高中数学立体几何向量法归纳[中小学堂]

1、向量方法部分向量方法部分 1课堂特制 学海无涯学海无涯 空间 向量 空间 向量 的运 算 空间 向量 基本 定理 空间 向量 的坐 标运 算 加减 和数 乘运 算 共线 向量 共面 向量 空间 向量 的数 量积 知识结构 夹角和距离 平行和垂直 2课堂特制 学海无涯学海无涯 1、空间直角坐标系、空间直角坐标系 以单位正方体以单位正方体 的顶点的顶点O为原点，分别以射线为原点，分别以射线 OA，OC， 的方向的方向 为正方为正方 向，以线段向，以线段OA，OC， 的的 长为单位长，建立三条数轴：长为单位长，建立三条数轴： x轴轴,y轴轴,z轴轴,这时我们建立了一这时我们建立了一 个个空间直角坐标

2、系空间直角坐标系 CBADOABC xyzO D O D O C D BA C O AB y z x O为坐标原点，为坐标原点， x轴轴,y轴轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐轴叫坐标轴，通过每两个坐 标轴的平面叫坐标平面标轴的平面叫坐标平面 一、基本概念 3课堂特制 学海无涯学海无涯 x o 右手直角坐标系右手直角坐标系 y z 空间直角坐标系空间直角坐标系 Oxyz 横轴横轴 纵轴纵轴 竖轴竖轴 1 1 1 4课堂特制 学海无涯学海无涯 2、空间直角坐标系中点的坐标、空间直角坐标系中点的坐标 有序实数组（有序实数组（x,y,z）叫做点）叫做点M在此在此空间空间 直角坐标系中的坐标，直角坐标系中

3、的坐标，记作记作M（x,y,z） 其中其中x叫做点叫做点M的横坐标，的横坐标，y叫做点叫做点M的的 纵坐标纵坐标, z叫做点叫做点M的竖坐标的竖坐标 点点M（X，Y，Z） 5课堂特制 学海无涯学海无涯 如果表示向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂的有向线段所在的直线垂 直于平面直于平面,称这个向量垂直于平面称这个向量垂直于平面,记作记作n, 这时向量这时向量n叫做平面叫做平面的法向量的法向量. 4、平面的法向量、平面的法向量 n /若, 则称 是直线 的方向向量alal 3、直线的方向向量、直线的方向向量 6课堂特制 学海无涯学海无涯 1、假设平面法向量的坐标为、假设平面法向量的坐标为n=

4、(x,y,z). 2、根据、根据na = 0且且nb = 0可列出方程组可列出方程组 111 222 0 0 x xy yz z x xy yz z 3、取某一个变量为常数、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好当然取得越简单越好), 便得到平面法向量便得到平面法向量n的坐标的坐标. a n b 5、平面法向量的求法、平面法向量的求法 设设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面是平面内的两个不共线内的两个不共线 的非零向量的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知由直线与平面垂直的判定定理知,若若na 且且nb,则则n.换句话说换句话说,若若na = 0且且nb = 0,则则

5、 n.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标可按如下步骤求出平面的法向量的坐标 7课堂特制 学海无涯学海无涯 例、已知例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平求平 面面ABCABC的法向量的法向量 ( 4,6, 1),(4,3, 2)ABAC 460 4320 xyz xyz 解：解：平面平面ABCABC的法向量为的法向量为: : (3,4,12)n 得 4 3 zx zy 得 12z 令 (3,4,12)ABCn 平面的法向量 ( , , )nx y z 8课堂特制 学海无涯学海无涯 例、在棱长为例、在棱长为

6、2的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中中,O是面是面 AC的中心的中心,求面求面OA1D1的法向量的法向量. 解：以解：以A为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），（如图）， 则则O（1，1，0），），A1（0，0，2），），D1（0，2，2），）， 设平面设平面OA1D1的法向量的法向量为的法向量的法向量为n=(x,y,z), 由由 =（-1，-1，2），）， =（-1，1，2）得）得 1 OA 1 OD 20 20 xyz xyz 2 0 xz y 解得解得 取取z =1得平面得平面OA1D1的法向的法向 量的坐标量的坐标n=(2,0,1) A A B

7、O z y A1 C1 B1 A x C D D1 9课堂特制 学海无涯学海无涯 5、两法向量所成的角与二面角的关系、两法向量所成的角与二面角的关系 l 1 n 2 n l 1 n 2 n 设设n1 、n2分别是二面角两个半平面分别是二面角两个半平面、的法向量，的法向量， 由几何知识可知，二面角由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量的大小与法向量n1 、 n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为 求两个平面法向量的夹角求两个平面法向量的夹角. 10课堂特制 学海无涯学海无涯 二、基本公式： 1 1、两点间的距离公式（线段的长度）、两点间的距离

