随机变量的方差、协方差与相关系数4-2[向阳教学]

1、 退出退出 退出退出 一一 四四 三三 退出退出 二二 式给出的平均波动，称为二者的协方差，记为式给出的平均波动，称为二者的协方差，记为 退出退出返回返回 1. 方差、协方差与相关系数的定义方差、协方差与相关系数的定义 () ,D X 随机变量随机变量X 对其均值的偏差以差的平方的形式所给出对其均值的偏差以差的平方的形式所给出 的波动，称为该随机变量的方差，记为的波动，称为该随机变量的方差，记为 亦即亦即 2 () () .D XEXE X (,) ,Cov X Y 两随机变量两随机变量X 与与Y 对各自均值的偏差以差之乘积的形对各自均值的偏差以差之乘积的形 亦即亦即 (,) ()( ) .C

2、ov X YEXE XYE Y 比值，称为二者的相关系数，记为比值，称为二者的相关系数，记为 , , X Y 两随机变量两随机变量X 与与Y 的协方差与该二变量标准差乘积的的协方差与该二变量标准差乘积的 亦即亦即 (,) . ()( ) XY Cov X Y D XD Y 方差的算术平方根方差的算术平方根 称为随机变量的标准差称为随机变量的标准差.()D X 退出退出返回返回 2. 方差与协方差的理论计算公式方差与协方差的理论计算公式 2 ()()( )D XxE Xf x dx 2 ()()( , ).D XxE Xf x y dxdy 2 1 ()() ii i D XxE Xp 对离散型

3、变量对离散型变量 对连续型变量对连续型变量 2 11 ()() ; iij ji D XxE Xp 或或 或或 11 (,)()( ) ijij ij Cov X YxE XyE Yp (,)()( ) ( , ).Cov X YxE XyE Yf x y dxdy (,)( ,) .Cov X YCov Y X 易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广 Cov X XD XCov Y YD X(,)(); ( ,)() ; 并且显然还有并且显然还有 退出退出 协方差（含相关系数）协方差（含相关系数） ( 设设 C 是常数是常数 ) 方差方差 2

4、)( ) 0DC ()( ) 2 CCD XD X 当当 X 与与Y 相互独立相互独立时时, 恒有恒有 Cov X Y2(,) ( )XXCDD 1) 3) )( )(D X D X Y D Y )( )(D X D X Y D Y ()() () 22 D XE XE X 4) (,) 2 0CCov X (,)( , ) 1212 CovXYCCC ovCXCY Cov XX Y Cov X YCov X Y 12 12 (,) (, )(, ) ()0 ,Cov X,Y 当当 X 与与Y 相互独立相互独立时时, 恒有恒有 3) 1) 2) 4) (, )()() ( )Cov X YE

5、XYE X E Y (, ), 1 0CovYC (,)(, ) 2 CovXYCoCvCXCY (,) 12 0C CCov 0 XY XY CovX YD X D Y 2 (5) (,)() ( ) , | 1 . 退出退出 方差与协方差（含相关系数）重要性质选证一方差与协方差（含相关系数）重要性质选证一 返回返回 Cov X,Y()0 又又 X 与与Y 相互独立相互独立时时, 总有总有 XY Cov X Y D XD Y (, ) 0 . ()( ) Cov X Y(,) E XYXE YYE XE X E Y ( )()() ( ) E XYE Y E XE X E YE X E Y(

6、)( ) ()() ( )() ( ) E XYE X E Y()() ( ) E XYE X E Y()() ( ) , 当当 X 与与Y 相互独立相互独立时时, 恒有恒有 Cov X YEXE XYE Y (,) ()( ) 以及以及 从而从而, 作为协方差的特例，方差也应有作为协方差的特例，方差也应有 D XCov X XE XXE X E XE XE X 22 ()(,)()() ()() () . 证证 退出退出 方差与协方差（含相关系数）重要性质选证二方差与协方差（含相关系数）重要性质选证二 返回返回 惟当惟当 X 与与Y 相互独立相互独立时时, D XYD XD Y ()()(

