圆锥曲线解题方法技巧归纳

1、圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备:1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2) 与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率k tan ,0,)夹角公式：k21 点到直线的距离dA/ By0_C tan(3) 弦长公式 直线 y kx b上两点 A(xi, yj, B(X2, y2)间的距离：AB| Ji k2|x X2J(1 k2)(Xi X2)24沁或 AB Ji *|yi y2(4) 两条直线的位置关系 l1 l2 k1k2=-1 l1 /12k1 k2且b1 b22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程

2、：2 2匚 1(m 0, n 0且 m n) m n距离式方程:.(x c)2 y2. (x c)2 y2 2a参数方程：x a cos , y bsin(2) 、双曲线的方程的形式有两种2 2标准方程：-1(m n 0)m n距离式方程：| ；(x c)2 y2. (x c)2 y2 | 2a(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：近；双曲线：玄；抛物线：2paa(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如:已知F,、2 2F2是椭圆勻七1的两个焦点,平面内一个动点 M足MF!MF22则动点M的轨迹是(A、双曲线;B、双曲线的一支；C、两条射线;D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P在椭

3、圆上时，SFlPF2设 A x；, y；2仝1的弦AB中点则有3b2 tan 2P在双曲线上时，S fPf b cot|PFi| | PF? |(其中 F,PF2,cos|PFi丄P2 .4c，PF ?Pf2 | pF； |忌 |cos(6)、 记住焦 半 径公式： (1)椭圆焦点在x轴上时为a exg；焦点在y轴上时为a ey，可简记为“左加右减，上加下减”(2) 双曲线焦点在x轴上时为e| x01 a(3) 抛物线焦点在x轴上时为| x； | -|,焦点在y轴上时为| y | *(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)2B X2,y2，M a,

4、b 为椭圆42 2 2 2 2222仝生1,空空1 ;两式相减得二竺 上上 0434343xi X2 捲 X2yi y2 yi y23a43kAB-不2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 0，以及根与系数的关系，代入弦 长公式，设曲线上的两点A(X!, yi), B(X2, y2)，将这两点代入曲线方 程得到两个式子，然后 -，整体消元,若有两个字母未知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点， 则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关

5、系，则寻 找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。 一旦设直线 为y kx b，就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2 80上，且点A 是椭圆短轴的一个端点(点 A在y轴正半轴上).(1) 若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC的方程；(2) 若角A为900 , AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为90可得 出AB丄AC,从而得X1X2 yy 14(y1山16 0，然后利用联立消元 法及交轨法求出点D的轨迹方程；解：(1)设 B

6、 ( X1,y1) ,C(X2,y2 ),BC 中点为(x。, y。),F(2,0)则有2 2 2 2Xl Xl 1Xl Xi20 16 120 16两式作差有(1)(捲 X2XX1 X2) (yi y2)(yi y?)0 卫20165F（2,0）为三角形重心，所以由X1 X2 2，得X0 3，由y1 y2 所以所求点D的轨迹方程是x2 （y 0得33y2，代入（1）得k -5直线BC的方程为6x 5y 28 02)由 AB 丄 AC 得 x1x2 y1 y214( y1 y2) 16 0(2)设直线BC方程为2 2y kx b,代入 4x 5y 80(4 5k2)x2 10bkx 5b280

7、010kbX1X24 5k2， X1X25b2804 5k28ky1y24 5k2,y1 y24b280k24 5k2代入（2）式得29b 32b164 5k20 ,解得b 4（舍）或b4y _直线过定点（0 ,4)，设 D ( x,y)，则一分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念 以 1，即9x x和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建2 2立直角坐标系xOy，如图，若设C 2,h，代入右 缶1，求得h |,进而求得xE建立目标函数f(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0 ,此运算量可见是难上加难我们对h可米取设而不求的解题策略，建立目标函数f(

8、a,b,c, ) 0 ,整理f(e, ) 0,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy ,则CD丄y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知依题意，记A c，0 , C f，h曲线的半焦距，h是梯形的高,2 2设双曲线的方程为冷笃a bC、D关于y轴对称Xa由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e -代入双曲线方 a程得由式得h2b2h2b22e_1 ,4将式代入式，整理得e24412132 e1扌得，213332 e24解得7 e ,10所以双曲线的离心率的取值范围为.7,J0分析：考虑AE , AC为焦半径，可用焦半径公

9、式,AE,AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一,Xecc 22_C1 2 1AEa exE , ACexC ,斧，由题设t 得，站 解得-7 e JO所以双曲线的离心率的取值范围为一 7, JO4、判别式法例3已知双曲线c：x! 1，直线I过点A ,2,0，斜率为k，当0 k 1 2 2时，双曲线的上支上有且仅有一点 B到直线I的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B作与I平行的直线，必

