高考数学复习：题型解法训练之数列解答题的解法[中小学堂]

1、专题五专题五 数列解答题的解法数列解答题的解法 1课堂特制 1.1.近三年高考各试卷数列考查情况统计近三年高考各试卷数列考查情况统计 2005年高考各地的16套试卷中，每套试卷均有1道数列解 答试题，处于压轴位置的有6道.由此知，数列解答题属于中档 题或难题.当中，涉及等差数列和等比数列的试题有11道，有 关递推数列的有8道，关于不等式证明的有6道.另外，等比求 和的错位相减法，广东卷的概率和数列的交汇，湖北卷的不等 式型的递推数列关系都是高考试题中展现的亮点. 专题五 数列解答题的解法 试题特点 2课堂特制 2006年的18道数列解答试题中，与函数综合的有6道， 涉及数列不等式证明的有8道，

2、北京还命制了新颖的“绝对 差数列”,值得一提的是，其中有8道属于递推数列问题，这 在高考中是一个重点. 2007年高考的各套试卷中都有数列题，有3套试卷是在 压轴题的位置，有5套是在倒数第二道的位置，其它的一般 在第二、三的位置，涉及到递推数列的有6道. 专题五 数列解答题的解法 试题特点 3课堂特制 综上可知，数列解答试题是高考命题的一个必考且难度 较大的题型，其命题热点是与不等式交汇、呈现递推关系的 综合性试题.当中，以函数迭代、解几何曲线上的点列为命题 载体，有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一 个新的亮点，而命题的冷点是数列的应用性解答题. 专题五 数列解答题的解法 试题特点

3、 4课堂特制 2.2.主要特点：主要特点： 数列是高中代数的重要内容之一，也是与大学衔接的内 容，由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考 查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，所以 在历年高考中占有重要地位，近几年更是有所加强. 数列解答题大多以数列、数学归纳法内容为工具，综合 运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数 与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想 方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能 力，其难度属于中、高档难度. 专题五 数列解答题的解法 试题特点 5课堂特制 1.考查数列、等差数列、等比数列、数列极限以及数学归纳 法等

4、基本知识、基本技能. 2.常与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查 学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会， 进而考查学生的学习潜能和数学素养. 3.常以应用题或探索题的形式出现，为考生展现其创新意识 和发挥创造能力提供广阔的空间. 专题五 数列解答题的解法 试题特点 6课堂特制 应试策略应试策略 1.熟练掌握并灵活运用数列的基本知识是解决数列问题的基础熟练掌握并灵活运用数列的基本知识是解决数列问题的基础. (1)等差、等比数列的判定： 利用定义判定； an+an+2=2an+1 an是等差数列，anan+2= (an0) an 是等比数列； an=an+b(a,b为常数)

5、 an是等差数列； Sn=an2+bn(a,b为常数，Sn是数列an的前n项和) an是 等差数列. 专题五 数列解答题的解法 2 1n a 7课堂特制 (2)等差、等比数列的性质的应用：注意下标、奇、偶项的特 点等. (3)已知数列的前n项和求通项公式，这类问题常利用 an= 求解. (4)用递推公式给出的数列，常利用“归纳猜想证明” 的方法求解. (5)数列求和的基本方法： 公式法(利用等差、等比数列前n 项和公式或正整数的方 幂和公式）； 错位相减法(等比数列求和推导的基本方法)； 倒序相加法； 裂(拆)项法等. )2( ) 1( 1 1 nSS nS nn 专题五 数列解答题的解法 应

6、试策略应试策略 8课堂特制 2.注意函数思想与方程思想在数列中的运用注意函数思想与方程思想在数列中的运用. 由于数列是一种特殊的函数，所以数列问题与函数、 方程有着密切的联系，如等差数列的前n项和为n的二次函 数，有关前n项和的最大、最小值问题可运用二次函数的性 质来解决.等差(比)数列问题，通过涉及五个元素a,d(q)，an， n，Sn ，利用方程思想，熟练运用通项公式与前n项和公式 列出方程或方程组，并求出未知元素，是应当掌握的基本 技能. 专题五 数列解答题的解法 应试策略应试策略 9课堂特制 3.数列问题对能力要求较高，特别是运用能力、归纳猜想数列问题对能力要求较高，特别是运用能力、归