7、) . D XYEXYEXY 22 ()() () E XXYYE XE Y 222 2 ()( ) E XE XYE YE XE X E YE Y 2222 ()2 ()()()2 () ( )( ) E XE XE YE YE XYE X E Y 2222 ()()()( )2()() ( ) Cov X,Y ()0 , 故此时必恒有故此时必恒有 D XD YE XYE X E Y()( )2 ()() ( ) D XD YCov X Y()( )2(, ) D XYD XD YCov X Y()()( )2(, ) 一般而论一般而论, 总有总有 由于由于 证证 CovX YD X D Y

8、 2 (,)() ( ) , XY Cov X Y D XD Y |(, )| |1 . ()( ) 退出退出 方差与协方差（含相关系数）重要性质选证三方差与协方差（含相关系数）重要性质选证三 返回返回 Cov X YD XD YCov XYD XD Y * |(,)| ()( ) |(,)| ()( ) , Cov X YCov XE X YE Y (,)(),( ) * Cov X ,Y 1()0, 以及以及 D XD Y Cov X Y * ()( )(,) D XD Y Cov X YCov X Y * ()()2(,)22(,)0 , 其中其中 X* 与与 Y * 是标准随机变量是标

9、准随机变量, 并且显然满足并且显然满足 D XD Y * ()()1 证证 XE XYE Y D XD Y Cov D XD Y ()( ) ()( ), ()( ) D XY * ()0 , 即满足即满足 * |Cov X ,Y ()|1 . 可见可见 【说明说明】本例只能求前者的方差本例只能求前者的方差 退出退出 方差方差数学期望数学期望 ()()( )231E UE XE Y 返回返回 D( X ) = 4, D( Y ) = 1, D( Z ) = 3. 试求随机变量试求随机变量 U = 2X + 3Y + 1 解解 ( )() ;2 53 11144 ( )()()4E VE YZE

10、 X ( )( )( )4E Y E ZE Z ()( )( ) .11 84 568 ()()( ) 22 230D UD XD Y ( )( ) ;4 49 125 例例2-1 设设 X, Y , Z 相互独立相互独立, E( X ) = 5, E( Y ) = 11, E( Z ) = 8. ()(4D YZDXD V ()()()244EXYZEX E YZ ()( )?16 40D YZ 与随机变量与随机变量V =YZ4X 的数学期望和前者的方差的数学期望和前者的方差. 难以准确地求出后者的方差难以准确地求出后者的方差. 事实事实 上，后者的方差只能求出一部分上，后者的方差只能求出一

11、部分 退出退出返回返回 1. 方差的具体计算公式与实际计算步骤方差的具体计算公式与实际计算步骤 对离散型变量对离散型变量 D XE XE X 22 ()()() . iiiiiij iiji E Xx px px p 1111 () () , 或或 iiiiiij iiji E Xx px px p 2222 1111 () ,() 或或 对连续型变量对连续型变量 X E Xxf x dxxfx dxxf x y dxdy()( ) ( )( , ) ,() 或或 X E Xx f x dxx fx dxx f x y dxdy 2222 ()( ) ( )( , ) () , 或或 D XE

12、 XE X 22 ()()() . 退出退出返回返回 2. 协方差的具体计算公式与实际计算步骤协方差的具体计算公式与实际计算步骤 对离散型变量对离散型变量 Cov X YE XYE X E Y(,)()()( ) . iijii iji E Xx px p 111 () ,() 或或 jijjj ijj E Yy py p 111 ( ) ,() 或或 对连续型变量对连续型变量 X E Xxf x y dxdyxfx dx()( , ) ( ) (,) 或或 Y E Yyf x y dxdyyfy dy( )( , ) ( ) (,) 或或 Cov X YE XYE X E Y(,)()()(