10、与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路:I: y k(x .2)0 k 1直线I在I的上方且到直线I的距离为J 21 FI: y kx . 2k22 2k把直线I的方程代入双曲线方程，消去 y,令判别式01 F解得k的值分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线I的距离为运”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：简解：设点M(x, .2 x2)为双曲线C上支上任一点，则点 M至U直 线I的距离为：kx V2x7 x 2k肿1-于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 k 1，所以

11、2 x2x kx，从而有kx V2 x2 V2kkx V2 x2 227k 6 9k 59 k24所以APPB生=9k 2(9k25 =1x2 9k 2.9k2 518k9k 219k25189295k2由所以(54 k)2180 9k240,解得 k2181 1 9 2 9 5k2丄，综上559，APPB分析2:如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到：判别式因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k 0的情当k 0时,27k 69k25xi9k2 4， X2往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定 k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定

12、理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于AP也不是关于Xi,X2的对称关系式.原因找到后，解决问题的X2方法自然也就有了，即我们可以构造关于 Xi,X2的对称关系式.简解2:设直线I的方程为：y kx 3，代入椭圆方程，消去y得9k24 x2 54kx 450（ *）54kXi X22则9k4令鱼，则，丄2 324k2X245k220在（*）中，由判别式0,可得k2 5，9从而有324 k236 所以442丿丿1匕丿、45k2055.结合01 得 1 1.5综上， AP 11 .PB545X1X229k 41536，解得点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，

13、均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能 说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有 见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里 .第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基 本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、 公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标， 得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题 之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考缜密、推

14、理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点， 且AF FB 1 , |6|1.( I)求椭圆的标准方程；(H)记椭圆的上顶点为M ,直线I交椭圆于P,Q两点，问：是否 存在直线I，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线I的方程； 若不存在，请说明理由。思维流程：(I)由 aF?fb 1, 16| 1(a c)(a c) 1 , c 1l写出椭圆方程a J2,b 1由F为PQM的重心* PQ MF,MP FQk PQ(n)3x224mx 2m两根之和, 两根之积0得出关于m的方程解出m解题过程:(I)如图建系，设椭圆方

15、程为X2a2y2b21(a b 0)则 c 1a2又 AF FB 1 即(a c) (a c)故椭圆方程为f y2 1(H)假设存在直线I交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则设 P(X1,yJ,Q(X2,y2)，丁 M(0,1),F(1,0)，故 kpQ 1 ,于是设直线1为yx m ,由2 X2m得X2 2y223x2 4mx 2m220i1/ MP FQ0Xi(X21)y2(yii)又yXi m(i 1,2)得 x1(x2 1)(x2! m)(x!m 1)0 即2x-X2 (x-! x2)(m 1) m2 m 0 由韦达定理得22m 2 4m22(m 1) m m 033解得m 4

16、或m 1 (舍) 经检验m4符合条件.33点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边， 然后转化为两 向量乘积为零.例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(|,0)、昭0)、C1,!三点.(I)求椭圆E的方程:(H)若点D为椭圆E上不同于A、B 的任意一点，F( 1,0), H (1,0),当厶DFH内切圆的面积最大时，求DFH内心的坐标;思维流程:由椭圆经过A、B、C三点设方程为mx2 ny21 得到m,n的方程解出m,n由 DFH内切圆面积最大转化为 DFH面积最大DFH面积最大值为V3S DFH周长r内切圆 | r内切圆转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短

17、轴端点得出D点坐标为0,33解题过程：(I)设椭圆方程为mx2 ny21 m0,nA( 2,0)、B(2,0)、C(1,|)代入椭圆E的方程，得4m 1,229 解得m -,n -.二椭圆E的方程 m n 143434(H) |FH | 2，设ADFH边上的高为Sdfh1 22当点D在椭圆的上顶点时，h最大为.3，所以Sdfh的最大值为-3 .设ADFH的内切圆的半径为R，因为 DFH的周长为定值6.所以,S DFHR 62所以R的最大值为至.所以内切圆圆心的坐标为(迢33点石成金：1 /s的内切圆的周长r的内切圆2例8已知定点C( 1,0)及椭圆x 2 2 (k 1)x1x2 (k m)(x

