矩阵[向阳教学]

1、第二章 矩阵 矩阵是数学中的一个重要内容，它在线性代数与数学的 许多分支中有重要的应用，是解决许多问题的重要工具。 本章的目的是介绍矩阵概念及其与运算，并讨论一些基 本性质。 1基础教学 2.1 矩阵的概念 例1 某工厂生产甲、乙、丙三种产品，今年四个季度的产 量分别如下表所示： 季度季度 产品产品甲甲乙乙丙丙季度季度 产品产品甲甲乙乙丙丙 一a11a12a13三a31a32a33 二a21a22a23四a41a42a43 表中的aij表示第i季度第j种产品的 产量，这里i=1,2,3,4;j=1,2, 3。这 张产品的产量表可用以下符号表 示： 111213 212223 313233 41

2、4243 aaa aaa aaa aaa 2基础教学 例2 含有n个未知量m个方程构成的线性方程组 的系数也可以排列成一个矩形阵列 (2.4) mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 3基础教学 例3 生产m 种产品需用n种材料，如果以aij表示 生产第i种产品(i=1,2,m)耗用第j种材料 (j=1,2,n)的定额，则消耗定额可用一个矩形 表表示，如表2.1 所示。这个由m行n列构成 的消耗定额表，也可以排成矩形阵列(2.4),它 描述了生

3、产过程中产品的产出与投入材料的数 量关系，这个矩形阵列称为矩阵。 4基础教学 表2.1 1 2 i m 1 2 j n 定额 材料 产品 11 a 12 a1j a 1n a 21 a 22 a2 j a 2n a 1 i a 2i a ij a in a 1m a 2m a mj a mn a 5基础教学 定义1 由mxn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排 成 m行n列的数表 叫做m行 n列矩阵，简趁称mxn矩阵。这mxn 个数叫做矩阵A的元素 ，aij叫做矩阵A的第i行 第j列的元素。 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 6基础教学 v

4、元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是 复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵 除特别说明外，都指实矩阵。 v 上述的矩阵A也简记为 A=(aij)mxn 或 A=(aij) vmxn矩阵A也记为Amxn 7基础教学 l两个矩阵的行数相等，列数也相等时， 称它们是同型矩阵； l若A=(aij)mxn与B=(bij)mxn是同型矩阵，并且 它们对应元素相等，即 那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B (1,2,;1,2, ) ijij abim jn 同型矩阵与矩阵相等同型矩阵与矩阵相等: : 8基础教学 v当行数m与列数n相等时,A称为n阶方阵； l单位矩阵 n阶方阵 叫作n阶单位矩阵，简记为E或En

5、 特点：从左上角到右下角的直线（叫左对 角线)上的元素都是1，其他元素都是0 100 010 001 n E 方阵和几类特殊的方阵方阵和几类特殊的方阵 9基础教学 l对角矩阵 n阶方阵 叫作对角矩阵 特点：不在主对角线上的元素都是0 1 2 00 00 00 n A 10基础教学 l数量矩阵 n阶方阵 叫作数量矩阵 特点：主对角线上的元素都相等，其他元素都 是0 00 00 00 a a A a 11基础教学 l上三角矩阵 n阶方阵 叫作上三角矩阵 特点：位于主对角线下方的元素都是0 11121 222 0 00 n n nn aaa aa A a 12基础教学 l 下三角形矩阵 n阶方阵 叫

6、作下三角形矩阵 特点：位于主对角线上方的元素都是0 11 2122 12 00 0 nnnn b bb A bbb 13基础教学 对称矩阵 设A为n阶方阵，如果 那么A称为。 特点：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。 ( ,1,2, ) ijji aai jn 反对称矩阵 设A为n阶方阵，如果 那么A称为反。 ( ,1,2, ) ijji aai jn 11121 12222 12 n n nnnn aaa aaa aaa 121 122 12 0 0 0 n n nn aa aa aa 14基础教学 l只有一行的矩阵 叫做行矩阵； l只有一列的矩阵 称为列矩阵。 123 (,) n Aa

