高等数学(同济第六版)第一章第10节

1、1 第十节 一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 *三、一致连续性三、一致连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章第一章 2 注意注意: 若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续, 结论不一定成立结论不一定成立 . 一一、最值定理、最值定理 定理定理1.1.在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数 即即: 设设, ,)(baCxf x o y ab )(xfy 1 2 则则 , , 21 ba 使使 )(min)( 1 xff bxa )(max)( 2 xff bxa 值和最小值值和最小值. . 或在闭区间内或在闭区间内有间断有间断 在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大 (证

2、明略证明略) 点点 , 第一章第一节第一章第一节 3 例如例如,)1,0(, xxy 无无最大值和最小值最大值和最小值 x o y 1 1 21,3 1,1 10,1 )( xx x xx xf x o y 1 1 2 2 也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如, 第一章第一节第一章第一节 4 ,)(baxf在在因此因此 bx o y a )(xfy 1 2 m M 推论推论. 由由定理定理 1 可知有可知有 , )(max , xfM bax )(min , xfm bax , ,bax 故故 证证: 设设 , ,)(baCxf ,)(Mxfm 有有 上上有界有界 . 二、介值定理二

3、、介值定理 定理定理2. ( 零点定理零点定理 ), ,)(baCxf 至少有一点至少有一点 , ),(ba 且且 使使 x y o a b )(xfy .0)( f 0)()( bfaf ( 证明略证明略 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 第一章第一节第一章第一节 5 定理定理3. ( 介值定理介值定理 ) 设设 , ,)(baCxf 且且,)(Aaf ,)(BABbf 则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C , 一点一点, ),(ba 证证: 作辅助函数作辅助函数 Cxfx )()( 则则,)(baCx 且且 )()(ba )(CBC

4、A 0 故由故由零点定理知零点定理知, 至少有一点至少有一点 , ),(ba 使使,0)( 即即.)(Cf 推论推论: A b xo y a )(xfy B C 使使.)(Cf 至少有至少有 在闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最必取得介于最小值与最 大值之间的任何值大值之间的任何值 . 第一章第一节第一章第一节 6 例例1. 证明方程证明方程 014 23 xx 一个根一个根 . 证证: 显然显然, 1 ,014)( 23 Cxxxf 又又 ,01)0( f 02)1( f 故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点, )1 ,0( 使使,0)( f即即 0

5、14 23 说明说明: , 2 1 x,0)( 8 1 2 1 f 内必有方程的根内必有方程的根 ;)1,( 2 1 取取1 , 2 1 的中点的中点, 4 3 x,0)( 4 3 f 内必有方程的根内必有方程的根 ;),( 4 3 2 1 可用此法求近似根可用此法求近似根. 二分法二分法 4 3 2 1x 01 在区间在区间)1 ,0( 的的中中点点取取1 ,0 内至少有内至少有 则则 则则 7 0)()()( 21 2 xfxff 上连续上连续 , 且恒为正且恒为正 ,例例2. 设设)(xf在在,ba 对任意的对任意的, ),(, 2121 xxbaxx 必必存在一点存在一点 证证: ,

6、, 21 xx 使使.)()()( 21 xfxff 令令)()()()( 21 2 xfxfxfxF , 则则,)(baCxF )()( 21 xFxF )()()( 211 2 xfxfxf)()()( 212 2 xfxfxf )()( 21 xfxf 2 21 )()(xfxf 0 使使 ,)()( 21 时时当当xfxf ,0)( xf,0)()( 21 xFxF 故由故由零点定理知零点定理知 , 存在存在, ),( 21 xx ,0)( F即即 .)()()( 21 xfxff 当当)()( 21 xfxf 时时, 取取 1 x 或或 2 x , 则有则有 )()()( 21 xf

7、xff 证明证明: 8 *三三. 一致连续性一致连续性 已知函数已知函数)(xf在在区间区间 I 上连续上连续, 即即: , 0 Ix ,0 ,0 , 0 时时当当 xx )()( 0 xfxf 一般情形一般情形,., 0 都有关都有关与与x , 0无关时 无关时与与若若x 就就引出引出 了一致连续的概念了一致连续的概念 . 定义定义:,I, )( xxf对对,0 若若,0 存在存在 , I, 21 xx 对对任意任意的的 都有都有,)()( 21 xfxf )(xf则称则称在在 I 上一致连续上一致连续 . 显然显然:上一致连续上一致连续在区间在区间 I)(xf 上连续上连续在区间在区间 I

8、)(xf , 21 时时当当 xx 第一章第一节第一章第一节 9 例如例如, x xf 1 )( , 1,0(C 但不但不一致连续一致连续 . 因为因为, )10(0 取点取点, )N(, 1 1 2 1 1 nxx nn 则则 21 xx 1 11 nn)1( 1 nn 可以任意小可以任意小 但但)()( 21 xfxf )1( nn 1 这这说明说明 x xf 1 )( 在在 ( 0 , 1 上不一致连续上不一致连续 . 定理定理., ,)(baCxf 若若,)(baxf在在则则 上上一致连续一致连续. (证明略证明略) 思考思考: P73 题题 6 提示提示:设设)(, )( bfaf存

9、在存在, 作作辅助函数辅助函数 )(xF axaf , )( bxaxf , )( bxbf , )( ,)(baCxF 显然显然 第一章第一节第一章第一节 10 内容小结内容小结 则则设设, ,)(baCxf 在在)(. 1xf 上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何上可取最大与最小值之间的任何值值; ; 4. 当当0)()( bfaf时时, ),(ba 使使. 0)( f必存在必存在 ,ba上有界上有界; 在在)(. 2xf,ba 在在)(. 3xf,ba 第一章第一节第一章第一节 11 1. 任给一张面积为任给一张面积为 A 的纸片的纸片(如图如图),

10、证明必可将它证明必可将它 思考与练习思考与练习 一刀剪为一刀剪为面积相等的两片面积相等的两片. 提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图. x o y 则则面积函数面积函数,)( CS 因因,0)( S AS )( 故由故由介值定理可知介值定理可知: , ),( 0 . 2 )( 0 A S 使使 )( S 第一章第一节第一章第一节 12 则则 , 2,0)(aCxf , )2()0(aff 证明至少存在证明至少存在 , ,0a使使. )()(aff 提示提示: 令令, )()()(xfaxfx 则则, ,0)(aCx 易证易证0)()0( a 2. 设设 作业作业 P73 题题 2 ; 3; 4 一一 点点 第一章第一节第一章第一节 13 ,4,0)(上连续上连续在闭区间在闭区间xf 备用题备用题 1 3 x ex至少有一个不超过至少有一个不超过 4