13、 ) . ijij ij E XYx y p 11 () , E XYxyf x y dxdy()( , ) , 是是 X 与与Y 的协方差的协方差. *3. 方差、协方差具体计算中常用数学期望的别称方差、协方差具体计算中常用数学期望的别称 k 阶原点矩阶原点矩 退出退出返回返回 (), 1,2, k E Xk 【注注】就是就是 X 的数学期望的数学期望. X 的一阶原点矩的一阶原点矩()E X 是是 X 平方的数学期望平方的数学期望. X 的二阶原点矩的二阶原点矩 2 ()E X X 的二阶中心矩的二阶中心矩 2 () EXE X 是是 X 的方差的方差. k + l 阶混合中心矩阶混合中心

14、矩 kl EXE XYE Yk l () ( ) , ,1,2, k + l 阶混合原点矩阶混合原点矩 kl EX Yk l (), ,1,2, k 阶中心矩阶中心矩 () , 1,2, k EXE Xk X 的二阶混合原点矩的二阶混合原点矩是是 X 与与Y 乘积的数学期望乘积的数学期望.E XY() X 的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩EXE XYE Y()( ) 退出退出返回返回 3. 方差与协方差的实际计算公式与计算步骤方差与协方差的实际计算公式与计算步骤 E Xxf x dx()( ) X E Xxf x y dxdyxfx dx()( , ) ( ) , 或或 对连续型变量对连续型

15、变量 或或 E XYxyf x y dxdy()( , ) ; Cov X YE XYE X E Y(,)()()( ) . 易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广 Cov X XD XCov Y YD X(,)(); ( ,)() ; D XE XE X 22 ()()() . 2 ()()( )D XxE Xf x dx 2 ()()( , ).D XxE Xf x y dxdy 或或 (,)()( ) ( , ).Cov X YxE XyE Yf x y dxdy Y E Yyf x y dxdyyfy dy( )( , )( ) , 退

16、出退出返回返回 【注注2】 显然，对连续随机变量而言显然，对连续随机变量而言 ()( )E Xxf x dx 22 ()( )E Xx f x dx 22 () ()( )EXE XxE Xf x dx 2. 常用幂函数与复合幂函数的数学期望及其别称常用幂函数与复合幂函数的数学期望及其别称 k 阶原点矩阶原点矩 k 阶中心矩阶中心矩 (), 1,2, k E Xk () , 1,2, k EXE Xk X 的一阶原点矩的一阶原点矩 X 的二阶原点矩的二阶原点矩 X 的二阶中心矩的二阶中心矩 例例4 -1 已知已知 X 的分布律如下表所示，试求的分布律如下表所示，试求 E ( X )， E (

17、X 2 ) 和和 E ( 2X3X 2 ). X2349 Pi1/85/81/81/8 4 1 () ii i E Xx p ( )( )( )( ) 1511 2349 8888 , 30 8 4 22 1 () ii i E Xx p ( )( )( )( ) 1511 491681 8888 , 146 8 EXX 2 (23)E XE X 2 2 ()3 () . 378 8 解解 退出退出返回返回 2 . 1 () ii i E Xx p 0(0.2)1(0.8) . 0 8 2 . 1 ( ) jj j E Yy p ( . )( . )0 0 91 0 1. 0 1 E XY()

18、 E XE Y()( ) .0 80 10 9 解解 例例4-2 已知已知 (X ,Y )的联合分布的联合分布 律如右表所示律如右表所示. 求求 E( X ), E ( Y ) , E ( XY ) 和和 E ( XY ) . X Y 01P. j 00.10.10.80.80.90.9 10.10.10 00.10.1 P i .0.20.20.80.8 X Y 01 00.10.10.80.8 10.10.10 0 E XY() 22 11 ijij ij x yp (0 0)(0.1)(0 1)(0.1)(1 0)(0.8)(1 1)(0) 0 E XY() 22 11 () ijij

