高数下册课后习题答案

1、高数下册课后习题答案【篇一：同济大学高等数学第五版下册答案】-2【篇二：高等数学同济版第六版下册课后题答案】点击 “答案 ”两字直接链接到答案 （温馨提示 “按住 ctrl+ 鼠标左键直接链接到答案 ”），为保答案正确性，先上几张截图。篇三：高数答案 (下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系编ss=txt 1 多元函数概念一、设 f(x,y)?x2?y2,?(x,y)?x2?y2, 求:f?(x,y),y2.答案： f(?(x,y),y2)?(x2?y2)2?y4?x4?2x2y2?2y4二、求下列函数的定义域： x2(1?y)221、f(x,y)?(x,y)|y?x?1; 22 1?x

2、?yy2、z?arcsin (x,y)|y?x,x?0; x 三、求下列极限：x2siny1、lim （0） 2(x,y)?(0,0)2x?y2 、 y(1?)3x (e6)(x,y)?(?,2)xlim x2y四、证明极限 lim 不存在 . 2(x,y)?(0,0)4 x?y 证明：当沿着 x 轴趋于（ 0，0）时，极限为零，当沿着 y?x 趋于（0，0）时，极限为 二者不相等，所以极限不存在2 1, 2 1?,(x,y)?(0,0)?xysin22 五、证明函数 f(x,y)? 在整个 xoy 面上连续。 x?y?0,(x,y)?(0,0)?证明：当 (x,y)?(0,0) 时，f(x,

3、y) 为初等函数，连续。当 (x,y)?(0,0) 时， 1xysi?0?f(0,0) ，所以函数在（ 0，0）也连续。所以函数 (x,ylim)?(0,0)22x?y在整个 xoy 面上连续。六、设 z?x?y2?f(x?y) 且当 y=0 时 z?x2 ，求 f(x) 及 z 的表达式 . 解：f(x)=x2?x ，z?x2?2y2?2xy?y 2 偏导数y ?z?z?xy?z 1 、设 z=xy?xex, 验证 x?y ?x?y ?zy?z?z?z?y?ex?ex,?x?ex ，?x?y?xy?xy?xex?xy?z 证明： ?xx?y?x?y y y y y?z?x2?y21?2、求空

4、间曲线 ?:? 在点（ ,1）处切线与 y 轴正向夹角 () 1 y?224?2x23、设 f(x,y)?xy?(y?1)arcsin, 求 fx(x,1) ( 1) y4、设 u?x, 求 zzy?u?u?u ， ， ?y?x?zz z ?uz?u1y?uzy?1?2xylnx ?xlnx ?x 解： ，?y?zy?xyy ?2u?2u?2u2? 5 、设 u?x?y?z ，证明 : ?x2?y2?z2u6、判断下面的函数在 (0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由22 21?22xsin,x?y?0?22f(x,y)?x?y22?0,x?y?0?1 0?0limf(x,y)?0?

5、f(0,0) 连续； fx(0,0)?lim fy(0,0)?limsi2 不存在， ?0 x?0y?0x?0y?0xy?07、设函数 f(x,y) 在点（ a,b）处的偏导数存在，求 lim x?0f(a?x,b)?f(a?x,b)x（2fx(a,b) ） 3 全微分 1、单选题（1）二元函数 f(x,y) 在点(x,y) 处连续是它在该点处偏导数存在的 _ (a) 必要条件而非充分条件 （b）充分条件而非必要条件 （c）充分必要条件 （2）对于二元函数 f(x,y) ，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 _ (a) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （c）全微分存在，则偏导数必连续 （d）

6、全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分： yy y11）z?ex dz?ex(?2dx?dy) xx 222）z?sin(xy) 解：dz?cos(xy)(y2dx?2xydy) yz?11y3）u?x 解：du?xdx?xzlnxdy?2xzlnxdzzzzy zyyy3、设 z?ycos(x?2y) ， 求 dz(0,)4 ?解：dz?ysin(x?2y)dx?(cos(x?2y)?2ysin(x?2y)dy?dz|(0, ?4 )= ? 4 dx? 2 dy4、设 f(x,y,z)? z1(?2dx?4dy?5dz) 求： df(1,2,1)22 25x?y1?22 (x?