8、公式（线段的长度） 222 212121 ABABxxyyzz 2 2、向量的长度公式（向量的模）、向量的长度公式（向量的模） 2 222 aaxyz 11课堂特制 学海无涯学海无涯 12121 2 a bx xy yz z 3 3、向量的坐标运算公式、向量的坐标运算公式 111222 ( ,)(,)ax y zbxyz 若那么 121212 (,)abxxyyzz 111 (,)axyz 12课堂特制 学海无涯学海无涯 121212 |,() a bxxyyzzR 111 222 | xyz ab xyz 4 4、两个向量平行的条件、两个向量平行的条件 5 5、两个向量垂直的条件、两个向量垂

9、直的条件 12121 2 0 abx xy yz z 或 13课堂特制 学海无涯学海无涯 123 123 123 3 3 3 xxx x yyy y zzz z 7 7、重心坐标公式、重心坐标公式 6 6、中点坐标公式、中点坐标公式 12 12 12 2 2 2 xx x yy y zz z 14课堂特制 学海无涯学海无涯 9 9、直线与平面、直线与平面所成角公式所成角公式 | sin | | | PM n PMn ( PMlMn 为为 的法向量的法向量) 8 8、直线与直线所成角公式、直线与直线所成角公式 | cos | | AB CD ABCD 1010、平面与平面所成角公式、平面与平面所

10、成角公式 12 12 cos | | n n nn ( 为二面角两个半平面的法向量）为二面角两个半平面的法向量） 1 n 2 n 15课堂特制 学海无涯学海无涯 1111、点到平面、点到平面的距离公式的距离公式 | | PMn d n （PM为平面为平面 的斜线的斜线, 为平面为平面 的法向量）的法向量）n 1212、异面直线的、异面直线的距离公式距离公式 | | AB n d n （A,B为异面直线上两点为异面直线上两点, 为公垂线的方向向量）为公垂线的方向向量）n 16课堂特制 学海无涯学海无涯 利用向量求利用向量求 角角 直线与直线所成的角直线与直线所成的角 直线与平面所成的角直线与平面

11、所成的角 平面与平面所成的角（二面角）平面与平面所成的角（二面角） 利用向量求距离利用向量求距离 点到直线的距离点到直线的距离 点到平面的距离点到平面的距离 直线到平面的距离直线到平面的距离 平行到平面的距离平行到平面的距离 直线到直线的距离直线到直线的距离 三、基本应用 17课堂特制 学海无涯学海无涯 利用向量证平行利用向量证平行 利用向量证垂直利用向量证垂直 直线与直线垂直直线与直线垂直 直线与平面垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直平面与平面垂直 直线与直线平行直线与直线平行 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行 18课堂特制 学海无涯学海无涯 四、基本方法 1 1、

12、平行问题、平行问题 19课堂特制 学海无涯学海无涯 、垂直问题、垂直问题 20课堂特制 学海无涯学海无涯 、角度问题、角度问题 21课堂特制 学海无涯学海无涯 、距离问题、距离问题 （）点到点的距离、点到平面的距离、直线（）点到点的距离、点到平面的距离、直线 到直线的距离直接用公式求解。到直线的距离直接用公式求解。 （）点到直线的距离、直线到平面的距离、平（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平 面到平面的距离转化为点到平面的距离求面到平面的距离转化为点到平面的距离求 解。解。 22课堂特制 学海无涯学海无涯 例： 0 90 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着 111 ABCABC平面的法

13、向量平移到位置，已知 1111111 ，取、的中点、 ，BCCACCABACDF 11 BDAF求与所成的角的余弦值. C A 1 A B 1 B 1 C 1 D 1 F 题型一：线线角题型一：线线角 五、典型例题 23课堂特制 学海无涯学海无涯 A 1 A B 1 B C 1 C 1 D 1 F x y z 所以： 题型一：线线角题型一：线线角 A 1 A B 1 B 1 C 1 D 1 F (1,0,0),(0,1,0),AB 解：以点C 为坐标原点建立空间 直角坐标系 如图所示， 不妨设 则 1 1CC Cxyz C 11 11 1 ( ,0,1),( ,1) 22 2 FD ) 1 ,

14、 2 1 , 2 1 (,) 1 , 0 , 2 1 ( 11 DBFA 11 11 |30 10| AFBD AFBD 11 cos,AF BD | 所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为 1 BD 1 AF 30 10 24课堂特制 学海无涯学海无涯 , 例.在三棱柱中，底面是正三角形， 底面，求证： ABCA B C AAABCA CABBCAB .2, ( 3,0,0), (0,1,0),(0, 1,0). ( 3,0, ),(0,1, ),(0, 1, ). 解.建立如图空间坐标系不妨设底面边长为 高为h ABC Ah Bh Ch A B C B C A ), 2, 0()