19、ij xyp (00)(0.1)(01)(0.1)(10)(0.8)(11)(0) . 0 9 注意注意: : E XY() ()( )E XE Y 但一般讲但一般讲, ,()()( ) !E XYE X E Y 退出退出返回返回 例例4-3 随机变量随机变量X 的概率密度的概率密度 Y = 2X 和和 Y = e -2X 的数学期望的数学期望。 试求试求 0, ( ) 00, x xe f x x 解解 EXxf x dx(2)2( ) x xedx 0 2 2 Xx E eef x dx 22 ()( ) x edx 3 0 1 3 退出退出返回返回 2 x xe 2 0 x e x e

20、0 2 x xedx 0 (22)| x xe (22) x xeC 例例4 -4 ( X , Y ) 的概率密度的概率密度 E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) . 试求试求 yxy f x y 2 0112, ( , ) 0, 其其它它 X Y (1,1) 0 y = x ( )( , )E Yyf x y dxdy 2 01 (12) y x yydxdy 1 3 00 12 x dxy dy 1 4 0 3x dx 3 5 解解 x = 1 ()( , )E Xxf x y dxdy 2 01 (12) y x xydxdy 1 2 00 12 x

21、 xdxy dy 1 4 0 4x dx 4 5 退出退出返回返回 (1) 例例4 -4 ( X , Y ) 的概率密度的概率密度 E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) . 试求试求 yxy f x y 2 0112, ( , ) 0, 其其它它 X Y (1,1) 0 y = x E XYxyf x y dxdy()( , ) y x xyydxdy 2 01 (12) x xdxy dy 1 3 00 12 x dx 1 5 0 3 1 2 解解 x = 1 2222 ()() ( , )E XYxyf x y dxdy 222 01 ()(12) y

22、 x xyydxdy 1 224 00 12() x dxx yy dy 55 1 0 12() 35 xx dx 16 15 退出退出返回返回 (2) 例例4-5 X 和和Y 相互独立相互独立, 二者的概率密度二者的概率密度 则则 E (XY ) ( ). 2 , 01 ( ) 0 , Y yy fy 其其它它 3 8 , 2 ( ) , 0 , X x fxx 其其它它 C. 8 / 3 D. 7 / 3 C E Xdx x 2 2 8 ()4 , E Yy dy 1 2 0 2 ( )2 3 EXYEXE Y 8 3 A. 4 / 3 B. 5 / 3 退出退出返回返回 退出退出 例例4

23、-64-6 天若无雨天若无雨, , 水果商每天可赚水果商每天可赚100100元元; ; 天若有雨天若有雨, , 水果水果 商每天损失商每天损失1010元元. . 一年一年365365天天, , 贩卖水果地的下雨日约贩卖水果地的下雨日约130130日日. 问水果商在该地卖水果问水果商在该地卖水果, 每天可期望赚多少钱每天可期望赚多少钱 ? 返回返回 2 1 () ii i E Xx p 235130 365 1001()()0 365 235/365,p 水果贩卖地每天无雨与有雨的概率显然依次为水果贩卖地每天无雨与有雨的概率显然依次为解解 130/365q 从而水果商每天所赚钱数从而水果商每天所

24、赚钱数 X 的分布律为的分布律为 60.82 即水果商每天可期望赚即水果商每天可期望赚 60.82 元元 . X i P Xx 100 10 130/365235/365 寿命不到一年的概率显然为寿命不到一年的概率显然为 例例4-7 设备的寿命设备的寿命XE( ). 该设备售出一台盈利该设备售出一台盈利100元元 , 因年因年 内损坏而调换则亏损内损坏而调换则亏损200元元. 求出售一台设备的盈利数学期望求出售一台设备的盈利数学期望. 因此，一台设备出售的盈利值因此，一台设备出售的盈利值Y 有分布律有分布律 从而寿命超过一年的概率即从而寿命超过一年的概率即 1 11 1 444 0 00 1