7、a aa 1 2 m b b B b v零矩阵: 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作0, 注意:不同型的零矩阵是不同的。 其他常用的矩阵其他常用的矩阵 v负矩阵: 元素全部变为相反数称为原矩阵的负矩阵。 A ij a ij 若则-A= -a 15基础教学 一、矩阵的加法一、矩阵的加法 定义2 两个m行n列矩阵A=(aij)mxn ，B =(bij)mxn 对应位置相加得到的m行n列的 矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为 A+B，即 注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这 两个矩阵才能进行加法运算。 ()()() ijm nijm nijijm n ABabab 第二节 矩阵的运算 16基础教学 矩

8、阵加法的运算律： （1） （2） 由此规定矩阵的减法为 ABBA ()()ABCABC (3)()0,0AAAA () ijij ABABab 17基础教学 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘 l定义3 以数乘矩阵A的每一个元素所得到的 矩阵称为数与矩阵A的积，记作A或A，如果 A=(aij)mxn ，那么 l数乘矩阵的运算规律： （1） （2） （3） （4） () ijm n AAa ()()u AuA ()u AAuA ()ABAB 1AA 18基础教学 注意： 矩阵的数乘与行列式的数乘是不一样的， 矩阵的数乘是数乘矩阵每一个元素，行列式的数乘 是数乘行列式的某行（某列）的每一元素。 19

9、基础教学 例2.3 设 求A-B,2A-B 121213 ,. 354147 AB 解： 121213112 354147202 AB 121213031 22 354147541 AB 20基础教学 例2.4 设 且A+2X=B,求X 15795197 ,. 24683216 AB 解： A+2X=B,得X=1/2(B-A) 51971579 11 ()() 3216246822 2211 4422 1 ) 17 1272211 22 BA 21基础教学 三、矩阵的乘法：三、矩阵的乘法： l 定义4 设A=(aij) 是一个mxs矩阵， B=(bij) 是一个sxn矩阵，那么规定矩阵A与矩阵

10、B的乘 积是一个mxn矩阵 C=(cij) ，其中 并把此乘积记作C=AB 称为A左乘B或B右乘A 1 122 1 s ijijijissjikkj k ca ba ba ba b (1,2,;1,2, )im jn 22基础教学 注意 (1) 只有当第一个矩阵（左矩阵） 的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行 数时，两个矩阵才能相乘 (2)乘积的第i行第j列的元素等于左矩阵 的第i行元素与右矩阵第j列的对应元素的 乘积之和。 23基础教学 例 求矩阵 与 的乘积AB与BA； 10 03 A 30 21 B 30 23 BA 30 63 AB 解解: ABBAv注意：注意： 24基础教学 例2.6

11、 设 1 035 ,2 3 AB 1035 20350610 30915 BA 1 03520 1 3 25 321 3 AB 则则: ABBAv注意：注意： 25基础教学 例2.7 设 112233 , 112233 ABC 113300 113300 AC 112200 112200 AB 则则: ,ABACC但Bv注意：注意： 26基础教学 矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况 下，ABBA这表现在三个方面， l 首先，乘法规则要求左矩阵的列数等于右 矩阵的行数，否则没有意义，即使当AB有 意义时，BA不一定有意义； l其次，即使AB与BA都有意义，它们的阶数 不一定相等； l最后，当相

12、乘的矩阵都是n阶方阵，这时AB 与 BA都有意义，而且都是n阶方阵， 由上例知也不一定相等。 27基础教学 矩阵乘法的运算规律： （1） （2） （3） 对于单位矩阵E，易知 ()()AB CA BC ()A BCABAC()AB CACBC mm nm n E AA m nnm n AEA ()()()ABA BAB（其中为数） 28基础教学 定义n阶方阵的幂： Ak=AAA (k个A相乘) v 显然只有方阵的幂才有意义， 由于矩阵乘法一般满足结合律，所以方阵 的幂满足以下运算规律： (1) (2) (3) klk l A AA () klkl AA ()k kk ABA B 29基础教学

13、例 试证： 证明:当n=1时，等式自然成立 设n=k时，等式成立，即 要证n=k+1成立，此时有 于是等式得证 10 1 10 1n n ), 2 , 1(n 10 1 10 1k k 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 1 k kk 10 ) 1(1 1100110 11011 kkk 30基础教学 例2.8 设有线性变换 111 1122133 221 1222233 ya xa xa x ya xa xa x 111 1122133 221 1222233 331 1322333 xb zb zb z xb zb zb z xb zb zb z 求从求从z1,z2,z3到到

