山东大学高等数学【三套试题汇总】

1、精品文档 求下列极限 lim sinn n n 2X x sin x lim x 0 x sin5x 求下列极限 lim cosn n n 求 xm02x 求 lim- x 0 x 求下列极限 lim tgn n lim x a x a lim e2x x 0 sin n lim x 0 lim x 0 原式=x cos n lim x lim 0 2sin x 3sin x 不存在 lim x a 1 ex lim - 0 1 1, lim 2 x 0 原式= lim x 0 lim1 n lim 0 sin x X sin5x lim n lim x 2 1 lim - x 0 1 lim

2、 x 0 ex 1, lim 0 cSin x 2 x 八 sin x 3 lim - x a x a 1, lim x a lim x 1 2 lim sinn 0 n lim n lim 2 0 lim x a lim x 0 x不存在 lim)ex不存在 1 cosn n 1, lim不存在 x 2 2 x 1 lxim2x不存在 lim x a x a 不存在 丄 2x e2x lim x 0 1 e2x 丄 x叫e2x不存在 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 0 精品文档 sin mx lim x 0 sinnx sin mx mx 原式= lxm0 mx nx sin n

3、x nx mx lim x 0 nx ii) x 0 时，f (0) a f(0 0)1 f(0 0) a 所以 a 1 时 f ( 0) f (0)1 , f (x)在x 0处连续 综上所述，a=1时f (x)连续 x 0 x 0 f x在x 0处不连续，0点为可去间断点。 x x 0 已知 f(x) 2，讨论f (X)在x 0处的导数 x x 0 解：f 01, f 00, f x在x 0处不可导。 精品文档 计算下列各题 1 已知 y 2sin x In x 求 y 解: y 2cosxln x 2sinx - x f (x) 2 已知 y f (ex) ef(x)，求 y 解: y f

4、e， f ex xef x ex f ex f x 3 求 xex dx 解: 2 xex dx x2 e 2 dx2 1 2 x e 2 1 y lnln(ln x) 求 y, 解: ln lnx lnx x 2 xyyx求y, 两边取对数: yin x xln y 两边分别求导: ln y xln x x yln x 解：原式= 整理得：y x e 2x e 1dx dex arctanex C 解: y 2 3tan ln x 2 sec ln 3 1、已知 y tan (ln x)求y, 解: y :原式= 2xf x2 cosS x x .1 sin x x 精品文档 四、若 2x

5、tan(x y) x ysec2tdt，求 dy 0dx 右边证毕。 解: 两边对x求导，其中y是x的函数 22 2 sec (x y) (1 y) sec (x y) (1 y) 2sec2(x y) (1 y)2 (i y) sec (x y) 22 所以 y 1 cos (x y) sin (x y) 2 x lim x 0 cost2dt .10 sin x mo H X x 2 cost dt 0 10 X lim空 2x cosx 10 x9 4 mo H X COSX 50 x8 34 4x sin x 1 lim x 0 40 x710 四证明 x3 f (x2 )dx 1 a

6、2/ -xf (x)dx， (a 0)，其中f(x)在讨论的区间连续。 证明: a 32 对于 x f (x )dx 令 x2 t，则 2xdxd dt 且 x a时 t a2， x 0 时 t 0 左边x3f(x2)dx 1 a2 2 0 tf(t)dt xf(x)dx 精品文档 1 3 y 2x和 y x 所围平面图形的面积 解: 1 0(2x x) dx x2 )dx 五 求 y2 2x 5和 y x 4所围平面图形的面积 解：A 2 V2xdx 0 8 0 72x (x 4) dx 2 3X仮 2 沐丘 1 2 -x 4x 2 0 2 2 12 6 32 32 6 8 2 18 五计算

7、反常积分 dx 1 x2; 原式 dx2arcta n x 1+x2 六(x2 1)dx2xy 4x2 解：此方程为一阶非齐次线性微分方程 P(x) 2x 1 x2 Q(x) 4x2 x2 1 e1 x 2x 2 dx 4x2 2x 2dx 1 x2 x2 dx c) 所以原方程通解为 3) 精品文档 1 2 六求(1 y )dx (arctany x)dy 的通解 dx 1 解：方程化为dy 1y 此方程为倒线性微分方程 宀dy x e y ( 飞 arctan y y arctan y / e (1 dy arctan ye y dy c) 1arctan y 2 arctanyedy c

8、) y arcta nyarcta ny e ( arctanyde c) arctan yarctan y e(arctan ye arcta n y e c) arcta n yx 所以方程通解为x cearctan y 精品文档 x 证明：令t x，贝y 2 0,t 2 ,dt dx x 2，t 0 sin x dx 0 f cost dt o2 f Sint dt 2 f cosx dx o 得证 tanxdx 解: 解：y e tanxdx sin 2xe dx C 1 cosx 3cos3x C 2 2 C cos x 3 cosx 1 1 .n21 ,n2 n lim n lim

9、 n / 2 2 鴛n n - n n n项 1 lim 1 n / 2 =1 .n n 1 1 1 1 n n2 n2 n .n2 五、求 y tanx sin 2x的通解 tan xdx e tan xdx sin 2xe dx cosx 2 3 cos x 3 2 cos 3 计算 cosx 解: y 解: 1 dx 02 d arcs in x 0 1 arcs in x 0 求下列极限 解: x 1 1 x lim - -lim 1 lim - x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 x 1 x 1 1 啊ex 1不存在 解: lim 1 lim ex x 1 1 不存在 1

10、 cosx 求2 解: (si n： )5tgx 5 求 lim26 :0 In(1x) 1 cosx lim x 0 sinx 1 m 0 2 x 2x 2 x 5. si nx 5 2 cosx 1 6 x 2 x x 原式=x叫 lin1x 1 lim 1 2sinx ctg: x 0 2sin x ctgx 1 2cosx 2 lim 1 2sin x 2sinx e x 0 1 : 1 l叫 )x 0 1 x 三、计算下列各题 原式=lxm0 2x 1 x x2_ x 已知 y In (xx2 a2)求 y， 解: y y (x 1)(x 2) x 3 1 2x 1 lim 2 ex 01 x 11 2x x x2 a22 x2 a2 解: 2 2x 3 x 3 x 3x 2 2 x 3 求 In2 xdx x 解： 11n2 xdx x In2 xd In x bn3 3 求 x3ex dx 解: x