25、1( )()1. 4 xx P Xf x dxedxee 11 44 1111(1)P XP Xee . 退出退出返回返回 解解 可见可见 Y i P Yy 200 100 1 4 e 1 4 1e 2 1 ( ) ii i E Yy p 1 4 1 4 1010200()ee 1 4 200003e 第第 i 站有人下车记为站有人下车记为Yi = 1，第，第 i 站无人下车记为站无人下车记为Yi = 0, （ i = 1,2, ,10）, 则专线车停车的次数则专线车停车的次数 * *例例4-84-8 载有载有2020名旅客的专线车名旅客的专线车在无下车旅客的车站不停车。在无下车旅客的车站不停

26、车。 设各旅客在指定停靠的设各旅客在指定停靠的10个站下车的可能性相等，且是否下车个站下车的可能性相等，且是否下车 相互独立，那么若以相互独立，那么若以 X 记专线车停车的次数，则记专线车停车的次数，则 E（X）= = ？ .+ 2020 99 100 ()11() 8.784 1010 因各站下车的可能性相等，故旅客在任一站下车的概率为因各站下车的可能性相等，故旅客在任一站下车的概率为 1/101/10，不下车的概率为，不下车的概率为9/109/10，从而，从而 ，从而就有，从而就有 i i XY 10 1 i P Y 20 9 0(), 10 i P Y 20 9 11() , 10 i

27、i E XE Y . 10 1 ()() ii i E XE Y =E Y 10 1 ()()10 () 退出退出返回返回 解解 . 2 1 2 2 任一弹着点与目标间的距离显然为任一弹着点与目标间的距离显然为 *例例4-9 用用( X , Y )记炮击的弹着点坐标记炮击的弹着点坐标. 设坐标设坐标XN( 0,2), 坐坐 标标Y N( 0,2) , 且二者相互独立且二者相互独立. 试求弹着点与目标试求弹着点与目标 ( 0, 0 ) 间间 的平均距离的平均距离. X 与与Y 相互独立，且相互独立，且XN( 0,2), YN( 0,2), 可见可见, ,弹弹 ZXY 22 . xy XY f x

28、 yfx fye 22 2 () 2 2 1 ( , )( )( ) 2 xy E Zxy edxdy 22 2 () 22 2 2 1 () 2 E ZEXYxy f x y dxdy . 2222 ()()( , ) ed d 2 2 2 2 2 00 1 2 退出退出返回返回 解解 着点与目标间的平均距离应为着点与目标间的平均距离应为 从而从而 ed 2 2 2 2 0 1 d e 2 2 2 0 () ed 2 2 2 0 韩旭里等编韩旭里等编概率论与数理统计概率论与数理统计教材教材 第四章第四章 习题四习题四 P112P117 批改题批改题 P112: 1. ( 求离散变量的数学期望

29、求离散变量的数学期望 ) P113: 5. 11.( 求连续变量的数学期望与方差求连续变量的数学期望与方差 ) 7. ( 利用算子演算性质计算数学期望与方差利用算子演算性质计算数学期望与方差) 8. 9. （利用独立性简化数学期望的求算（利用独立性简化数学期望的求算 ） 10. ( 求连续变量的数学期望求连续变量的数学期望 ) 12. ( 对实际问题求数学期望与方差对实际问题求数学期望与方差 ) 退出退出返回返回 退出退出返回返回 P112P113参考答案参考答案 5. 12 2232 01 7 ()( )(2) , 6 E Xx f x dxx dxxx dx 22 1 ()()() . 6

30、 D XE XEX 12 2 01 ()( )(2)1 ,E Xxf x dxx dxxx dx 1. 22222 11115 ()( 1) ( )(0) ( )(1) ( )(2) ( ) , 82844 E X (23)2()34 .EXE X 11111 ()( 1)( )(0)( )(1)( )(2)( ) , 82842 E X 退出退出返回返回 P112P113参考答案参考答案 8. 11 3 000 01,0 1 22 . 4 x xy x xydxdyxdxydyx dx 2 .k ()( , )E XYxyf x y dxdy 7. 2222 (32 )3()2( )3 (12)2 (16)172 .DXYD XD Y (32 )3 ()2 ( )3(3)2(3)3 ,