14、y1,y2 的线性变换。的线性变换。 解：以上两式可以写成：解：以上两式可以写成： 1 1112131 2 2122232 3 x aaay x aaay x 11112 1 22122 2 33132 xbb z xbb z xbb 即即Y=AX和和X=BZ 31基础教学 解：以上两式可以写成：解：以上两式可以写成： 1 1112131 2 2122232 3 x aaay x aaay x 11112 1 22122 2 33132 xbb z xbb z xbb 即即Y=AX和和X=BZ 则则Y=（AB）Z 1112 11121311 2122 21222322 3132 bb aaay

15、z bb aaayz bb 111 11122113 31111 12122213 322 221 11222123 31121 12222223 322 ()() ()() ya ba ba bxa ba ba bx ya ba ba bxa ba ba bx 故故 32基础教学 例2.9 设 求 解: 1 2 n A 3 A 111 2223 nnn A 2 1 1 2 2 2 2 n n 3 1 3 2 3 n 33基础教学 事实上 1 1 2 2 n n n n n n AA 则 34基础教学 含有n个未知量m个方程构成的线性方程组 的系数也可以排列成一个矩形阵列 则AX=b mnmn

16、mm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 1112111 2122222 12 , n n mmmnnm aaaxb aaaxb AXb aaaxb 35基础教学 定义定义7 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新 矩阵，叫作A的转置矩阵，记作AT 四、矩阵的转置四、矩阵的转置 13 21 01 T A 120 311 A 例如例如 的转置矩阵为 矩阵转置的运算规律矩阵转置的运算规律 (1)() TT AA (3)()T TT ABAB (2)()T T AA (4)()T TT ABB A 36基础教学 只证明性质(4) 设

17、A=(aij)mxs,B=(bij)sxn, 记AB=C=(cij)mxn,BTAT=D=(dij)nxm ,于 是由矩阵的乘法规则，有 因此 所以 即D=CT ，亦即 1 s ijjkki k ca b 11 ss ijkijkjkki kk db aa b (1,2, ;1,2,) ijij dcin jm () TTT B AAB 1 (,) isi bb 1 (,)T jjs aa而BT的第i行为 ，AT的第j列为 37基础教学 例：设 ， ，求 113 021 A 124 311 012 B T AB)( 26 21 94 10 12 31 130 211 412 )( TTT AB

18、AB 解解 法法 1 解解 法法 2 229 614 124 311 012 113 021 AB 因为 26 21 94 )( T AB 所以 38基础教学 对称矩阵 设A为n阶方阵，如果AT=A，即 那么A称为。 特点：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。 ( ,1,2, ) ijji aai jn 39基础教学 例2.10 设A、B为n阶方阵，且A为对称矩阵，试 证，BTAB也是对称阵。 证：因AT=A，则 那么BTAB称为。 ()() TTTTTTT B ABB ABB AB 40基础教学 例2.11 设A为n阶反对称矩阵，且B为n阶对称矩 阵，试证，AB+BA也是反对称矩阵。 证：因

19、AT=-A，BT=B则 那么AB+BA为反。 ()()() TTT ABBAABBA TTTT B AA B ()()BAA B ()ABBA 41基础教学 定义定义2.8 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），叫作方阵A的行列式， 记作A或detA 注意：方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方 阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n 阶行 列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个 数。 五、方阵的行列式五、方阵的行列式 42基础教学 方阵行列式的运算规律： (1) (2) (3) 其中A,B为n阶方阵，为数 由(3) 可知，对于n阶方阵A,B一般来说AB BA ， 但总有

20、 T AA n AA ABA B ABBA 43基础教学 由行列式A的各个元素的代数余子式Aij 所构成的方阵 称为方阵A的 nnnn n n AAA AAA AAA A 21 22212 12111 44基础教学 试证试证: EAAAAA ijjninjijiij AAaAaAab 2211 EAAAA ij )( ijkj n k ki AaAAA 1 )( ij aA )( ij bAA 证明证明: 设 ,记 ,则 ji ji ij 0 1 其中 故 类似有 45基础教学 例2.13 设 计算|A|2和|A| abcd badc A cdab dcba 2 T abcdabcd badc

