可逆矩阵（基础课堂）

1、 , . . , . , . 2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 11 111212111 21212222222 1122 nn nn nnnnnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 回忆回忆 1112111 2122222 12 n n nnnnnn aaaxb aaaxb aaaxb 11121 21222 12 A, n n nnnn aaa aaa aaa 1 2 X, n x x x 1 2 B. n b b b AXB. 1 AXBA B 若是，则有唯一解X

2、问题的提出：问题的提出： 的线性方程组是否可以象一元一次代 axb n nAXB 一样求解?数方程 即: 1, AA对方阵 是否存在矩阵使 1 A AI 可逆矩阵可逆矩阵 .定义：定义： ABBAE AP设 是数域 上n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使 可逆矩阵也叫做非奇异矩阵非奇异矩阵或非退化矩阵非退化矩阵 注：可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶 的方阵。 可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。 那么称A -1 为可逆矩阵,而B叫做A逆矩阵,记为A 一一.可逆矩阵的定义：可逆矩阵的定义： 1010 A, B, 1111 101010 AB, 111101 I 例如例如 101010 BA. 1

3、11101 I 矩阵A,B互为可逆矩阵 现在的问题是：在什么条件下矩阵现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆是可逆 的？的？ 如果如果 A 可逆，怎样求可逆，怎样求 A-1 ？ 为此先引入伴随为此先引入伴随 矩阵的概念矩阵的概念. | 0 ,AAA方阵 可逆的充要条件是且可逆矩阵 的逆矩阵为 1* 1 AA A 定理定理 * A 11 AAA AE 证明: 若A可逆,有 两边取行列式,得 11 | |1AAA AE 从而| | 0A : 求逆矩阵方法一：伴随矩阵法求逆矩阵方法一：伴随矩阵法 注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆. 2)此定理在理论推导中非常有用. 3)阶数较高的矩

4、阵求逆,我们要寻求新的方法. : | 0,A 又 * | AA AAI AA 所以,A可逆,且 1* 1 | AA A * AA*|A | .A AI nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 nnnn n n AAA AAA AAA A 21 22212 12111 * 123 12 (1);(2)456 34 333 AB (1)20.AA 故 可逆， 21 42 1 31 312 22 1* 1 AA A (2)0.BB故 不可逆 例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵 解: 1 11 21 3 111213 122221 A( 1)3,A( 1

5、)4,A( 1)5, 331313 3 13 23 3 313233 231312 A( 1)1 ,A( 1)4,A( 1)3. 122221 2 12 22 3 212223 231312 A( 1)3,A( 1)0,A( 1)1, 331313 例例2 求矩阵A的逆矩阵，其中 123 A212 . 133 123 | A |21240, 133 解解 A.可逆 112131 122232 132333 AAA331 A*AAA404 . AAA513 1 331 331 444 11 AA*404101 . |A|4 513513 444 逆矩阵的性质逆矩阵的性质 定理定理2.4.2若矩阵

6、可逆，则若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的. 证明若证明若B、C都是都是A的逆矩阵，则的逆矩阵，则 ,.AB BA IAC CA I 于是于是 () ().B BIB ACBAC IC C 性质性质2若若A可逆，则可逆，则 可逆，且可逆，且 1 A 11 ().AA 事实上，这由等式事实上，这由等式 ，可以直接推出，可以直接推出. 11 AAA AI 矩阵求逆运算规律矩阵求逆运算规律 性质性质1若若A可逆，则可逆，则 可逆，且可逆，且 1 A 11 ().AA 性质性质2两个两个n阶可逆矩阵阶可逆矩阵A、B的乘积的乘积AB可逆且可逆且 111 ().ABBA 证明由于证明由于 故

7、故ABAB可逆，且可逆，且 111111 ()()()(),AB B AA BBAAI AAAI 111111 ()()()(),B AABBA A B BIBB B I 111 ().A BBA 一般地， 11111 12121 () sss A AAA AA A 性质性质3 3可逆矩阵可逆矩阵A A的转置矩阵可逆，且的转置矩阵可逆，且 11 ()()AA 证证 11 A (A )(AA ),II 11 (A ) A(A A),II 11 (A )(A ) . ;A k kA 11 1 )( 性质性质4 性质性质5; |A| |A 1 1 由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵由初等矩阵的定义可

8、以看出，初等矩阵 都是可逆的，且：都是可逆的，且： )()( k EkE ii 1 1 jiji EE , 1 , )()( , kEkE jiji 1 可逆矩阵与初等矩阵的关系可逆矩阵与初等矩阵的关系 定理定理2.4.5 n阶方阵阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是是可逆矩阵的充要条件是A可可 写成初等矩阵的乘积写成初等矩阵的乘积 定理定理2.4.4 n阶方阵阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是是可逆矩阵的充要条件是A可以可以 经过初等变换化为单位矩阵经过初等变换化为单位矩阵 ，有，有时，由时，由当当 l PPPAA 21 0 , 1 1 1 1 1 IAPPP ll , 11 1 1 1 1 AIPP

9、P ll 及及 IPPPAPPP llll 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 AI IAPPP ll 1 1 1 1 1 . )(2 1 AIIA IAnn 就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把 施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对 求逆矩阵方法二：初等变换法求逆矩阵方法二：初等变换法 100011 010012 001111 IA解解 123300 012210 011101 2 23 21 )1( 2 r rr rr 101120 012210 001111 13 12 2 rr rr 011 012 111 A设设例例 1 A求求 3 1 3 2 1 3 2