7、纳猜想 能力、转化能力、逻辑思维能力更为突出能力、转化能力、逻辑思维能力更为突出. 在高考解答题 中更是能力与思想的集中体现，尤其是近几年高考加强了 数列推理能力的考查，应引起我们的足够重视. 专题五 数列解答题的解法 应试策略应试策略 10课堂特制 考题剖析考题剖析 1.（2007湖南省示范性高中模拟题）已知数列an的前n项 和Sn=n(2n1),(nN*). (1) 求数列an的通项公式,并证明该数列为等差数列； (2) 设数列bn=S1+ + + (nN*), 试判定： 是否存在自然数n,使得bn=900，若存在, 求出n的值；若不存 在，说明理由. 2 2 S 3 3 S n S n

8、专题五 数列解答题的解法 11课堂特制 解析解析(1) 当n2时， an=SnSn1=n(2n1)(n1)(2n3)=4n3， 当n=1时, a1=S1=1, 适合, an=4n3， 而anan1=4(n2)， 所以an为等差数列. 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 12课堂特制 (2) = 2n1, n S n 2 2 S 3 3 S n S n bn=S1+ + + =1+3+5+7+ +(2n1)=n2, 由n2=900, 得n=30, 即存在满足条件的自然数为30. n S n 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 点评点评由于题目给出是的Sn与n的关系，故在求通项时

9、要注意n2与n=1的情况，第2问涉及到的是等差 数列的一个性质，如果Sn是等差数列an的前n项 和，则 也是等差数列. 13课堂特制 2.（2007江苏九大名校模拟题）设等比数列an的各项均为 正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍， 且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列 lgan的前多少项和最大？(取lg2=0.3, lg3=0.4) 分析分析突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成 等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定 是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数 之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可 由函数解析式求最值. 考题剖析考题剖

10、析 专题五 数列解答题的解法 14课堂特制 解析解析解法1：设公比为q,项数为2m,mN*, 依题意有 化简得 )(9)( , 1 ) 1( 4 1 ) 1( 323 1 2 2 1 2 1 111 qaqaqaqa q qqa q qa mm ),1 (9 1 1 4 2 1 qqa q q 108 3 1 1 a q 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 解 得 15课堂特制 设数列lgan前n项和为Sn,则 Sn=lga1+lg(a1q2) + +lg(a1qn1) =lg(a1nq1+2+(n1) =nlg a1+ n(n1)lgq =n(2lg2+3lg3) n(n1)lg3

11、=( )n2+(2lg2+ lg3)n 可见，当n= 时，Sn最大. 2 1 2 1 2 3lg 3lg 3lg 2 7 2lg2 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 2 7 16课堂特制 而 = = 5, 故lgan的前5项和最大. 3lg 3lg 2 7 2lg2 4 . 02 4 . 073 . 04 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 17课堂特制 解法解法2：接前，a1=108, q= , 于是lgan=lg108( )n1=lg108+(n1)lg , 数列lgan是以lg108为首项，以lg 为公差的等差数 列，令 lgan0,得2lg2(n4)lg30， n =

12、 = 5.5. 由于nN*,可见数列lgan的前5项和最大. 3 1 3 1 3 1 3lg 3lg42lg2 点评点评本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法 则， 等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力. 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 3 1 4 . 0 4 . 043 . 02 18课堂特制 3.(2006开封市高三质量检测)已知数列an满足 2an+1=an+an+2(n=1,2,3,),它的前n项和为Sn,且a3=5,S6=36. (1)求数列an的通项公式； (2)已知等比数列bn满足b1+b2=1+a,b4+b5=a3+a4(a1). 设数列anbn的前n

13、项和为Tn,求Tn. 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 19课堂特制 解析解析(1)由2an+1=an+an+2 an+2an+1=an+1an,则an为等差数列， ,36156 , 52 1 1 da da .2 ,1 1 d a an=2n1. 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 20课堂特制 (2)设bn的公比为q, q3= 21 54 bb bb = a aa 1 43 =a3, q=a. 由b1+b2=1+a, 得 b1(1+a)=1+a, a1，b1=1. 则bn=b1qn1=an1,anbn=(2n1)an1, Tn=1+3a+5a2+7a3+(2n1)an1