21、badc AAA cdabcdab dcbadcba 2222 2222 2222 2222 abcd abcd abcd abcd 22224 ()abcd 22222 ()Aabcd 46基础教学 例2.13 设 计算|A|2和|A| abcd badc A cdab dcba 2 T abcdabcd badcbadc AAA cdabcdab dcbadcba 2222 2222 2222 2222 abcd abcd abcd abcd 47基础教学 解一元线性方程解一元线性方程axb，当，当 a 0 时时, 存在一个数存在一个数a-1 ，使，使x= a-1 b为方程的解；那为方程的

22、解；那 么在解矩阵方程么在解矩阵方程Ax=b时，是否存在一个矩阵，使这个矩阵乘时，是否存在一个矩阵，使这个矩阵乘b等于等于x，这就是，这就是 我们要讨论的逆矩阵问题我们要讨论的逆矩阵问题 定义定义7: 对于对于n 阶方阵阶方阵A, 如果存在一个如果存在一个n 阶方阵阶方阵B, 使得使得 AB = BA = E 则称矩阵则称矩阵A是可逆的是可逆的, 并称矩阵并称矩阵B为为A的逆矩阵的逆矩阵. 第三节 逆矩阵 48基础教学 如果方阵如果方阵A是可逆的是可逆的, 那么那么A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的. 这时因为这时因为: 设设B和和C是是A的逆矩阵的逆矩阵, 则有则有 所以所以, A的逆矩阵是

23、唯一的的逆矩阵是唯一的 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C. A的逆阵记作的逆阵记作A-1 ，即若即若AB =BA = E，则，则BA-1. 49基础教学 证明证明 若若A可逆可逆, 则有则有A-1, 使得使得AA-1 = E. 定理定理1 若方阵若方阵A可逆，则可逆，则| A | 0 其中其中A*为矩阵为矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵. 故故 | A | A-1 | = | E | = 1, 所以所以 | A | 0. , | 1 | 1 EAA A A A A 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得,. | 1 1 A A A 定理定理2 若若| A | 0，则，则方阵方阵

24、A可逆，且可逆，且 证明证明 由由伴随矩阵的性质伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 由由 于于| A | 0,故有故有 1* 1 AA A 50基础教学 当当| A | = 0 时时, 称称A为为奇异矩阵奇异矩阵, 否则称为否则称为非奇异矩阵非奇异矩阵. 由上述两个定理可知由上述两个定理可知, A是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是| A | 0 ， 即可逆矩阵就是非奇异矩阵即可逆矩阵就是非奇异矩阵. 证明证明 因因 | A | | B | = | E | = 1, 故故| A | 0. 推论推论 若若 AB=E (或或 BA=E), 则则 B=A-1.

25、因而因而, A-1存在存在, 于是于是 B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1.证毕证毕 51基础教学 逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质 (1) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 则则A-1亦可逆亦可逆, 且且(A-1)-1 = A. (2) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 且且 0, 则则 A 亦可逆亦可逆, 且且 (3) 若若A, B为同阶可逆方阵为同阶可逆方阵, 则则AB亦可逆亦可逆, 且且 (AB)-1 = B-1A-1. (4) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 则则AT 亦可逆亦可逆, 且且(AT)-1=(A-1)T. 11 1 ()AA 52基础教学 A A =

26、 A + , (A ) = A . 当当| A | 0时，还可定义时，还可定义A0 E ， A-k (A-1 )k ， 其中其中k为正整数。这样当为正整数。这样当| A | 0， , 为整数时有为整数时有 53基础教学 第四节 分块矩阵 对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵A, 运算时常采用运算时常采用分分 块法块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 我们将矩阵我们将矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵, 每一个小每一个小 矩阵称为矩阵矩阵称为矩阵A的的子块子块, 以子块为元素形成的矩阵称以子块为元素形成的矩阵称 为为分块矩阵分块矩阵. 54基础教学 1000 0100 1010 3001 A 例如例如: : 1000 0100 1010 3001 A 令 100 010 001 3 E 0 1 3 1 A)000(O) 1 ( 2 A ) 0 ( 2 13 A AE 55基础教学 分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则 srs r srs r BB BB B AA AA A 1 111 1 111 , (1) 加法：加法：设设A与与B是同型矩阵是同型矩阵, 采用相同的分块法采用相同