15、, 1, 3( ), 1 , 3( hBChCA hAB 22 2 03 1,2. 020. ABA Ch h ABBChBCAB 题型二：线线垂直题型二：线线垂直 25课堂特制 学海无涯学海无涯 题型三：线面角题型三：线面角 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M x y z B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M N 解：如图建立坐标系A-xyz,则 (0,0,0),A)6 , 2 , 6(M 可得由, 5 1 NA)3 , 4 , 0(N (6,2,6),(0,4,3).AMAN 由的法向量设平面),(zyxn 0 0 nNA nMA 034 0626 zy zyx

16、即 在长方体在长方体 中，中，例：例： 1111 ABCDABC D 11 2,MBCB M 为上的一点,且 1 NAD点 在线段上， 1 5,A NADANM求与平面所成的角. , 6 1 AA , 8, 6ADAB 26课堂特制 学海无涯学海无涯 题型三：线面角题型三：线面角 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M N x y z B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M N ) 3 4 , 1 , 1 (n 得 222 |0 1 80|3 34 , 344 811() 3 (0,8,0),AD 又 ADANM与平面所成角的正弦值是 34 343 例：例：在长方体在长方体

17、 中，中， 1111 ABCDABC D58,ABAD = ， 111 2,MBCB M 为上的一点,且 1 NAD点 在线段上， 1 5,求与平面所成的角.A NADANM , 6 1 AA | sincos, | AD n AD n AD n 27课堂特制 学海无涯学海无涯 A B D C A1 B1 D1 C1 例例. .在正方体在正方体ACAC1 1中，中，E E为为DDDD1 1的中点，求证：的中点，求证：DBDB1 1/面面A A1 1C C1 1E E E F 题型四：线面平行题型四：线面平行 ) 1 , 0 , 0(),2 , 2 , 0(),2 , 0 , 2( . 2 ,

18、11 ECA AD xyzD 则设 证明：如图建立坐标系 x y z 111 1 ( 2,2,0),( 2,0, 1), (1,1,1). ACAE DB 则的法向量设平面),( 11 zyxnCEA 0 0 1 11 nEA nCA 02 022 zx yx 即即 )2, 1 , 1 (n 解得 , 0211 11 nBDnBD ./ 111 ECADB平面 28课堂特制 学海无涯学海无涯 : , . 例 在正方体中.E,F分别是的中点. 求证：平面 ABCDA B C DCC BD A FBDE F E X Y Z , DA DC DDxyz A 证明:如图取分别为 轴, 轴, 轴 建立空

19、间直角坐标系,设正方体的棱长为2. A(2,0,0),B(2,2,0), (2,0,2) E(0,2,1),F(1,1,0) ( 1,1, 2),(2,2,0),(0,2,1) ( 1,1, 2) (2,2,0)0 ( 1,1, 2) (0,2,1)0 , ,. A FDBDE A F DB A F DE A FDB A FDEDBDEDA FBDE 又平面 题型五：线面垂直题型五：线面垂直 或先求平面BDE的法向量 再证明 A F n n 29课堂特制 学海无涯学海无涯 题型六：面面角题型六：面面角 A B C D S 0 90 , 1 1, 2 例、已知，是一直角梯形，平面 求面与面所成的

20、二面角的余弦值。 ABCDABCSAABCD SAABBCADSCDSBA 解： 建立直角坐系A-xyz如所示, ),0 , 2 1 , 0(DA( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,(0,0,1)S ) 1, 2 1 , 0(),0 , 2 1 , 1 (DSDC ),0 , 2 1 , 0( 1 DAnSBA 的法向量易知，面 2 ( , , ),SCDnx y z 的法向量 22 ,nCD nSD 由得：设平面 0 2 0 2 z y y x ) 1 , 2 , 1 ( 2 n 解得： , 3 6 | ,cos 21 21 21 nn nn nn 6 3 即所求二面角的余

21、弦值是。 x y z 30课堂特制 学海无涯学海无涯 11111 11 1 11 11 11 : , (1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1) ( 1,0,1),( 1,0,1) |.| |. |. | 1 11 1 1 1 证明 如图分别以、 三边所在的直线为轴建立空间 直角坐标系.设正方体的棱长为1,则 则A A即直线AC， 则A平面同理可证： A平面 平面A D AD CD D x y z ABCD DB C DB CDB DCB D BCB D BD 11. 平面CB D X Y Z 1 C A B C D 1 D 1 B 1 A 例：在正方体例：在正方体ABCD