7、y)sin?5、讨论函数 f(x,y)?x2?y2 ?0,?,(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性1(x2?y2)sin?0?f(0,0) 所以 f(x,y) 在（0，0）点处连续。 解： (x,ylim)?(0,0)22x?y fx(0,0)?f(?x,0)?f(0,0)f(0,?y)?f(0,0) ?0,fy(0,0)?lim?0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)?x?yf(?x,?y)?0 ?0 ，所以可微。22 (?x)?(?y)lim4 多元复合函数的求导法则dzvt1、 设 z?u,u?sint,v?e ，求 dtdze

8、t?1tet?e?lnsint?(sint)?et 解：=cost.(sint) dt ?z?z2x?3y,，求, 2、 设 z?(x?y) ?x?y ?z2x?3y?1 ?(2x?3y)x(?y)?3x(?y2x?)3ylnx?( y), ?y?z?zyn?2y?nz 3 、 设 z?xf(2) ，f 可微，证明 x?x?yx ?2z?2z?2z224、 设 z?f(x?y,2xy) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求， 22 ?x?y?y?x?z 解：?2xf1?2yf2? , ?x2?z?z ?2x(f11?(?2y)?f12?2x)?2f2?2y(f21?(?2y)?f22?2x) ?

9、2yf1?2xf2? ,?x?y?y =2f1?4xyf11?4(x?y)f12?4xyf22?222?z?2z22? ,?2f1?4y2f11?8xyf12?4x2f22? ?2f? 4xf?8xyf?4yf111122222?y?x ?2zyx5、 设 z?f(xy,)?g() ，其中 f 具有二阶连续偏导数、 g 具有二阶连续导数，求?x?yxy?zy1 解：?f1?y?2f2?g? ， ?xxy?2z11y11x?f1?y(f11?x?f12?)?2f2?2(f12?x?f22?)?2g?3g?x?yxxxxyydu6、 设 u?f(x,y,z) ，z?f(x,y) ，y?(x) ，求

10、dx du?f1?f2?(x)?f3?(fx?fy?(x) 。 解：dx ?u?x?2y?2z?2z?2z?2z?2=0 化为 ?0 ， 7、设 z?z(u,v) ，且变换 ? 可把方程 62? v?x?ay?x?y?u?v?y?x?其中 z 具有二阶连续偏导数，求常数 a 的值 (a?3) ?2z?2z?2z?2u?z?z?z?z?z?z ?2?2 证明： ?2?a? 2?u?v?y?u?v?x?u?v?x?u?v2 ?2z?2z?2z?2z?2u2?u?42?4a?a?22?(a?2)?a22?u?v?x?y?u?v?y?u?v2?u?v2?2z2?u?(6?a?a)2?0a=3 得：(1

11、0?5a)?u?v?v ?2z?2z8、设函数 f(x,y) 具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,f1/(1,1)?a,f2/(1,1)?b 又，?(x)?f?x,fx,f(x,x)? 求 ?(1). 和?/(1) (1) ,(a+ab+ab2+b3)5 隐函数的求导公式 dy1、 设 ylny?x?y ，求 dxdy1? 解：令 f(x,y)?ylny?x?y ，fx?1,fy?lny,? dxlny z2222、 设 z?z(x,y) 由方程 x?y?z?yf() 确定，其中 f 可微，证明 y ?z?z (x2?y2?z2)?2xy?2xz?x?y ?2zxy?z3、 设 z?z(x

12、,y) 由方程 ?e 所确定，其中 f 可微，求 ?x?yz?2zz?zz?zz?,?, 3 ?x?y?xx(1?z)?y1?zx(1?z)?x2?y2?z2?1dyxdzdydz4、 设?，求， ( ，?0) 22 dxydxdxdx?z?x?y?z?z5、 设 z?z(x,y) 由方程 f(xy,y?z,xz)?0 所确定， f 可微，求 , ?x?yfyfxf1?y?zf3?zf1?x?f2?z解：令 f(x,y,z)?f(xy,y?z,xz) ，则 ?,?xfz?yf?f2?xf3f2?xf3z6 、设 z?f(x,y) 由方程z?x?y?ez?x?y?0 所确定，求 dz (dz?d

13、x?dy) 7 、设 z=z(x,y) 由方程 3xy?xcos(yz)?z3?y 所确定，求?z?z , ?y?x()?z3xy.yln3?cosyz?zx.3xyln3?xzsin(yz)?1? , ?x?y3z2?xysinyz()3z2?xysin(yz) 6 微分法在几何中的应用1、求螺旋线 x?2cost,y?2sint,z?3t 在对应于 t ? ? 4 处的切线及法平面方程解：切线方程为?z? 3? 3法平面方程 ?2(x?2)?2(y?2)?3(z? 3? )?0 4 ?x2?y2?z2?502、 求曲线 ? 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 222 ?z?x?yx?3y?4z?5解：切线方程为 ，法平面方程： 4x?3y?0 ? 4?302223、 求曲面 2x?3y?z?9 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程解：切平面方程为 2(x?1)?3(y?1)?2(z?2)?0x?1y?1z?2 及法线方程 ?2?324、 设 f(u,v) 可微，证明由方程 f(ax?bz,ay?bz