18、1 x2) k 3y2 5 ,过点C的动直线与椭圆 相交于A, B两点.(I)若线段AB中点的横坐标是 -，求直线AB的方程；2(H)在x轴上是否存在点M，使MA MB为常数？若存在，求出 点M的坐标；若不存在，请说明理由.思维流程：y k(x 1),(I)解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为将 y k(x 1)代入 x2 3y2 5 ,消去y整理得(3k21)x2 6k2x3k2 5 0.设 A% yj, B(x2，y2),36k4 4(3k2 1)(3k2 5)6k23k2 1.0,(1)X2白线段AB中点的横坐标是得 x1X23k23k21彳，解得k，符合题意。30.所以直

19、线AB的方程为x 3y 1(H)解：假设在X轴上存在点M (m,0)，使MA MB为常数. 当直线AB与 x轴不垂直时，由(I )知6k23k21 所以MA MB (为x-ix23k25X2 3k2 1m)(X2 m) y2(为 m)(x2 m)仏 1)(X2 1)m2.将代入，整理得鈕驾晋ma 2b1214(2m -)(3k2 1) 2m ；333k2 1m22m6m 143(3k21)注意到MA MB是与k无关的常数,7 - 3m7o41当直线AB与x轴垂直时，此时点A, B的坐标分别为1,2 当3，当m亦有MA MB综上，在x轴上存在定点M7,0，使MA MB为常数.3点石成金:(6m

20、1)k2 53k2 1(2m g)(3k2 1) 2m 聲3k2 1m22m6m 143(3k21)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的2 倍且经过点M (2，1)，平行于OM的直线I在y轴上的截距为m (m工0),1交椭圆于A、B两个不同点。(I)求椭圆的方程;求m的取值范围;(皿)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：解:(1)设椭圆方程为2 x2a2b2 1(a b 0)椭圆方程为解得81b2 2(H)v直线|平行于OM，且在y轴上的截距为m又Kom=il的方程为：y1x m22iyx m由222x(xi 2)(X2 2)故直线MA、MB与x轴

21、始终围成ki k20一个等腰三角形.点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形ki k2 0 2Q T例i0、已知双曲线 笃 笃i的离心率e ，过A(a,0), B(0, b)的直a b322mx 2m40xyi82V直线1与椭圆交于A、 B两个不同点，(2m)24(2m24)0,解得 2 m2,且m0(皿)设直线MA、MB的斜率分别为ki, k2,只需证明ki+k2=0即可设 A(xyj B(X2, y2),且XiX22m,xix2 2m24则kiyi i,k2y2 i由x2 2mx2m2 40可得xi2x22xix22m,xix22m2 4而kyi iy2 i(yii) (X22

22、) (y2i)(xi 2)x1 2x2 2(x-i 2)( x22)ii(2% m 1)(x2 2)(尹2m i)(xi 2)(Xi2)(X2 2)xi x2 (m 2)(xi x2) 4( mi)(xi 2)(X22)2m24 (m 2)( 2m) 4(m 1)(Xi 2)(X22)2m24 2m2 4m 4m 40线到原点的距离是/(求双曲线的方程;C, D且C，D都(2)已知直线y kx 5(k 0)交双曲线于不同的点Xok BEXiX215 k3k 2yokX 053k 2y。 1Xo在以B为圆心的圆上，求k的值.思维流程：解：-(1)c2、3原点到直线AB:y 1的a3，a b距离d

23、abab、3、a 2b2c2 .b1, ax 3.故所求双曲线方程为X23y21.(2 )把y kx5代入2 X3y23中消去y ,整理得(1 3k2)x230kx780.设 C(Xi,yJD(X2,y2),CD 的中点是 Eg y。),则Xo kyo k 0,15 k5k3k 23k 2o,又 k o, k 27故所求k= 士 . 7 .点石成金：C, D都在以B为圆心的圆上 BC=BD BE丄CD;例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 X轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程； (II)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B 不

24、是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直 线l过定点，并求出该定点的坐标.思维流程：解：(I)由题意设椭圆的标准方程为22a2 b2 1(a b 0)，由已知得：a c 3, a c 1,a 2, c 1,b2a2c23椭圆的标准方程为(II )设 A(xi, yi), B(X2, y2)y联立x24kx2y3m,1.得(3 4k2)x2 8mkx24(m3)0,则2 22264m k 16(3 4k )(m8mkx1 x22，3 4k4( m23)X1X22 .3 4k3)0,即 32 24k m 0,又 yy (kxi m)(kx2m) k2x1x2 mk(x1X2)m23(m2 4k2)3 4k2因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kAD kBD1，即力 2x12 x22y”2 X1X22(X1亦年十性4 0 .4k 3 4k 3 4k27m 16mk4k20 .解得:mi2k, m2爭，且均满足 3 4k2 m2 0 .2k时，I的方程y k(x 2)，直线过点(2,0),与已知矛盾;当m2辛时，的方程为y kx 7，直线过定点2 ,0 .7所以,