22、-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求证：面中，求证：面A A1 1BDBD面面CBCB1 1D D1 1 题型七：面面平行题型七：面面平行 或先求两平面的法向量 再证明 12,nn 12,nn 31课堂特制 学海无涯学海无涯 例、在正方体例、在正方体ACAC1 1中，中，E E、F F分别是分别是BBBB1 1、CDCD的中点，的中点， 求证：面求证：面AEDAED面面A A1 1FDFD1 1 A B CD A1 B1 C1 D1 E F X Y Z 题型八：面面垂直题型八：面面垂直 1 1 : (0,0,0) ,(2,0,0),(2,2,1), (0,0,2),

23、(0,1,0) (0,2,1),(2,0,0) (0,1, 2) 0,0 , 1 11 11 1 证明 如图直角坐标系. 设正方体的棱长为2,则 则AE D F AE D FD F AED FD F D F平面 平面平面 DAE DF DA DA DA AED A FDAED 或证明两平面的法向量垂直或证明两平面的法向量垂直 32课堂特制 学海无涯学海无涯 A B C 1 A 1 C 1 B N M z x y 练习练习 111 1111 11 11 1 902 (1) (2)cos, (3) 如图，直三棱柱中， ，棱，、分别是、的 中点，求： 的长； 的值； 证明：。 O ABCA B CC

24、ACB BCAAAMNA BAA BN BA CB A BC M 33课堂特制 学海无涯学海无涯 x z y A B C D 1 A 1 D 1 C 1 B E F 练习练习 11 1111 24已知长方体中， 、 分别 是，的中点，求异面直线、所成角的大小。 ACABBCAAEF ADABBECF 34课堂特制 学海无涯学海无涯 BA C 1 A D 1 C 1 B 1 D E F z x y 练习练习 1111 11 1 11 11111 :1: 2 (1) (2) (3) 如图，已知正方体中， 是中点， 点在上，且，求： 平面的法向量； 直线与平面所成角； 平面与平面所成 角的大小。 A

25、BCDA B C DEBC FAAA FFA B EF BBB EF B EFA B C D 35课堂特制 学海无涯学海无涯 A B D C 1 A 1 D 1 C 1 B x z y 练习练习 1111 1 11 11 111 2 (1) (2) (3) O 1 为直四棱柱，底面ABCD是直角梯形， DAB= ADC=90 ， 求异面直线和所成角； 求和底面B所成角； 求二面角的大小。 ABCDABC D ADCDaAAABa ACBC ACBCC CABA 36课堂特制 学海无涯学海无涯 B M P D C A N x z y O 练习练习 2 3 3 1 2 如图所示，已知正方形所在平面

26、，点、 分别 在、上， （）求证：面面； （ ）若，求二面角的大小。 PAABCDMN ABPCAMABPCNC PADPCD PAABNDMC 37课堂特制 学海无涯学海无涯 题型九：异面直线的距离题型九：异面直线的距离 z x y A B C C1 ).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(, 1 BAECxyzC则解：如图建立坐标系 1 (1,1,0),(2,2,4),CEAB 则的公垂线的方向向量为设).,(, 1 zyxnBAEC 0 0 1 BAn ECn 即即 0422 0 zyx yx 取x=1,z则y=-1,z=1,所以

27、 ) 1 , 1, 1 ( n ).0,0, 1 (,ACAC 在两直线上各取点 1 |2 3 . |3 n CA CEABd n 与的距离 E A1 B1 1111 0 1 .4, 2,90 , 例 已知：直三棱柱的侧棱底面中 为的中点。求与的距离。 ABCABCAAABC ACBCBCAEABCEAB 38课堂特制 学海无涯学海无涯 0 0 0 :, (0,0,2),(0,4,0),(4,4,0), (4,0,0),(4,2,0),(2,4,0).(4,2, 2), (2,4, 2) ( , , ),: 02 0 CD CB CGXYZ GBA DEFGE GFEFG nx y z nGExy nGF 解 以的方向为轴轴轴的正方向 建立空间坐标系,则 设平面的法向量为 则有 0 0 0 1 0 1 20 3 (1,1,3),2(0,4, 1)(0,4, 2) |22 11.11. 1111 x z y xyz z nGB nGB dBEFG n 又 即点 到平面的距离为 A B C D E F G X Y Z 题型十：点到平面的距离题型十：点到平面的距离 :4, 2, 例 如图已知是边长为 的正方形,分别是的中点, 垂直于所在的平面, 且求点 到平面的距离. A