解三角形的实际应用举例[实用课资]

1、第三章 三角函数 解三角形的实际应用举例 第一课时第一课时 第三章 三角函数 1、正弦定理 2 sinsinsin () abc R ABC R 其中 为外接圆的半径 2、余弦定理 222 222 222 2cos 2cos 2cos abcbcA bacacB cababC 基础知识回顾 第三章 三角函数 1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫仰角，在 水平线 的角叫俯角(如图) 2方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 (如图) 上方上方 下方下方 第三章 三角函数 3方向角:相对于某一正方向的水平角(如图) (1)北偏东即由指北方向顺时针旋

2、转到达目标方向 (2)北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向 (3)南偏西等其他方向角类似 【思考探究】仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示：三者的参照不同仰角与俯角是相对于水平线而言的， 而方位角是相对于正北方向而言的 第三章 三角函数 【思考探究】如何用方位角、方向角 确定一点的位置？ 提示：利用方位角或方向角和目标与观 测点的距离即可唯一确定一点的位置 第三章 三角函数 4、坡度与坡角、坡度与坡角:坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面与水平面的夹角叫坡角， 坡面与垂直高度坡面与垂直高度 h和水平宽度和水平宽度l的比叫坡度的比叫坡度 h l tana h i l a 第三章 三角函数 求距离问

3、题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所 求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有 未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用， 就选择更便于计算的定理 探究点一探究点一 ：测量距离问题测量距离问题 第三章 三角函数 解三角形实际应用举例解三角形实际应用举例 例例1如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算 油泵顶杆油泵顶杆BC的长度（如图）已知车厢的最大仰角为的长度（如图）已知车厢的最大仰角为60，油，油 泵顶点泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，

4、AB与水平线之间的与水平线之间的 夹角为夹角为 ，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长度（结果精确到的长度（结果精确到 0.01m0.01m） 6 20 （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角 形？形？在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？ 探究点一探究点一 ：测量距离问题测量距离问题 第三章 三角函数 60 206 A B C 分析分析：这个问题就是在 中，已知AB=1.95m，AC=1.4m, ABC 206620660BAC 求BC的

5、长，由于已知 的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC。 ABC 解解：由余弦定理，得 AACABACABBCcos2 222 答答：顶杠BC长约为1.89m. )(89. 1 571. 3 2066cos40. 195. 1240. 195. 1 22 mBC 1.40m 1.95m 实例讲解实例讲解 第三章 三角函数 变式训练变式训练1（1）轮船A和轮船B在中午12时同时 离开海港O，两船航行方向的夹角为120，两船的 航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，则下午2 时两船之间的距离是_n mile. 答案：70 第三章 三角函数 A 第三章 三角函数 分析

6、：本题解决的关键是什么？ 分布在哪个三角形中？能直接利 用正、余弦定理求解吗？若不能， 则需要在哪几个三角形中先求出 哪几条边的长度？ 第三章 三角函数 从中你能学到代值 运算的技巧吗？ 第三章 三角函数 第三章 三角函数 课时小结课时小结 第三章 三角函数 布置作业 1、书面作业：课本、书面作业：课本P61练习练习2第第1 （3）（）（4）题和第）题和第2题题 2、检查作业：、检查作业： （1）步步高）步步高40分钟课时训练分钟课时训练 （2）学业水平测试题）学业水平测试题A卷卷 第三章 三角函数 第三章 三角函数 注：还可以用向量法求解注：还可以用向量法求解. . 第三章 三角函数 解三角

7、形的实际应用举例 第二课时第二课时 第三章 三角函数 测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯 角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把 立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决 如图，测量河对岸的塔形建筑测量河对岸的塔形建筑AB，A为塔的顶端，为塔的顶端，B为塔的为塔的 底端，河两岸的地面上任意一点与塔底端底端，河两岸的地面上任意一点与塔底端B处在同一海拔水平面上，处在同一海拔水平面上， 现给你一架测角仪现给你一架测角仪(可以测量仰角、俯角和视角可以测量仰角、俯角和视角)，再给你一把尺子，再给你一把尺子 (可以测量地面上两点间距离可以测量地面上两

8、点间距离)，图中给出的是在一侧河岸地面图中给出的是在一侧河岸地面C点点 测得仰角测得仰角ACB，请设计一种测量塔建筑高度，请设计一种测量塔建筑高度AB的方法的方法(其中测 角仪支架高度忽略不计，计算结果可用测量数据所设字母表示) 探究点二探究点二 ：测量高度问题测量高度问题 第三章 三角函数 以以4 4人小组为单位，讨论你人小组为单位，讨论你 们的设计方案们的设计方案. . 第三章 三角函数 第三章 三角函数 探究点二探究点二 ：测量高度问题测量高度问题 第三章 三角函数 【变式训练】A、B是海平面上的两个点，相距 800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD 120，又在B点测得ABD4

9、5，其中D是点C到 水平面的垂足，求山高CD. 探究点二探究点二 ：测量高度问题测量高度问题 第三章 三角函数 第三章 三角函数 探要点、究所 然 探究点三探究点三 ：与方向有关的实际问题与方向有关的实际问题 第三章 三角函数 探要点、究所 然 探究点三探究点三 ：与方向有关的实际问题与方向有关的实际问题 第三章 三角函数 探要点、究所 然 探究点三探究点三 ：与方向有关的实际问题与方向有关的实际问题 第三章 三角函数 1解三角形的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意 分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如 坡度、仰角、俯角、方位角等 (2)根据题意画出示意图 (3)将需求解

10、的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用 正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简 练，计算正确，并作答 (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍 第三章 三角函数 2解斜三角形实际应用举例 (1)常见几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、 航海问题、物理问题等 (2)解题时需注意的几个问题 要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角； 要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来， 发现题目中的隐含条件，才能顺利解决 第三章 三角函数 (3)解题的基本思路 运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度 等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要 把握如何把实际问题数学化，也就是一个抽象、概括的问题， 即建立数学模型 第三章 三角函数 布置作业 1、书面作业：课本、书面作业：课本P62A组第组第4题和题和 B组第组第1,2题题 2、检查作业：、检查作业： （1）步步高）步步高40分钟课时训练分钟课时训练 （2）学业水平测试题）学业水平测试题B卷