10、3 1 0 3 1 3 1 0 1 A 所以所以 A 可逆，且可逆，且 3 1 3 2 1100 3 2 3 1 0010 3 1 3 1 0001 3 32 31 ) 3 1 ( 3 2 3 1 r rr rr 011 411 210 A设例例 试判断试判断A是否可逆，若可逆求是否可逆，若可逆求 1 A 010420 001210 010411 100011 010411 001210 21 23 rr rr IA解解 112000 001210 011201 23 21 2rr rr 从而知，从而知，A不可逆。不可逆。 IA（1）判断矩阵）判断矩阵A是否可逆，可直接对是否可逆，可直接对 作

11、初等作初等行行变换，若变换过程中，与变换，若变换过程中，与A等价的矩阵中有等价的矩阵中有 一行为一行为0，就能判断，就能判断A不与不与I 等价，从而知等价，从而知A不可逆。不可逆。 注意注意： （2）若作）若作nn2 阶分块矩阵阶分块矩阵 I A 只对分块矩阵只对分块矩阵 I A 单位矩阵时，单位矩阵时， 作初等作初等列列变换，当可逆矩阵变换，当可逆矩阵A化为化为 子块子块 I 就化成了就化成了 1 A 解解 . 1B AXA 可逆，则可逆，则若若 34343 13122 52321 )(BA 122620 91520 52321 12 2rr 13 3rr 例如例如 . 34 13 52 ,

12、 343 122 321 BA ，其中使求矩阵BAXX, 求利用逆矩阵求解线性方程组求利用逆矩阵求解线性方程组( (解矩阵方程解矩阵方程) ) | 31100 91520 41201 31100 64020 23001 21 rr 23 rr 31 2rr 32 5rr ， 31100 32010 23001 ）（2 2 r ）（1 3 r . 31 32 23 X 如果矩阵A和C分别是m阶和n阶可逆矩阵， 矩阵B是mn 阶矩阵，则 1）矩阵方程 AX=B的解为 2）矩阵方程 XA=B的解为 3）矩阵方程 AXC=B的解为 11. XA BC 1 ;XA B 1; XBA 一般地一般地 四、逆

13、矩阵的性质四、逆矩阵的性质 性质性质1若若A可逆，则可逆，则 可逆，且可逆，且 1 A 11 ().AA 性质性质2两个两个n阶可逆矩阵阶可逆矩阵A、B的乘积的乘积AB可逆且可逆且 111 ().ABBA 性质性质3 3可逆矩阵可逆矩阵A A的转置矩阵可逆，且的转置矩阵可逆，且 11 ()()AA ;A k kA 11 1 )( 性质性质4 性质性质5; |A| |A 1 1 1、利用可逆的充要条件，设法证明、利用可逆的充要条件，设法证明|0A 2、利用矩阵可逆的定义，若能验证AB=BA I 则A可逆， 且 1 A B 3、利用可逆矩阵的性质证明. 证明矩阵A可逆的方法 例若方阵A满足A3=0

14、，证明： 可逆，且I-A 12 ()I-A I A+A 2 ()()I-A I A+A 证： 223 I+A+A A A A =I 12 ()I-A I A+A 例例6 若A是非奇异矩阵，且AB=AC,则B=C. 证证因为A为非奇异矩阵，所以A可逆. 11 A (AB)A (AC). BC. 设设 A 为为 n 阶矩阵阶矩阵( n 2 ) ,证明证明 |A*| = |A|n-1. 由于由于 AA* = A*A = |A|I , 所以所以 |A| |A*| = |A|n (4) 下面分三种情形讨论下面分三种情形讨论: (1) |A| 0, 即即 A 可逆可逆, (4) 式两端除以式两端除以 |A

15、| 即即 得得 |A*| = |A|n-1. (2) |A| = 0, 且且 A = O, 则则 A* = O, 结论显然成结论显然成 立立. (3) |A| = 0, 但但 A O, 反设反设 |A*| 0, 则则 A* 可逆可逆, 因而因而 A = (AA*)(A*)-1 =(|A|I)(A*)-1 = |A|(A*)-1 = O, 故故 A = O, 与与 A O 矛盾矛盾, 所以所以, |A*|=0=|A|n-1. 设设 n 阶阶矩阵矩阵 A, B, A + B 均可逆均可逆, 证明证明 (A-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A. 将将 A-1

16、 + B-1 表示成已知的可逆矩阵的乘积表示成已知的可逆矩阵的乘积: A-1 + B-1 = A-1(I + AB-1) = A-1(BB-1 + AB-1) = A-1(B + A)B-1 . 由可逆矩阵的性质可知由可逆矩阵的性质可知 (A-1 + B-1)-1 = A-1(A + B)B-1-1 = B(B + A)-1A. 同理可证另一个等式也成立同理可证另一个等式也成立. 利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种 推导法推导法.线性方程组线性方程组 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 , , 可以写成可以写成 AX = B . (6) 如果如果 | A | 0，那么，那么 A 可逆可逆. 用用 X = A-1B 代入代入 (6)，得恒等式，得恒等式 A( A-1B ) = B，这就是说，这就是说 A-1B 是一解是一解. 如果如果X = C 是是 (6) 的一个解，那么由的一个解，那么由AC = B得得 A-1( AC ) = A-1B ， 即即 C = A-1B . 这就是说，解这就是说，解 X = A-1B 是唯一的是唯一的. 用用 A-1 的公式的公式 (4)