2 x b2

2、 1 (a b 0), 其中c2 2 a b2; x acos 3.椭圆的参数方程(为参数) y bsi n 注意：1 只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆 的标准方程； 2 .在椭圆的两种标准方程中，都有(a 3 .椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为 当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为 知识点三：椭圆的简单几何性质 2 2 椭圆：务 i(a b 0)的简单几何性质 a b (i)对称性：对于椭圆标准方程 2 x 2 a 2 y 2 1 (a b 0):说明：把x换成 x、或把y换成 y、 b 2 2 或把x、y同时换成 x、 y、原

3、方程都不变，所以椭圆 务 占 1是以x轴、y轴为对称轴 a b 的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线 x a和yb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x a , y b。 （3）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 x2 y2 椭圆 亍1 （a b 0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 a b Ai（ a,0），A2（a,0），BO, b），B2（0,b） 线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，AA22a, B1B2 I 2b。 a和b分 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4、（4 ）离心率： 2c c 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e - 2a a 因为（a c 0），所以e的取值范围是（0 e 1）。 e越接近1,则c就越接近a，从而 b a c越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0,从而b越接近于a，这 时椭圆就越接近于圆。当且仅当a b时，c 0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 2 2 注意：椭圆x_ L- 1的图像中线段的几何特征（如下图） a b (1)(PR 2a)； PFi PMi |PF_ PM 2 (PMi PM2 (BFi | BF2 | a) ； (OF J |0F2 I c) ； AB| Bl

5、Ja2 b2 ； a c ； a cPR I a c ； (3) |AiFiA2F2 I a C ； AF2A2F1 （0,1）内常数e，那么这个点的轨 知识点四：椭圆第二定义 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率. 左准线11 : x 右准线l2 : x 知识点五：椭圆的焦半径公式: （右焦半径）D a exo 其中e是离心率- （左焦半径）r1 a ex0 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式: MF1 a eyo a eyo （其中F1,F2分别是椭圆的下上焦点） 弦长 AB J% X2)2 (y1 y2)2 .(X1

6、 X2)2 (kx1kx2)2 1 k2 x1x2 知识点六： 弦长公式： 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） 若直线l : y kx b与圆锥曲线相交与 A、B两点，A（x1, y1）, B（x2, y2）则 1 k2 . (% x2)2 4x1x2 2 知识点七：椭圆笃 a 2 2 y x 1 (a b 0)的区别和联系 a b 2 1 (a 0）的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系 都有(a b 0)和e -(0 e a 1)， b2 2 c ；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点 坐标也不相同。 椭圆知识点及经典例题汇总 规律方法： 1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称

7、中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐 标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a, b ； 一个定位条件焦点坐标，由焦点 坐标的形式确定标准方程的类型。 2.椭圆标准方程中的三个量 a,b,c的几何意义 (a b 0), 椭圆标准方程中，a, b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分 别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为: 2 2 2 (a c 0)，且(a b c )。 可借助右图理解记忆： 显然：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边

8、，其中a是斜边，b、c为两条 直角边。 3 .如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2, y2的分母的大 小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4 .方程Ax2 By2 C(A, B,C均不为零)是表示椭圆的条件 2 方程Ax2 By2 C可化为Ax C By2 C 2 1,即x C Byx所以只有ABC同号，且 A B C CC C a B时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在 x轴上；当时，椭圆的焦点在 y轴 A BA B 上。 5. 求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标

9、准方程，再由 条件确定方程中的参数 a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”； 定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6. 共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点， 则c相同。与椭圆 2 x 2 a 2 白1 2 b 0)共焦点的椭圆方程可设为 1 (m b2)，此类问题常用待定系数法求解。 a2 m b2 m 8 / 10 椭圆知识点及经典例题汇总 7. 判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据: 若把曲线方程中的x换成 若把曲线方程中的 y换成 x，方程不变，则曲线关于 y，方程不变，则曲线关于 y轴对称; x轴对称; 若把曲线方程中的x、y同时换成 y，方程不变，则曲线关于原点对称。 (2) 有且只有一个公共点； (3) 没有公共点. 例17、已知斜率为 1的直线I经过椭圆 1的右焦点，交椭圆于 A、B两点，求弦AB的 例18、已知椭圆4x2 y21及直线y x m . (1) 当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ (2) 若直线被椭圆截得的弦长为 乙10，求直线的方程. 5 2 X2 例19、已知椭圆C:y 1，直线I:y=kx+1,与C交于AB两点，k为何值时，0A丄OB 4 例20、 X2 已知椭圆一 2 1 i