14、, 当a1时，aTn=a+3a2+5a3+(2n1)an, 由得 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 21课堂特制 (1a)Tn=1+2a+2a2+2an1(2n1)an = 1(2n1)an. Tn= . 当a=1时，Tn=n2. a a n 1 )1 (2 2 )1 ( )1 (2 a a n a an n 1 ) 12(1 点评点评本题考查等差、等比数列的基础知识，考查利用错 位相减求数列前n项和的方法，注意公比等于1的情 况，考查推理及运算能力. 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 22课堂特制 4.(2007南京模拟题）已知等差数列an满足a3+a6= , a1a8=

15、 且a1a8. （）求数列an的通项公式； （）把数列an的第1项、第4项、第7项、第3n 2项、分别作为数列bn的第1项、第2项、第3 项、第n项、，求数列 的所有项之和； （）设数列Cn的通项为Cn=n ，试比较 (n+1)(n+2)Cn+n(n+1)Cn+2与2n(n+2) Cn+1的大小. 3 1 3 4 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 n b 2 n b 2 23课堂特制 解析（解析（）an为等差数列，a3+a6=a1+a8= ，又 a1a8= 且a1a8 求得a1=1，a8= ，公差d= = an=1 (n1)= n+ ，nN* 3 1 3 4 3 4 7 18 aa

16、3 1 3 1 3 1 3 4 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 24课堂特制 （）b1=a1=1，b2=a4=0 bn=a3n2= (3n2)+ =n+2 = = 是首项为2，公比为 的等比数列 的所有项的和为 = 4 3 1 3 4 2 2)1( 2 2 n n 2 1 1 2 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 n n b b 2 2 1 2 1 2 1 n b 2 n b 2 25课堂特制 （）Cn=n (n+1)(n+2)Cn+n(n+1)Cn+22n(n+2)Cn+1 =n (n+1)(n+2) +n(n+1)(n+2) 2n(n+1)(n+2) =n (n+1)

17、( n +2)( ) = n (n +1)( n +2) = n (n +1)( n +2) (1+22221) = n (n +1)( n +2) (1+ 1)0 其中bn+2bn=(n+2)+2(n+2)=2， bn+1bn=(n+1)+2(n+2)=1 (n+1)(n+2)Cn+n(n+1)Cn+22n(n+2)Cn+1 4 1 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 n b 2 n b 2 1 2 n b 2 2 n b 12 2222 nnn bbb n b 2 n b 2 )2221 (2 12nnnn nbbbb b 26课堂特制 5.(2006郑州市质量预测题) (1)已知

18、函数f(x)=3x2+6x2,Sn是数列an的前n项和，点 (n, Sn) (nN*)在曲线y=f (x)+2上,求an; (2)在(1)的条件下，若bn=( )n1,cn= ，且Tn是数列cn的 前n和.试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大 值;若不存在，请说明理由. 2 1 6 nn ba 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 27课堂特制 解析解析(1)点(n, Sn)在曲线y=f (x)+2上， Sn=3n2+6n. 当n=1时，a1=S1=3. 当n2时，an=SnSn1=96n, an=96n. 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 28课堂特制 (2)bn

19、=( )n-1, cn= anbn=(32n)( ) n, Tn=c1+c2+cn = ( )2(32n)( )n, 利用错位相减法，得Tn=(2n+1)( )n1. 考题剖析考题剖析 专题五专题五 数列解答题的解法数列解答题的解法 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 29课堂特制 Tn+1=(2n+1)（ ）n0, Tn+1+1=(2n+3)（ ）n+10, = 1， Tn+1+1Tn+1, Tn+1TnT1= .存在最大值T1= . 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 n n T T 点评点评本题综合考查了函数与数列的基本知识，考查了等 差数列，等比数列的基本知

20、识及错位相减求和法. 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 1 ) 2 1 )(32( ) 2 1 )(12( n n n n 30课堂特制 6.(2007海淀区模拟题） 已知函数f (x)= (x2). (1)求f (x)的反函数f -1(x)； (2)设a1=1, =f -1 (an)(nN*),求an； (3)设Sn= + + ，bn=Sn+1Sn是否存在最小正整数m, 使得对任意nN*,有bn 成立？若存在，求出m的 值；若不存在, 说明理由. 4 1 2 x 1 1 n a 2 1 a 2 2 a n n a 25 m 考题剖析考题剖析 专题五 数列解答题的解法 31课堂特制 分析分析 第(2)问由式子 = 得 = 4,构 造等差数列 ,从而求得an,即“借鸡生