数字信号处理第一章

1、 离散时间信号 采样 离散信号的傅氏变换与Z变换 离散时间系统 系统函数 （）单位脉冲序列 0, 0 0, 1 )( n n n 0, 0 0, 1 )( n n nu Nnn Nn nRN , 0, 0 10, 1 )( 1 1 N-1 n )()(nuanx n x(n) = sin（n0） sin(n0) -1 （）复指数序列（）复指数序列 0 () 00 ( )(cossin) jnn x nAeAenjn 当0 时x(n)的实部和虚部 分别是余弦和正弦序列。 x(n) = (0.65 + j0.5)nu(n). 序列的运算序列的运算 1、序列的相加 z(n)=x(n)+y(n) 2、

2、序列的相乘 f(n)=x(n) y(n) 3、序列的移位 y(n)=x(n-n0) 4、序列的能量 n nxS 2 )( n nx 2 )(平方可和序列 n nx)( 绝对可和序列 x Bnx )( 有界序列 )()()(mnmxnx m 6、序列的单位脉冲序列表示 5、实序列的偶部和奇部 )()()(nxnxnx oe )()( 2 1 )(nxnxnxe )()( 2 1 )(nxnxnxo 1.2 采样采样 模拟信号的数字化 数字信 号 数 码 量 化 电 平 模 拟 信 号 采样保持信 号 量化电 平 对信号进行时间上的离散化，这是对信 号作数字化处理的第一个环节。 研究内容： 信号经

3、采样后发生的变化（如频谱的变化） 信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始 信号、如何不失真地还原信号） 由离散信号恢复连续信号的条件 采样的这些性质对离散信号和系统的分析 十分重要，要了解这些性质，首先分析采样过 程。 采样器一般由电子开关组成，开关每 隔秒短暂地闭合一次，将连续信号 接通，实现一次采样。 连续时间信号的采样 采样器 )(txa)(tx p P(t) T T f s 1 如开关每次闭合秒，则采样器的输出是一串 重复周期为T，宽度为的脉冲，(如图)脉冲的幅 度是这段时间内信号的幅度(如图)，这一采样过 程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一 串周期为T、宽度为的矩形脉冲，以P(

4、t)表示, 调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样输出为 一般很小, 越小，采样输出脉冲的幅度越接 近输入信号在离散时间点上的瞬时值。 )()()(tptxtx ap 开关闭合时间0时，为理想采样。 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲 激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地 等于输入信号在采样瞬间的幅度。 即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程 。我们用M(t)表示这个冲激载波， n nTttM)()( 则有 )()()(tMtxtx aa nn aa nTtnTxnTttx)()()()( 实际情况下，0达不到，但 (35)max。 同时，为避免高于折叠频率的噪声信号

5、进入采样器造成 频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波 器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分量进入。 如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过折迭频率 则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有 =0部分）进行变换的z变换，其定义为 单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即序列的起始条件不同 ，可以把单边z变换看成是双边z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z 变换。 0 )()( n n znxzX 三、三、 z变换的收敛域变换的收敛域 一般，序列的Z变换 并不一定对任何z值都收敛，z平面上 使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是 绝

6、对值可和，因此z平面的收敛域应满足 因为对于实数序列， 因此，|z| 值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为 n n znx)( n n znx)( n n n n znxznx)()( Rx-|z|Rx+ 这就是收敛域，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和 Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特 殊情况为Rx-等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。 z变换的收敛域 jImz Rx+Rx-Rez 0 这里主要讨论以下四种序列： a 有限长序列有限长序列 序列 (序列x(n)只在有限长度n1n2 内有值，其余为

7、零) 其Z变换 X（z）是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有 限长序列z变换的收敛域取决于|z|-n，n1nn2。 显然 |z| 在整个开域（0，）都能满足以上条件，因此有限长序列的收 敛域是除 0 及 n nnnnx nx 其它0 )( )( 21 2 1 )()( n nn n znxzX 两个点（对应n0不收敛）以外的整个 z 平面： 0|z| 如果对n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，则根据条件|z|-n（n1nn2 ），收敛域可进一步扩大为包括0点或点的半开域： 0|0 00 2 1 nz nz 由于n1=n2=0，其收敛域为整个闭域 z 平面，0|Z

8、|， 例2 矩形序列x（n）=RN（n） n n zznzX11)()( 0 n N n Nnn N zzzzznRzX 1 0 )1(21 11)()( |0, 1 1 )( 1 z z z zX N 例1 序列x（n）=（n） 等比级数求和 b. 右边序列右边序列 指 x（n）只在nn1，有值，而nn1时，x（n）=0 1 )()( nn n znxzX 收敛域：|z|Rx- ，为收敛半径Rx-以外的z 平面 1 1 0 0 n n z z 如果，处收敛 如果，处不收敛 右边序列中最重要的一种序列是 “因果序列” ， 即n1 0的右边序列，因果序列只在n0有值， n0时，x（n）=0，其z

9、变换为： 0 )()( n n znxzX |Rx-z 收敛域： Z 变换的收敛域包括 点是因果序列的特征。 c. 左边序列左边序列 序列 x（n）只在nn2有值，n n2时， x（n）=0 收敛域： |Z|Rx+ ，在收敛半径为Rx+ 的圆内 2 )()( n n n znxzX 2 2 00 00 n n z z 如果，处收敛 如果，处不收敛 d 双边序列双边序列 可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此 双边序列 z 变换的收敛域是这两个序列 z 变换收敛域 的公共部分。 n n znxzX)()( 1 1 1 )()( nn n n n n znxznx 通常如果Rx+Rx-，则存在

10、公共的收敛区间，X（z） 有收敛域: Rx-|z|Rx+ 如Rx+Rx-，无公共收敛区间，X(z)无收敛域，不收敛 . Z 变换收敛域的特点： 1） 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外 扩展到，只有x（n）=（n）的收敛域是整个 z 平面。 2） 在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每一点上都是解 析函数。 Z 变换表示法： 级数形式 解析表达式（注意:只表示收敛域上的函数，要同时注明收敛 域） 0c1时x(n)及其z变换的收敛域 已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为逆z变换，常用 Z-1x(z)表示。 若 则逆z变换为： 逆z变换是一个对X（z）zn-

11、1进行的围线积分，积分路径C是一条在X（z） 收敛环域（Rx-，Rx+）以内反时针方向绕原点一周的单围线。 xx n n RzRznxzX|)()( c n dzzzX j nx 1 )( 2 1 )( ),( xx RRc 四、逆四、逆z变换变换 围线积分路径 证： 设积分路径C在半径为R的圆上，即 z=Rej ， Rx-RRx+，则 m c mn c n m m c n dzz j mx dzzzmx j dzzzX j 1)( 11 2 1 )( )( 2 1 )( 2 1 nmk k k de R djeR j dzz j jk k c jkjk c k , 00 01 2 Re 2

12、1 2 1 )1(11 这个公式称为柯西积分定理。 因此 或 m c mn nxdzz j mx)( 2 1 )( 1)( ),()()( 2 1 1 xx c n RRcnxdzzzX j 直接计算围线积分比较麻烦，一般不采 用此法求z反变换，求解逆z变换的常用 方法有： l 幂级数 l 留数定律法 l 部分分式法 常用序列z变换（可直接使用） |)( |0 1 1 )( |1 1 )( 1 za az z nua z z z nR z z z nu n N N 、 六、DTFT与z变换 n jnj enxeX )()( n jn ez j enxzXeX j )()()( 七、七、Parseval定理定理z变换的重要性质之一变换的重要性质之一 若有两序列 x（n），y（n），且 X（z